ισότητα με ρίζες

#1

Να αποδειχτεί ότι

$2\sqrt{2\sqrt{2}-1}+(\sqrt{2}-1)\sqrt{2+4\sqrt{2}+2\sqrt{5+4\sqrt{2}}}=1+\sqrt{5+4\sqrt{2}}$

#2

rek2 έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 16, 2023 1:18 am
Να αποδειχτεί ότι

$2\sqrt{2\sqrt{2}-1}+(\sqrt{2}-1)\sqrt{2+4\sqrt{2}+2\sqrt{5+4\sqrt{2}}}=1+\sqrt{5+4\sqrt{2}}$

Κώστα, αναζητάμε αλγεβρική απόδειξη για την ισότητα που διατύπωσε ο Γιώργος Μπαλόγλου

στο σχήμα του Λάμπρου Κατσάπα (Λάμπρο ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ), (ΕΔΩ);

Υπάρχει κάτι "απλό"; ή σε ξεγέλασε ο τίτλος του σχήματος του Λάμπρου;

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 16, 2023 11:47 am

Λάμπρο ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ

Γιώργο σε ευχαριστώ πολύ! Καλό Πάσχα εύχομαι.

#4

rek2 έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 16, 2023 1:18 am
Να αποδειχτεί ότι

$2\sqrt{2\sqrt{2}-1}+(\sqrt{2}-1)\sqrt{2+4\sqrt{2}+2\sqrt{5+4\sqrt{2}}}=1+\sqrt{5+4\sqrt{2}}$

Γράφω για τυπογραφική ευκολία $\sqrt{5+4\sqrt{2}}=a$ οπότε το αποδεικτέο γίνεται

$2\sqrt{2\sqrt{2}-1}+(\sqrt{2}-1)\sqrt{2+4\sqrt{2}+2a}=1+a$ που αφού $2+4\sqrt{2} = 5+4\sqrt{2}-3 = a^2-3$ γράφεται

$2\sqrt{2\sqrt{2}-1}+(\sqrt{2}-1)\sqrt{a^2-3+2a}=1+a ,\, (*)$

Πολλαπλασιάζουμε επί $\sqrt 2 + 1$ οπότε ο πρώτος προσθετέος στο αριστερό μέλος ισούται (μετά τον πολλαπλασιασμό) με

$2\sqrt{2\sqrt{2}-1}(\sqrt 2 + 1) = 2\sqrt{(2\sqrt{2}-1)(\sqrt 2 + 1)^2} = 2\sqrt{(2\sqrt{2}-1)(3+2\sqrt 2 )} = 2\sqrt{5+4\sqrt{2}} = 2a$

Άρα η (*)

μετά τον πολλαπλασιασμό επί $\sqrt{2}+1$ γίνεται ισοδύναμα

$2a + \sqrt{a^2-3+2a} = ( \sqrt{2}+1) +( \sqrt{2}+1) a$ ή αλλιώς

$\sqrt{a^2-3+2a} = ( \sqrt{2}+1) +( \sqrt{2}-1) a$

Υψώνουμε στο τετράγωνο οπότε ισοδύναμα (γιατί όλα είναι θετικά)

$a^2-3+2a = (3 +2\sqrt{2}) +2a + ( 3-2\sqrt{2}) a ^2$

Ισοδύναμα

$( 2\sqrt{2}-2) a ^2= 6 +2\sqrt{2}$ δηλαδή

$( 2\sqrt{2}-2) (5+4\sqrt{2}})= 6 +2\sqrt{2}$ δηλαδή μετά το άνοιγμα των παρενθέσεων

$6 +2\sqrt{2}= 6 +2\sqrt{2}$ , που ισχύει. Τελειώσαμε.

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Απρ 17, 2023 7:16 pm

rek2 έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 16, 2023 1:18 am
Να αποδειχτεί ότι

$2\sqrt{2\sqrt{2}-1}+(\sqrt{2}-1)\sqrt{2+4\sqrt{2}+2\sqrt{5+4\sqrt{2}}}=1+\sqrt{5+4\sqrt{2}}$
Γράφω για τυπογραφική ευκολία $\sqrt{5+4\sqrt{2}}=a$ οπότε το αποδεικτέο γίνεται

$2\sqrt{2\sqrt{2}-1}+(\sqrt{2}-1)\sqrt{2+4\sqrt{2}+2a}=1+a$ που αφού $2+4\sqrt{2} = 5+4\sqrt{2}-3 = a^2-3$ γράφεται

$2\sqrt{2\sqrt{2}-1}+(\sqrt{2}-1)\sqrt{a^2-3+2a}=1+a ,\, (*)$

Πολλαπλασιάζουμε επί $\sqrt 2 + 1$ οπότε ο πρώτος προσθετέος στο αριστερό μέλος ισούται (μετά τον πολλαπλασιασμό) με

$2\sqrt{2\sqrt{2}-1}(\sqrt 2 + 1) = 2\sqrt{(2\sqrt{2}-1)(\sqrt 2 + 1)^2} = 2\sqrt{(2\sqrt{2}-1)(3+2\sqrt 2 )} = 2\sqrt{5+4\sqrt{2}} = 2a$

Άρα η μετά τον πολλαπλασιασμό επί $\sqrt{2}+1$ γίνεται ισοδύναμα

$2a + \sqrt{a^2-3+2a} = ( \sqrt{2}+1) +( \sqrt{2}+1) a$ ή αλλιώς

$\sqrt{a^2-3+2a} = ( \sqrt{2}+1) +( \sqrt{2}-1) a$

Υψώνουμε στο τετράγωνο οπότε ισοδύναμα (γιατί όλα είναι θετικά)

$a^2-3+2a = (3 +2\sqrt{2}) +2a + ( 3-2\sqrt{2}) a ^2$

Ισοδύναμα

$( 2\sqrt{2}-2) a ^2= 6 +2\sqrt{2}$ δηλαδή

$( 2\sqrt{2}-2) (5+4\sqrt{2}})= 6 +2\sqrt{2}$ δηλαδή μετά το άνοιγμα των παρενθέσεων

$6 +2\sqrt{2}= 6 +2\sqrt{2}$ , που ισχύει. Τελειώσαμε.

Ok, τέλεια!!

το "κουμπί" ήταν η ισότητα

$\sqrt{2\sqrt{2}-1}(\sqrt 2 + 1) =\sqrt{5+4\sqrt{2}}$

ισότητα με ρίζες

ισότητα με ρίζες

Re: ισότητα με ρίζες

Re: ισότητα με ρίζες

Re: ισότητα με ρίζες

Re: ισότητα με ρίζες

Μέλη σε σύνδεση