Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Ιστοσελίδα · #61

Άσκηση 17
Δίνεται η συνάρτηση $f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 1$ και η εξίσωση $f\left( x \right) = 0$ $\left( 1 \right)$
Α Να αποδείξετε ότι η $\left( 1 \right)$ έχει δύο ρίζες ${x_1},\,\,{x_2}$ άνισες και ομόσημες
Β Να υπολογίσετε τις παραστάσεις $A = \frac{2}{{{x_1}}} + \frac{2}{{{x_2}}}$ $B = x_1^2 + \,x_2^2$ $\Gamma = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|$
Γ Να βρείτε τα σημεία στα οποία η ευθεία ${\rm A}x + {\rm B}y + \Gamma = 0$ τέμνει τους άξονες x'x

και

Δ Να αποδείξετε ότι τα σημεία $\left( {{\rm A},{\rm B}} \right)$ , $\left( {{\rm B},{\rm A}} \right)$ και $\left( {\Gamma ,\Gamma } \right)$ είναι κορυφές ισοσκελούς τριγώνου
Ε Αν οι ρίζες της εξίσωσης $2{x^2} - 5\beta x + 6\gamma = 0$ είναι κατά μία μονάδα μεγαλύτερες από τις αντίστοιχες ρίζες της $\left( 1 \right)$ , να βρείτε τους αριθμούς $\beta ,\,\,\gamma$
Μίλτος
Στ Να αποδείξετε ότι : $\displaystyle{\frac{{\sqrt {f\left( 0 \right) + 2} }}{{\sqrt 5 - \sqrt {f\left( 0 \right) + 2} }} + \frac{{\sqrt {f\left( { - 1} \right)} }}{{\sqrt {f\left( { - 1} \right)} + \sqrt 3 }} = 4}$
Μίλτος

#62

Α)
Είναι $\displaystyle{ \Delta = 9 - 4 = 5 > 0 \Rightarrow }$ η εξίσωση $\displaystyle{ f\left( x \right) = 0 }$ έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες με $\displaystyle{ x_1 x_2 \mathop = \limits^{\frac{\gamma } {\alpha }} 1 > 0 }$ άρα οι $\displaystyle{ x_1 ,x_2 }$ είναι ομόσημες

Β) $\displaystyle{ {\rm A} = \frac{2} {{x_1 }} + \frac{2} {{x_2 }} = \frac{{2\left( {x_1 + x_2 } \right)}} {{x_1 \cdot x_2 }} \Rightarrow \ldots {\rm A} = \frac{{2 \cdot 3}} {1} \Rightarrow \boxed{{\rm A} = 6} }$

$\displaystyle{ \displaystyle{ B = x_1^2 + x_2^2 = \left( {x_1 + x_2 } \right)^2 - 2x_1 \cdot x_2 \mathop \Rightarrow \limits^\substack{ x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 \cdot x_2 = 1 } }$ $\displaystyle{ \boxed{B = 7} }$

και

$\displaystyle{ \Gamma ^2 = \left| {x_1 - x_2 } \right|^2 = \left( {x_1 - x_2 } \right)^2 = x_1^2 + x_2^2 - 2x_1 \cdot x_2 \mathop \Rightarrow \limits^\substack{ {\rm B} = x_1^2 + x_2^2 = 7 \\ x_1 \cdot x_2 = 1 } \ldots \Gamma ^2 = 5\mathop \Rightarrow \limits^{\Gamma = \left| {x_1 - x_2 } \right|\mathop > \limits^{x_1 \ne x_2 } 0} \boxed{\Gamma = \sqrt 5 } }$

Γ) Η ευθεία με εξίσωση $\displaystyle{ \left( \varepsilon \right):{\rm A}x + By + \Gamma = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{{\rm A} = 3,{\rm B} = 7,\Gamma = \sqrt 5 } \boxed{\left( \varepsilon \right):3x + 7y + \sqrt 5 = 0}:\left( 1 \right) }$

Για $\displaystyle{ x = 0\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} 7y + \sqrt 5 = 0 \Rightarrow y = - \frac{{\sqrt 5 }} {7} \Rightarrow \boxed{\left( \varepsilon \right) \cap y'y = K\left( {0, - \frac{{\sqrt 5 }} {7}} \right)} }$

Για $\displaystyle{ y = 0\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} 3x + \sqrt 5 = 0 \Rightarrow x = - \frac{{\sqrt 5 }} {3} \Rightarrow \boxed{\left( \varepsilon \right) \cap x'x = \Lambda \left( {0, - \frac{{\sqrt 5 }} {3}} \right)} }$

Δ) Έστω $\displaystyle{ \left\{ {A_1 \left( {A,B} \right),\;A_2 \left( {B,A} \right),\;A_3 \left( {\Gamma ,\Gamma } \right)} \right\} \to \boxed{\left\{ {A_1 \left( {6,7} \right),\;A_2 \left( {7,6} \right),\;A_3 \left( {\sqrt 5 ,\sqrt 5 } \right)} \right\}} }$
τότε : $\displaystyle{ \boxed{\left( {A_1 A_3 } \right) = \sqrt {\left( {6 - \sqrt 5 } \right)^2 + \left( {7 - \sqrt 5 } \right)^2 } = \sqrt {\left( {7 - \sqrt 5 } \right)^2 + \left( {6 - \sqrt 5 } \right)^2 } = \left( {A_2 A_3 } \right)} }$

οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές με κορυφή το $\displaystyle{ A_3 }$

Ε) Έστω $\displaystyle{ \rho _1 ,\rho _2 }$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{ 2x^2 - 5\beta x + 6\gamma = 0 }$ τότε:

$\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} S = \rho _1 + \rho _2 = \frac{{5\beta }} {2}\mathop \Rightarrow \limits^{\rho _1 = x_1 + 1,\rho _2 = x_2 + 1} x_1 + 1 + x_2 + 1 = \frac{{5\beta }} {2} \Rightarrow x_1 + x_2 + 2 = \frac{{5\beta }} {2}\mathop \Rightarrow \limits^{x_1 + x_2 = 3} \ldots \frac{{5\beta }} {2} = 5 \Rightarrow \boxed{\beta = 5} \hfill \\ p = \rho _1 \cdot \rho _2 = \frac{{6\gamma }} {2}\mathop \Rightarrow \limits^{\rho _1 = x_1 + 1,\rho _2 = x_2 + 1} \left( {x_1 + 1} \right)\left( {x_2 + 1} \right) = 3\gamma \Rightarrow x_1 \cdot x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 3\gamma \mathop \Rightarrow \limits^\begin{subarray}{l} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 \cdot x_2 = 1 \end{subarray} \ldots \Rightarrow \boxed{\gamma = \frac{5} {3}} \hfill \\ \end{gathered} \right. }$

ΣΤ) έχουμε:

$\displaystyle{ \frac{{\sqrt {f\left( 0 \right) + 2} }} {{\sqrt 5 - \sqrt {f\left( 0 \right) + 2} }} + \frac{{\sqrt {f\left( { - 1} \right)} }} {{\sqrt {f\left( { - 1} \right)} + \sqrt 3 }}\mathop = \limits^{f\left( 0 \right) = 1,f\left( { - 1} \right) = 5} \frac{{\sqrt 3 }} {{\sqrt 5 - \sqrt 3 }} + \frac{{\sqrt 5 }} {{\sqrt 5 + \sqrt 3 }} = }$

$\displaystyle{ \frac{{\sqrt 3 \cdot \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)}} {{\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right) \cdot \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)}} + \frac{{\sqrt 5 \cdot \left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)}} {{\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right) \cdot \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)}} = \frac{{\sqrt {15} + 3}} {2} + \frac{{5 - \sqrt {15} }} {2} = \frac{{\sqrt {15} + 3 + 5 - \sqrt {15} }} {2} = \frac{8} {2} = 4 }$

$\displaystyle{ \Rightarrow \boxed{\frac{{\sqrt {f\left( 0 \right) + 2} }} {{\sqrt 5 - \sqrt {f\left( 0 \right) + 2} }} + \frac{{\sqrt {f\left( { - 1} \right)} }} {{\sqrt {f\left( { - 1} \right)} + \sqrt 3 }} = 4} }$

Φιλικά

Στάθης

pana1333 · #63

Αυτή τη φορά την πέρασα απο κόσκινο. Για να δούμε.....

Άσκηση 18

Δίνεται η συνάρτηση $g\left(x \right)=\lambda x^{2}-\left(\lambda -1 \right)x-1,\lambda \epsilon R$ με $\lambda \neq 0, \lambda \neq -1$ και η συνάρτηση $f\left(x \right)=\left|x_{1} \right|x-\left|x_{2} \right|$ όπου $x_{1},x_{2}$ οι λύσεις της εξίσωσης g(x)=0.

1) Να βρεθούν οι λύσεις $x_{1},x_{2}$ .

2) Αν $x_{1}<x_{2}$ και $\lambda \epsilon \left(-1,0 \right)$ ,

α) Να λυθεί ως προς λ η εξίσωση f(0)=f(1)
β) Να λυθεί ως προς λ η ανίσωση $\left|f\left(0 \right)f\left(1 \right) \right|>0$
γ) Να λυθεί η εξίσωση $\left|f\left(x \right)+f\left(-x \right) \right|=g(1)+4$ .
δ) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της g και η γραφική παράσταση της f τέμνονται σε δύο σημεία.
ε) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η ευθεία (ε): $y=\left|x_{1} \right|x+\left|x_{2} \right|$ με τους άξονες xx{'}

και

pana1333 · #64

m.pαpαgrigorakis έγραψε:Χρήστο το 5γ κάτι θέλει;

Μίλτο έχεις δίκιο αλλά για να μη το παιδεύω άλλο διορθώθηκε ως γ) Να λυθεί ως προς x η εξίσωση $x^{2}f\left(\frac{1}{x} \right)=f\left(x \right)$ ....κρατάμε και την όμορφη λύση του Στάθη και ελπίζω όλα καλά.....

Υ.Σ

στην επόμενη (αμέσως προηγούμενη)

θα κοιτάξω να είμαι πιο προσεκτικός......

Ιστοσελίδα · #65

pana1333 έγραψε:Να λυθεί ως προς x η εξίσωση $x^{2}f\left(\frac{1}{x} \right)=f\left(x \right)$ ....κρατάμε και την όμορφη λύση του Στάθη και ελπίζω όλα καλά.....

Μια χαρά είναι τώρα. Τελικά βγήκε μια πολύ ενδιαφέρουσα άσκηση.

Ιστοσελίδα · #66

Δίνω το 2ο δείγμα για να ελεγχθεί για τυχόν λάθη ή παραλήψεις. Ίσως αν τα έγραφα όλα απ' την αρχή να μου έπαιρνε λιγότερο χρόνο...

http://hotfile.com/dl/116290449/e3f44eb/test2.pdf.html

Περιμένω τις παρατηρήσεις σας.

pana1333 · #67

m.pαpαgrigorakis έγραψε: Μια χαρά είναι τώρα. Τελικά βγήκε μια πολύ ενδιαφέρουσα άσκηση.

Ευχαριστώ πολύ Μίλτο. Αυτό είναι το "καλό - κακό" να φτιάχνεις μόνος σου μια άσκηση.....Το καλό είναι ότι μπορεί να βγει κάτι ενδιαφέρον το κακό είναι ότι μπορεί να παιδέψεις κάποιους

irakleios · #68

Λύση της 18

1) Παρατηρούμε ότι το x = 1

είναι λύση της εξίσωσης .

'Εστω $x_{2}$ η άλλη ρίζα τότε απο το γινόμενο των ριζών προκύπτει $x_{2} = \frac{-1}{\lambda}$

2) Eπειδή $\lambda \in(-1,0)$ έπεται ότι $1 < -\frac{1}{\lambda}$ και άρα $x_{1} = 1 , x_{2} = -\frac{1}{\lambda}$

Τότε $f(x) = |1|x - |\frac{-1}{\lambda}| = x + \frac{1}{\lambda}$ , αφού -λ θετικός .

$f(0) = \frac{1}{\lambda}$ και $f(1) = 1 + \frac{1}{\lambda}$

H εξίσωση f(0) = f(1)

γράφεται $\frac{1}{\lambda} = 1 + \frac{1}\lambda}$ δηλαδή 1 = 0 . Αδύνατη.

b) Iσχύει $|f(0)f(1)|\geq 0$ και εμείς θέλουμε |f(0)f(1)| > 0

Ουσιαστικά θέλουμε $|f(0)f(1)|\neq 0$ , αυτό όμως από το ερώτημα (α) ισχύει για κάθε επιτρεπόμενη τιμή του λ. Δηλ $\lambda \in(-1,0)$

γ) Επειδή g(1) = 0 η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα $|x + \frac{1}{\lambda} - x + \frac{1}{\lambda}| = 4$

iσοδύναμα $|\frac{2}{\lambda}| = 4$ , απ'οπου παίρνουμε $\lambda = \pm \frac{1}{2}$ , δεκτό μόνο το $-\frac{1}{2}$

δ) Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση g(x) - f(x) = 0

έχει δύο άνισες λύσεις.

Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: $\lambda x^2 + \lambda x - 1 -\frac{1}{\lambda} = 0$ με διακρίνουσα

$\Delta = (\lambda + 2)^2 > 0$ για κάθε $\lambda \in(-1,0)$ άρα έχει δύο άνισες λύσεις.

ε) Τα σημεία τομής με τους άξονες είναι $A(0,\frac{1}{\lambda}) , B(-\frac{1}{\lambda},0)$ άρα το εμβαδόν θα είναι
$E = |-\frac{1}{2\l^2}| = \frac{1}{\l^2}$

irakleios · #69

Eίδα στο πανέμορφο φυλλάδιο του Μιχάλη Νάννου ότι η άσκηση 19 περιμένει εμένα να το προτείνω(είδα το όνομά μου

)
Οπότε έφτιαξα την παρακάτω την οποία την αφιερώνω στους Στάθη Κούτρα και Μιχάλη Νάννο (οι λόγοι είναι ευνόητοι)

Ελπίζω να μην έχει πατάτες

'Ασκηση 19

Δίνεται η εξίσωση x^2 - (a - 4)x - 4a = 0

(1) όπου α , παράμετρος .

α) Υπολογίστε την διακρίνουσά της

β) Δείξτε ότι η εξίσωση έχει πάντα πραγματικές λύσεις . Για ποιά τιμή του α αυτές οι λύσεις είναι άνισες ;

γ) Αν $p_{1} = 2(1 - 3k) , p_{2} = 3(1 + 2k)$ είναι οι ρίζες της (1) ,

ι) Υπολογίστε την τιμή του α

ιι) Υπολογίστε το γινόμενο (1 + 2k)(1 - 3k)

ιιι) Υπολογίστε τις τιμές του k

ιν) Να λυθεί η εξίσωση (1)

v) Να λυθούν οι εξισώσεις :

A) (1 + |x|)^2 - 5|x| = 41

B)

Ps: είναι καλύτερα οι παράμετρος να είναι αλφα παρά λάμδα είναι πιο εύκολο στη χρήση Latex ειδικά όταν γράφεις τη λύση , το a βγαίνει παρόμοιο με το a , ενώ το λ είναι πιο κουραστικό (\lambda).

pana1333 · #70

irakleios έγραψε:Eίδα στο πανέμορφο φυλλάδιο του Μιχάλη Νάννου ότι η άσκηση 19 περιμένει εμένα να το προτείνω(είδα το όνομά μου )

Ωχ.....Δηλαδή πρέπει να ετοιμάζω την 20;

irakleios · #71

pana1333 έγραψε:
irakleios έγραψε:Eίδα στο πανέμορφο φυλλάδιο του Μιχάλη Νάννου ότι η άσκηση 19 περιμένει εμένα να το προτείνω(είδα το όνομά μου )
Ωχ.....Δηλαδή πρέπει να ετοιμάζω την 20;

χαχαχαχα το έχει η μοίρα μας

Ιστοσελίδα · #72

Aς συμμετάσχω και εγώ με ένα σχετικά απλό θέμα

Άσκηση 20η

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = (\kappa - 1)x + \lambda }$ , με $\displaystyle{\kappa ,\lambda}$ πραγματικοί αριθμοί.

α) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από τα σημεία $\displaystyle{ A(0,7) }$ και $\displaystyle{ B(1,5) }$ να προσδιορίσετε τα $\displaystyle{ \kappa ,\lambda }$ .

β) Για $\displaystyle{ \kappa = - 1 }$ και $\displaystyle{ \lambda = 7 }$ τότε:
i) Nα λύσετε την εξίσωση: $\displaystyle{\left| {f(x)} \right| = 5}$
ii) Να λύσετε την ανίσωση: $\displaystyle{\left| {f(x)} \right| < 3}$
iii) iii) Να λύσετε την ανίσωση: $\displaystyle{\frac{{f(x)}}{{x^2 + 2x - 3}} \le 0}$

#73

irakleios έγραψε:Eίδα στο πανέμορφο φυλλάδιο του Μιχάλη Νάννου ότι η άσκηση 19 περιμένει εμένα να το προτείνω(είδα το όνομά μου )
Οπότε έφτιαξα την παρακάτω την οποία την αφιερώνω στους Στάθη Κούτρα και Μιχάλη Νάννο (οι λόγοι είναι ευνόητοι)

Ελπίζω να μην έχει πατάτες
'Ασκηση 19

Δίνεται η εξίσωση (1) όπου α , παράμετρος .

α) Υπολογίστε την διακρίνουσά της

β) Δείξτε ότι η εξίσωση έχει πάντα πραγματικές λύσεις . Για ποιά τιμή του α αυτές οι λύσεις είναι άνισες ;

γ) Αν $p_{1} = 2(1 - 3k) , p_{2} = 3(1 + 2k)$ είναι οι ρίζες της (1) ,

ι) Υπολογίστε την τιμή του α

ιι) Υπολογίστε το γινόμενο

ιιι) Υπολογίστε τις τιμές του k

ιν) Να λυθεί η εξίσωση (1)

v) Να λυθούν οι εξισώσεις :

A)

B)

Ps: είναι καλύτερα οι παράμετρος να είναι αλφα παρά λάμδα είναι πιο εύκολο στη χρήση Latex ειδικά όταν γράφεις τη λύση , το a βγαίνει παρόμοιο με το a , ενώ το λ είναι πιο κουραστικό (\lambda).

Καλησπέρα στην εκλεκτή παρέα

α) Είναι

$\displaystyle{ \Delta = \left[ { - \left( {\alpha - 4} \right)} \right]^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 4\alpha } \right) = \left( {\alpha - 4} \right)^2 + 16\alpha = \alpha ^2 - 8\alpha + 16 + 16\alpha = \alpha ^2 + 8\alpha + 16 \Rightarrow \ldots \boxed{\Delta = \left( {\alpha + 4} \right)^2 } }$

β) Προφανώς για κάθε $\displaystyle{ \alpha \in R \Rightarrow \Delta = \left( {\alpha + 4} \right)^2 \geqslant 0 }$ η εξίσωση (1) έχει πραγματικές ρίζες για κάθε $\displaystyle{ \alpha \in R }$ .

Για να έχει η (1) ρίζες ίσες πρέπει και αρκεί $\displaystyle{ \Delta = 0 \Leftrightarrow \left( {\alpha + 4} \right)^2 = 0 \Leftrightarrow \alpha + 4 = 0 \Leftrightarrow \boxed{\alpha = - 4} }$

γ)

i) Με

$\displaystyle{ p_1 = 2\left( {1 - 3k} \right),p_2 = 3\left( {1 + 2k} \right) \Rightarrow p_1 + p_2 = 2\left( {1 - 3k} \right) + 3\left( {1 + 2k} \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{ p_1 + p_2 = 2 - 6k + 3 + 6k \Rightarrow p_1 + p_2 = 5\mathop \Rightarrow \limits^{p_1 + p_2 \mathop = \limits^{ - \frac{\beta } {\alpha }} \alpha - 4} \alpha - 4 = 5 \Rightarrow \ldots \boxed{\alpha = 9} }$

ii) Είναι $\displaystyle{ \left( {1 - 3k} \right) \cdot \left( {1 + 2k} \right) = \frac{{p_1 }} {2} \cdot \frac{{p_2 }} {3} = \frac{{p_1 \cdot p_2 }} {6}\mathop = \limits^{p_1 \cdot p_2 \mathop = \limits^{\left( {\frac{\gamma } {\alpha }} \right)} - 4\alpha \mathop \Rightarrow \limits^{\alpha = 9} p_1 \cdot p_2 = - 36} \frac{{ - 36}} {6} \Rightarrow \ldots \boxed{\left( {1 - 3k} \right) \cdot \left( {1 + 2k} \right) = - 6} }$

iii) Με

$\displaystyle{ \left( {1 - 3k} \right) \cdot \left( {1 + 2k} \right) = - 6 \Leftrightarrow 1 + 2k - 3k - 6k^2 = - 6 \Leftrightarrow \ldots 6k^2 + k - 7 = 0 \Leftrightarrow \ldots \boxed{\left\{ \begin{gathered} k = 1 \\ k = - \frac{7} {6} \\ \end{gathered} \right.} }$

iv) Για $\displaystyle{ k = 1 \Rightarrow \boxed{\left\{ \begin{gathered} p_1 = 2\left( {1 - 3 \cdot 1} \right) = - 4 \\ p_2 = 3\left( {1 + 2 \cdot 1} \right) = 9 \\ \end{gathered} \right.} }$ και για $\displaystyle{ k = - \frac{7} {6} \Rightarrow \boxed{\left\{ \begin{gathered} p_1 = 2\left( {1 - 3 \cdot \left( { - \frac{7} {6}} \right)} \right) = 9 \\ p_2 = 3\left( {1 + 2 \cdot \left( { - \frac{7} {6}} \right)} \right) = - 4 \\ \end{gathered} \right.} }$

v)

Α)

$\displaystyle{ \left( {1 + \left| x \right|} \right)^2 - 5\left| x \right| = 41 \Leftrightarrow \left( {1 + \left| x \right|} \right)^2 - 5\left| x \right| - 41 = 0 \Leftrightarrow \left( {1 + \left| x \right|} \right)^2 - 5\left| x \right| - 5 - 36 = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \left( {1 + \left| x \right|} \right)^2 - 5\left( {1 + \left| x \right|} \right) - 36 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{\gamma \iota \alpha \;\alpha = 9\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} x \to 1 + \left| x \right|} \ldots \left\{ \begin{gathered} 1 + \left| x \right| = 9 \\ 1 + \left| x \right| = - 4 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left| x \right| = 8 \\ 0 \leqslant \left| x \right| = - 5(\alpha \delta \upsilon \nu ) \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \ldots \boxed{x = \pm 8} }$

Β)

$\displaystyle{ \left( {2 + x^2 } \right)^2 + 5x^2 = 26\mathop \Leftrightarrow \limits^{x^2 = \omega \geqslant 0} \left( {2 + \omega } \right)^2 + 5\omega = 26 \Leftrightarrow \omega ^2 + 4\omega + 4 + 5\omega - 26 = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \omega ^2 + 9\omega - 22 = 0 \Leftrightarrow \ldots \left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant \omega = - 11(\alpha \pi o\rho \rho ) \\ \omega = 2 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \omega = 2\mathop \Rightarrow \limits^{x^2 = \omega } x^2 = 2 \Leftrightarrow \displaystyle{ \boxed{x = \pm \sqrt 2 } }$

Φιλικά

Στάθης Κούτρας

pana1333 · #74

Έ αφού δε πρόλαβα να δώσω την άσκηση ας δώσω μια συνοπτική λύση της....

α) Είναι f(0)=7 άρα λ=7 και f(1)=5 άρα κ=-1.

β) 1) $\left|f\left(x \right) \right|=5\Leftrightarrow \left|-2x+7 \right|=5$

Επομένως $-2x+7=5\Leftrightarrow x=1$ ή $-2x+7=5\Leftrightarrow x=6$

2) $\left|f\left(x \right) \right|<5\Leftrightarrow \left|-2x+7 \right|<5$

Επομένως $-3<-2x+7<3\Leftrightarrow -10<-2x<-4\Leftrightarrow 2<x<5$

3) Είναι $\frac{-2x+7}{x^{2}+2x-3}\leq 0\Leftrightarrow \left(-2x+7 \right)\left(x^{2}+2x-3 \right)\leq 0\Leftrightarrow \left(-2x+7 \right)\left(x-1 \right)\left(x+3 \right)$ $\leq0$
$\Leftrightarrow x\epsilon \left[-3,1 \right]\cup[\frac{7}{2},+ \infty)$

#75

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Aς συμμετάσχω και εγώ με ένα σχετικά απλό θέμα

Άσκηση 20η

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = (\kappa - 1)x + \lambda }$ , με $\displaystyle{\kappa ,\lambda}$ πραγματικοί αριθμοί.

α) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από τα σημεία $\displaystyle{ A(0,7) }$ και $\displaystyle{ B(1,5) }$ να προσδιορίσετε τα $\displaystyle{ \kappa ,\lambda }$ .

β) Για $\displaystyle{ \kappa = - 1 }$ και $\displaystyle{ \lambda = 7 }$ τότε:
i) Nα λύσετε την εξίσωση: $\displaystyle{\left| {f(x)} \right| = 5}$
ii) Να λύσετε την ανίσωση: $\displaystyle{\left| {f(x)} \right| < 3}$
iii) iii) Να λύσετε την ανίσωση: $\displaystyle{\frac{{f(x)}}{{x^2 + 2x - 3}} \le 0}$

Ακόμα μία καλησπέρα

α)
$\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} A\left( {0,7} \right) \in C_f \Leftrightarrow f\left( 0 \right) = 7\mathop \Leftrightarrow \limits^{f\left( x \right) = \left( {\kappa - 1} \right)x + \lambda \Rightarrow \ldots f\left( 0 \right) = \lambda } \lambda = 7 \\ {\rm B}\left( {1,5} \right) \in C_f \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = 5\mathop \Leftrightarrow \limits^{f\left( x \right) = \left( {\kappa - 1} \right)x + \lambda \Rightarrow \ldots f\left( 1 \right) = \left( {\kappa - 1} \right) + \lambda } \left( {\kappa - 1} \right) + \lambda = 5 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \boxed{\lambda = 7} \\ \left( {\kappa - 1} \right) + 7 = 5 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \ldots \left\{ \begin{gathered} \boxed{\lambda = 7} \\ \boxed{\kappa = - 1} \\ \end{gathered} \right. }$

β) Για $\displaystyle{ \kappa = - 1,\lambda = 7 \Rightarrow f\left( x \right) = - 2x + 7 }$

i) $\displaystyle{ \left| {f\left( x \right)} \right| = 5\mathop \Leftrightarrow \limits^{f\left( x \right) = - 2x + 7} \left| { - 2x + 7} \right| = 5 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 2x + 7 = 5 \\ v \\ - 2x + 7 = - 5 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \ldots \boxed{\left\{ \begin{gathered} x = 1 \\ v \\ x = 6 \\ \end{gathered} \right.} }$

ii)

$\displaystyle{ \left| {f\left( x \right)} \right| = < \mathop \Leftrightarrow \limits^{f\left( x \right) = - 2x + 7} \left| { - 2x + 7} \right| < 3 \Leftrightarrow - 3 < - 2x + 7 < 3\mathop \Leftrightarrow \limits^{ - 7} - 3 - 7 < - 2x < 3 - 7 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ - 10 < - 2x < - 4\mathop \Leftrightarrow \limits^{:\left( { - 2} \right) < 0} \frac{{ - 10}} {{ - 2}} > \frac{{ - 2x}} {{ - 2}} > \frac{{ - 4}} {{ - 2}} \Leftrightarrow \ldots \boxed{2 < x < 5} }$

iii)

$\displaystyle{ \frac{{f\left( x \right)}} {{x^2 + 2x - 3}} \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 2x + 7}} {{x^2 + 2x - 3}} \leqslant 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x^2 + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1,x = - 3} \left\{ \begin{gathered} \left( { - 2x + 7} \right) \cdot \left( {x^2 + 2x - 3} \right) \leqslant 0 \\ x \ne 1\quad \& \quad x \ne - 3 \\ \end{gathered} \right. }$

$\displaystyle{ \mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( { - 2x + 7} \right) \cdot \left( {x^2 + 2x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \ldots x = 1,x = - 3,x = \frac{7} {2}} \ldots \ldots \boxed{x \in \left( { - 3,1} \right) \cup \left[ {\frac{7} {2}, + \infty } \right)}:\left( {**} \right) }$

(**) Η επεξήγηση σας έρχεται σε λίγο... στο συννημένο πίνακα

Φιλικά

Στάθης Κούτρας

irakleios · #76

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: Β)

$\displaystyle{ \left( {2 + x^2 } \right)^2 + 5x^2 = 26\mathop \Leftrightarrow \limits^{x^2 = \omega \geqslant 0} \left( {2 + \omega } \right)^2 + 5\omega = 26 \Leftrightarrow \omega ^2 + 4\omega + 4 + 5\omega - 26 = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \omega ^2 + 9\omega - 22 = 0 \Leftrightarrow \ldots \left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant \omega = - 11(\alpha \pi o\rho \rho ) \\ \omega = 2 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \omega = 2\mathop \Rightarrow \limits^{x^2 = \omega } x^2 = 2 \Leftrightarrow \boxed{x = \pm\sqrt{ 2}} }$
[/size][/i][/color]

Φιλικά

Στάθης Κούτρας

Eυχαριστώ για τις λύσεις!!
Απλά να προτείνω και γώ μόνο μια διαφορετική λύση στο ν Β)

Είναι $(2 + x^2)^2 + 5x^2 = 26 \Leftrightarrow (-2 - x^2)^2 - 5(-2-x^2) - 36 = 0$ που είναι η αρνητική λύση της (1) δηλαδή το -4 οπότε $x^2 + 2 = 4 \Leftrightarrow x = \pm\sqrt{2}$

Ιστοσελίδα · #77

Άσκηση 21

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{\varphi \left( x \right) = {x^2} - {\rm{\lambda }}x + {\rm{\lambda }} - {\rm{1 }}{\rm{, \lambda }} \in R}$
Α) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση $\varphi \left( x \right) = 0$ έχει πραγματικές ρίζες, για κάθε $\lambda \in R$ .
Β) Aν $\displaystyle{{x_1},{x_2}}$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης της εξίσωσης $\varphi \left( x \right) = 0$ τότε
α) να εκφράσετε συναρτήσει του $\displaystyle{{\rm{\lambda }}}$ την παράσταση $\displaystyle{x_1^2 + x_2^2}$
β) να βρείτε για ποιες τιμές του $\displaystyle{{\rm{\lambda }}}$ ισχύει ότι $\displaystyle{\frac{{4\left| {{x_1}{x_2} + 3} \right| - 2}}{3} + 5 = \frac{{14\left| { - {x_1} - {x_2} - 2} \right|}}{4}}$
γ) να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $\displaystyle{f({\rm{\lambda }}) = 3\sqrt {x_1^2 + x_2^2 - 5} + 2012}$
δ) να ελέγξετε αν η συνάρτηση

είναι άρτια ή περιττή
Γ) Αν η συνάρτηση $\varphi$ έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία $x = \frac{1}{2}$ τότε
α) Να αποδείξετε ότι $\lambda = 1$
β) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\frac{{ \varphi\left( { - 1} \right)}}{{\left| x \right|}} = \frac{{\left| x \right|}}{{ \varphi\left( 2 \right)}} + \frac{3}{2}}$

Μίλτος

edit: Διόρθωσα τα f σε φ στην τελευταία εξίσωση (Υποδ. Στάθη)

#78

Α) Είναι $\displaystyle{ \Delta = \left( { - \lambda } \right)^2 - 4\left( {\lambda - 1} \right) = \lambda ^2 - 4\lambda + 4 = \left( {\lambda - 1} \right)^2 \Rightarrow \boxed{\Delta \geqslant 0,\forall \lambda \in R} }$
οπότε η εξίσωση $\displaystyle{ \phi \left( x \right) = 0 }$ έχει για κάθε $\displaystyle{ \lambda \in R }$ πραγματικές ρίζες

Β) Επειδή $\displaystyle{ x_1 ,x_2 }$ είναι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{ \phi \left( x \right) = 0 }$ τότε: $\displaystyle{ \boxed{x_1 + x_2 \mathop = \limits^{ - \frac{\beta } {\alpha } = - \frac{{ - \lambda }} {1}} \lambda }:\left( 1 \right) }$ και $\displaystyle{ \boxed{x_1 \cdot x_2 \mathop = \limits^{\frac{\gamma } {\alpha } = \frac{{\lambda - 1}} {1}} \lambda - 1}:\left( 2 \right) }$

α) Είναι

$\displaystyle{ x_1^2 + x_2^2 = \left( {x_1 + x_2 } \right)^2 - 2x_1 x_2 \mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right),\left( 2 \right)} x_1^2 + x_2^2 = \lambda ^2 - 2\left( {\lambda - 1} \right) \Rightarrow \ldots \boxed{x_1^2 + x_2^2 = \lambda ^2 - 2\lambda + 2} }$

β) Είναι

$\displaystyle{ \frac{{4\left| {x_1 x_2 + 3} \right| - 2}} {3} + 5 = \frac{{14\left| { - x_1 - x_2 - 2} \right|}} {4}\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left| { - x_1 - x_2 - 2} \right| = \left| {x_1 + x_2 + 2} \right|} \frac{{4\left| {x_1 x_2 + 3} \right| - 2}} {3} + 5 = \frac{{14\left| {x_1 + x_2 + 2} \right|}} {4}\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 1 \right),\left( 2 \right)} }$

$\displaystyle{ \frac{{4\left| {\lambda - 1 + 3} \right| - 2}} {3} + 5 = \frac{{14\left| {\lambda + 2} \right|}} {4} \Leftrightarrow \frac{{4\left| {\lambda + 2} \right| - 2}} {3} + 5 = \frac{{14\left| {\lambda + 2} \right|}} {4}\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left| {\lambda + 2} \right| = \omega \geqslant 0} \frac{{4\omega - 2}} {3} + 5 = \frac{{14\omega }} {4} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ 16\omega - 8 + 60 = 42\omega \Leftrightarrow 42\omega - 16\omega = 52 \Leftrightarrow 26\omega = 52 \Leftrightarrow \omega = 2 \geqslant 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left| {\lambda + 2} \right| = \omega } \left| {\lambda + 2} \right| = 2 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} \lambda - 2 = 2 \\ \lambda - 2 = - 2 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \boxed{\left\{ \begin{gathered} \lambda = 4 \\ \lambda = 0 \\ \end{gathered} \right.} }$

γ) Είναι :

$\displaystyle{ f\left( \lambda \right) = 3\sqrt {x_1^2 + x_2^2 - 5} + 2012\mathop \Rightarrow \limits^{x_1^2 + x_2^2 = \lambda ^2 - 2\lambda + 2} f\left( \lambda \right) = 3\sqrt {\lambda ^2 - 2\lambda + 2 - 5} + 2012 \Rightarrow \boxed{f\left( \lambda \right) = 3\sqrt {\lambda ^2 - 2\lambda - 3} + 2012} }$

Για να ορίζεται η f πρέπει και αρκεί $\displaystyle{ \lambda ^2 - 2\lambda - 3 \geqslant 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{\lambda ^2 - 2\lambda - 3 = 0 \Leftrightarrow \lambda = - 1,\lambda = 3} \ldots \lambda \leqslant - 1\;v\;\lambda \geqslant 3 \Rightarrow \boxed{{\rm A}_f = \left( { - \infty , - 1} \right] \cup \left[ {3, + \infty } \right)} }$

δ) Επειδή το πεδίο ορισμού της f δεν είναι «συμμετρικό ως προς το μηδέν» (δηλαδή επιλέγοντας το τυχαίο x του πεδίου ορισμού δεν ανήκει και το – x στο πεδίο ορισμού) η f δεν είναι ούτε άρτια , ούτε περιττή

Γ)α) Επειδή η φ έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία με εξίσωση $\displaystyle{ x = - \frac{\beta } {{2\alpha }}\mathop \Rightarrow \limits^{ - \frac{\beta } {{2\alpha }} = \frac{\lambda } {2}} x = \frac{\lambda } {2}\mathop \Rightarrow \limits^{\alpha \xi o\nu .\sigma \upsilon \mu \mu .x = \frac{1} {2}} \frac{1} {2} = \frac{\lambda } {2} \Rightarrow \boxed{\lambda = 1} }$

Γ)β) Για $\displaystyle{ \lambda = 1 }$ έχουμε: $\displaystyle{ \phi \left( x \right) = x^2 - x \Rightarrow }$ $\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} \phi \left( { - 1} \right) = 2 \\ \phi \left( 2 \right) = 2 \\ \end{gathered} \right. }$ οπότε η δοσμένη εξίσωση γίνεται ισοδύναμα:

$\displaystyle{ \frac{2} {{\left| x \right|}} = \frac{{\left| x \right|}} {2} + \frac{3} {2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{\frac{2} {{\left| x \right|}} = k > 0,\forall x \ne 0} k = \frac{1} {k} + \frac{3} {2} \Leftrightarrow 2k^2 = 2 + 3k \Leftrightarrow 2k^2 - 3k - 2 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} k = 2 > 0 \hfill \\ 0 < k = - \frac{1} {2}(\alpha \pi o\rho \rho .) \hfill \\ \end{gathered} \right. }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow k = 2\mathop \Leftrightarrow \limits^{\frac{2} {{\left| x \right|}} = k > 0,\forall x \ne 0} \left\{ \begin{gathered} \frac{2} {{\left| x \right|}} = 2 \\ x \ne 0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left| x \right| = 1 \\ x \ne 0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \pm 1 \\ x \ne 0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \boxed{x = \pm 1} }$

Φιλικά

Στάθης Κούτρας

Ιστοσελίδα · #79

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: Μίλτο νομίζω ότι υπάρχει πρόβλημα (η f δεν

Καλησπέρα Στάθη
Έχεις δίκιο
Έγραψα f αντί για φ
το διορθώνω
Συγνώμη για την ταλαιπωρία
Μίλτος

irakleios · #80

Θα προτείνω το τελευταίο μου θέμα που έφτιαξα σήμερα (αφιερωμένη σε όλους που πρόσφεραν σε αυτή την προσπάθεια)
Άσκηση 22

Δίνεται η εξίσωση (|m |- 1)x^2 - mx + 1 = 0

(1)

α) Αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει λύση για κάθε τιμή του πραγματικού m

β) Για ποιές τιμές του m η εξίσωση (1) έχει δύο λύσεις $x_{1} , x_{2}$ με $x_{1}-x_{2}\neq0$ ;

γ) Έστω $m\neq\pm1$ και έστω S , P

το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της (1) , αντίστοιχα . Να δείξετε ότι

$mS\geq P + 1$ .

δ) Για ποιές τιμές του m η εξίσωση (1) έχει λύση το 1 ;

ε) Έστω $m = 2011^{2012}$ , δείξτε ότι τότε η εξίσωση(1) θα έχει δύο άνισες λύσεις , απο τις οποίες μόνο μια θα είναι ακέραια .

ps: αν υπάρχουν λάθη ζητώ συγγνώμη.

Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Μέλη σε σύνδεση