xyz=?

p_gianno · #1

Αν $x+\frac{1}{y}=1$ και $y+\frac{1}{z}=1$ να βρεθεί το γινόμενο xyz

#2

Είναι $xy+y+\frac{1}{z}=xy+1=y(x+\frac{1}{y})=y$ ,

οπότε

$xy+\frac{1}{z}=0$ ,

απ'οπου έπεται xyz=-1

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Stavroulitsa · #3

Καλησπέρα! Θα βάλω και τη δική μου προσπάθεια...
$y+\frac{1}{z}=1\Leftrightarrow yz+1=z\Leftrightarrow yz-z=-1\Leftrightarrow z(y-1)=-1\Leftrightarrow y-1=-\frac{1}{z}$
άρα
$x+\frac{1}{y}=1\Leftrightarrow xy+1=y\Leftrightarrow xy=y-1\Leftrightarrow xy=-\frac{1}{z}\Leftrightarrow xyz=-1$
ή αλλιώς:
$y+\frac{1}{z}=1$ και
$x+\frac{1}{y}=1\Leftrightarrow xy+1=y\Leftrightarrow xy+y+\frac{1}{z}=y\Leftrightarrow xy+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow xyz=-1$

p_gianno · #4

Ευχαριστώ τον Αχιλλέα και την Σταυρουλίτσα που ασχολήθηκαν.
Δίνω την διεύθυνση http://mathcounts.org/Page.aspx?pid=1892 όπου ο Richard Rusczyk διδάσκει την άσκηση αυτή
και βάζω και ένα συνημμένο με μια επιπλέον λύση.

lonis · #5

Μία ακόμη λύση, χάριν πλουραλισμού:

Είναι $1-x=\frac{1}{y}$ και $1-y=\frac{1}{z}$ οπότε $\frac{1}{yz}=(1-x)(1-y)$ δηλαδή $\frac{1}{yz}=(1-x)-y(1-x)$ .

Συμπεραίνουμε ότι $\frac{1}{yz}=1-x-y\cdot \frac{1}{y}$ δηλαδή $\frac{1}{yz}=-x$ . Τελικά xyz=-1

Λεωνίδας Θαρραλίδης

xyz=?

xyz=?

Re: xyz=?

Re: xyz=?

Re: xyz=?

Re: xyz=?

Μέλη σε σύνδεση