Αντίθετοι - Αντίστροφοι.

[chris_gatos]

Την άσκηση αυτή θα την έδινα στην κατηγορία ''ασκήσεις για μαθητές'' αλλά στην πορεία το..μετάνιωσα.
Λέει , λοιπόν:

Αν οι αριθμοί:
, είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε πως οι αριθμοί α , β είναι αντίθετοι.

[papel]

Κατι γρηγορο πολλαπλασιαζοντας με τις συζυγεις βρισκω οτι και οι

α-(α^2+1)^(1/2) και β-(β^2+1)^(1/2) ειναι αντιθετοι.

Προσθετω κατα μελη τις :

α+(α^2+1)^(1/2)=1/(β+(β^2+1)^(1/2)

α-(α^2+1)^(1/2)=1/(β-(β^2+1)^(1/2)

....

2α=-2β

η α=-β το ζητουμενο.

(Εφοσον στο λεπτο που αφιερωσα δεν εκανα πραξιακο λαθος)

[mathxl]

[lonis]

Mία άλλη προσέγγιση, με γνώσεις Γ Λυκείου, όμως:
Η έχει παράγωγο αφού . Έτσι, η f είναι 1-1. Όμως η δοθείσα γράφεται διαδοχικά: οπότε .

Λεωνίδας

[sorfan]

Νομίζω ότι πρέπει να δωθεί ότι οι αριθμοί α, β είναι διαφορετικοί.

[chris_gatos]

A, ωραία. Μήπως μπορείτε να μου υποδείξετε ένα αντιπαράδειγμα που να δείχνει αυτήν την αναγκαιότητα;

[sybe]

Μου φαίνεται ότι δε χρειάζεται.
Αν α = β τότε οι αριθμοί και είναι ίσοι, άρα για να είναι αντίστροφοι πρέπει να είναι ίσοι με 1.
Άρα βγαίνει α = 0 και β = 0 που είναι αντίθετοι αφού έχουν άθροισμα 0.

Κάνω κάπου λάθος;