Κλασματική Εξίσωση

kritonios · #1

Καλησπέρα σε όλους.
Ζητώ τη βοήθεια σας σε αυτη την άσκηση γιατι νομίζω την έχω σχεδόν λύσει αλλα κατι λείπει:

Αν $\frac{1}{x^2-4x+5}+\frac{1}{y^2+4y+5}+x^2+y^2=4(x-y)-6$ να βρεθουν οι x,y.

Με A=(x-2)^2+1

και

εχω καταλήξει στη μορφή $\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+A+B=4$ απο την οποία είμαι σχεδον βέβαιος οτι προκύπτει x=2 kai y=-2 ομως κολλαω στη τεκμηρίωση. Αν μπορεί παρακαλώ καποιος να μου εξηγήσει γιατι συνεπάγεται αυτο ή εαν κάνω λαθος που βρίσκεται το λάθος. Ευχαριστώ Πολύ!

#2

kritonios έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 22, 2022 3:17 am
Καλησπέρα σε όλους.
Ζητώ τη βοήθεια σας σε αυτη την άσκηση γιατι νομίζω την έχω σχεδόν λύσει αλλα κατι λείπει:

Αν $\frac{1}{x^2-4x+5}+\frac{1}{y^2+4y+5}+x^2+y^2=4(x-y)-6$ να βρεθουν οι x,y.

Με και εχω καταλήξει στη μορφή $\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+A+B=4$ απο την οποία είμαι σχεδον βέβαιος οτι προκύπτει x=2 kai y=-2 ομως κολλαω στη τεκμηρίωση. Αν μπορεί παρακαλώ καποιος να μου εξηγήσει γιατι συνεπάγεται αυτο ή εαν κάνω λαθος που βρίσκεται το λάθος. Ευχαριστώ Πολύ!

Πολύ σωστά προχώρησες. Μένει μόνο το τελευταίο βήμα.

Θα δώσω υπόδειξη: Παρατηρούμε ότι A>0

. Δείξε τώρα (είναι απλό) ότι ισχύει $A + \dfrac {1}{A} \ge 2$ με ισότητα αν και μόνον αν A=1

. Όμοια $B + \dfrac {1}{B} \ge 2$ . Πρόσθεσε τώρα τις δύο κατά μέλη και σύγκρινε με την εξίσωση που έχεις να λύσεις.

maurude.k · #3

Χαίρετε! Μπράβο για την ευφάνταστη τροποποίηση της εξίσωσης. Πράγματι, όπως προαπάντησε ο κύριος Λάμπρου, αρκεί να δείξεις τις ανισότητες που παρέθεσε. Σημειωτέον ότι είναι αρκετά δημοφιλείς και βασικές θα έλεγα ανισότητες που πολλές φορές απαιτείται να γνωρίζουμε για να λύσουμε κάποια όμορφα θέματα.

kritonios · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 22, 2022 7:10 am

kritonios έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 22, 2022 3:17 am
Καλησπέρα σε όλους.
Ζητώ τη βοήθεια σας σε αυτη την άσκηση γιατι νομίζω την έχω σχεδόν λύσει αλλα κατι λείπει:

Αν $\frac{1}{x^2-4x+5}+\frac{1}{y^2+4y+5}+x^2+y^2=4(x-y)-6$ να βρεθουν οι x,y.

Με και εχω καταλήξει στη μορφή $\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+A+B=4$ απο την οποία είμαι σχεδον βέβαιος οτι προκύπτει x=2 kai y=-2 ομως κολλαω στη τεκμηρίωση. Αν μπορεί παρακαλώ καποιος να μου εξηγήσει γιατι συνεπάγεται αυτο ή εαν κάνω λαθος που βρίσκεται το λάθος. Ευχαριστώ Πολύ!
Πολύ σωστά προχώρησες. Μένει μόνο το τελευταίο βήμα.

Θα δώσω υπόδειξη: Παρατηρούμε ότι . Δείξε τώρα (είναι απλό) ότι ισχύει $A + \dfrac {1}{A} \ge 2$ με ισότητα αν και μόνον αν . Όμοια $B + \dfrac {1}{B} \ge 2$ . Πρόσθεσε τώρα τις δύο κατά μέλη και σύγκρινε με την εξίσωση που έχεις να λύσεις.

Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση. Με τις υποδείξεις σας είναι προφανής η λύση!

Κλασματική Εξίσωση

Κλασματική Εξίσωση

Re: Κλασματική Εξίσωση

Re: Κλασματική Εξίσωση

Re: Κλασματική Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση