εξίσωση

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #1

Με την ύλη της Α΄λυκείου να λύσετε την εξίσωση
$\displaystyle{ \sqrt[3]{{x + 5}} + \sqrt[3]{{4 - x}} = 3 }$

GiannisL · #2

Δεν ξέρω αν ανταποκρίνεται στην απαίτηση για ύλη της α' λυκείου
Έχουμε λοιπόν $\displaystyle{ (x + 5 \ge 0, kai 4 - x \ge 0) \Rightarrow - 5 \le x \le 4 }$

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \frac{{\left( {\sqrt[3]{{x + 5}} + \sqrt[3]{{4 - x}}} \right)\left( {\sqrt[3]{{\left( {x + 5} \right)^2 }} - \sqrt[3]{{x + 5}}\sqrt[3]{{4 - x}} + \sqrt[3]{{\left( {4 - x} \right)^2 }}} \right)}}{{\sqrt[3]{{\left( {x + 5} \right)^2 }} - \sqrt[3]{{x + 5}}\sqrt[3]{{4 - x}} + \sqrt[3]{{\left( {4 - x} \right)^2 }}}} = 3 \Leftrightarrow \frac{9}{{\sqrt[3]{{\left( {x + 5} \right)^2 }} - \sqrt[3]{{x + 5}}\sqrt[3]{{4 - x}} + \sqrt[3]{{\left( {4 - x} \right)^2 }}}} = 3 \Leftrightarrow \\ \sqrt[3]{{\left( {x + 5} \right)^2 }} - \sqrt[3]{{x + 5}}\sqrt[3]{{4 - x}} + \sqrt[3]{{\left( {4 - x} \right)^2 }} = 3 \\ \end{array} }$
Θέτω α= $\displaystyle{ {\sqrt[3]{{x + 5}}} }$
β= $\displaystyle{ {\sqrt[3]{{4 - x}}} }$

Οπότε α+β=3 και αβ=2 με (α,β)=(2,1) ή (α,β)=(1,2)
οπότε εύκολα χ=3 ή χ=-4

#3

Για $-5\leq x\leq 4$ θέτουμε $k=\sqrt[3]{x+5} \Leftrightarrow x=k^{3}-5$ , $w=\sqrt[3]{4-x}\Leftrightarrow x=4-w^{3}$ ,

οπότε η εξίσωση γίνεται k+w=3 (I)

ενώ εξισώνοντας τα x βρίσκουμε: $k^{3}+w^{3}=9 (II)$ .

Επομένως διαιρώντας την (ΙΙ) με την (Ι) προκύπτει $k^{2}+w^{2}-kw=3$ ,

η οποία λόγω της (Ι) γίνεται: $(3-w)^{2}+w^{2}-(3-w)w=3 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow w^{2}-3w+2=0 \Leftrightarrow w = 1, w=2$ .

Επομένως: (k,w)=(1,2), (k,w)=(2,1)

, οπότε

.

Υ.Γ. Με πρόλαβε ο Γιάννης. Πάντως νομίζω ότι ανταποκρίνεται στην ύλη της Α΄ Λυκείου.

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #4

Η λύση που είδα είναι με ταυτότητα Euler .
Με τον περιορισμό $\displaystyle{ - 5 \le x \le 4 }$ έχουμε
$\displaystyle{ \sqrt[3]{{x + 5}} + \sqrt[3]{{4 - x}} + \left( { - \sqrt[3]{{3^3 }}} \right) = 0 }$
Ισοδύναμα από ταυτότητα Euler
$\displaystyle{ \left( {\sqrt[3]{{x + 5}}} \right)^3 + \left( {\sqrt[3]{{4 - x}}} \right)^3 + \left( { - \sqrt[3]{{3^3 }}} \right)^3 = 3 \cdot \sqrt[3]{{x + 5}} \cdot \sqrt[3]{{4 - x}} \cdot \left( { - \sqrt[3]{{3^3 }}} \right) \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{ x + 5 + 4 - x - 27 = - 9 \cdot \sqrt[3]{{x + 5}} \cdot \sqrt[3]{{4 - x}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{x + 5}} \cdot \sqrt[3]{{4 - x}} = 2 \Leftrightarrow \left( {x + 5} \right)\left( {4 - x} \right) = 8 \Leftrightarrow ... }$ και καταλήγουμε x = -4 ή x = 3
Πολύ όμορφες οι λύσεις σας Γιάννη και Λευτέρη . Σας ευχαριστώ που ασχοληθήκατε .

Stavroulitsa · #5

Καλησπέρα! Πολύ εντυπωσιακές οι λύσεις σας, θα γράψω και εγώ μια οχι τοσο αξιότιμη.( με λίγα λόγια μια βαρετή λύση...)
Συνήθως σε άθροισμα ή σε διαφορά κυβικών ριζών (έτσι λέγονται;;;) χρησιμοποιώ ή την ταυτότητα Euler ή τις απλές ταυτότητες με δυναμεις τρίτης, $\left(a\pm \beta \right)^3=a^3\pm \beta ^{3}\pm 3\alpha \beta \left(\alpha \pm \beta \right)$
Ονομάζουμε $a=\sqrt[3]{x+5}$ και $\beta =\sqrt[3]{4-x}$
οπότε έχουμε:
$a+\beta =3\Leftrightarrow \left(\alpha +\beta \right)^{3}=27\Leftrightarrow a^3+\beta ^{3}+3a\beta \left(a+\beta \right)=27\Leftrightarrow x+5+4-x+9a\beta=27\Leftrightarrow 9\alpha \beta =18\Leftrightarrow a\beta =2\Leftrightarrow \left(\sqrt[3]{x+5} \right)\left(\sqrt[3]{4-x} \right)=2\Leftrightarrow \left(x+5 \right)\left(4-x \right)=8\Leftrightarrow x^2+x-12=0\Leftrightarrow \left(x+ 4\right)\left(x-3 \right)=0$
οπότε ή χ=-4 ή χ=3.

εξίσωση

εξίσωση

Re: εξίσωση

Re: εξίσωση

Re: εξίσωση

Re: εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση