Από μεγαλύτερες σε μικρότερες δυνάμεις

Συντονιστής: stranton

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5553
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: International
Επικοινωνία:

Από μεγαλύτερες σε μικρότερες δυνάμεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Δεκ 15, 2024 3:09 pm

Έστω x,y,z τέτοιοι ώστε x+y+z=0 και x^4 + y^4 + z^4 = 15. Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης x^2+ y^2 + z^2.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 17444
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Από μεγαλύτερες σε μικρότερες δυνάμεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Δεκ 15, 2024 5:37 pm

Σειρά ταυτοτήτων .Αν : a+b+c=0 , τότε :

a^2+b^2+c^2=2(a^2+ab+b^2) ,

a^3+b^3+c^3=3abc ( πασίγνωστο ) ,

a^4+b^4+c^4=2(a^2+ab+b^2)^2 ,

a^5+b^5+c^5=5abc(a^2+ab+b^2) ,

a^7+b^7+c^7=7abc(a^2+ab+b^2)^2 .

Συνεπώς : (a^2+b^2+c^2)^2=2(a^4+b^4+c^4)=2\cdot15=30 ,

επομένως : a^2+b^2+c^2=\sqrt{30} ( συγγνώμη για την αλλαγή ονομάτων ) .


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18255
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Από μεγαλύτερες σε μικρότερες δυνάμεις

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 15, 2024 7:04 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Δεκ 15, 2024 3:09 pm
Έστω x,y,z τέτοιοι ώστε x+y+z=0 και x^4 + y^4 + z^4 = 15. Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης x^2+ y^2 + z^2.
Από την x+y+z=0 έχουμε με ύψωση στο τετράγωνο

x^2+y^2+z^2= -2(xy+yz+zx),\,(*). Και ξανά

x^4+y^4+z^4+ 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)= 4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+ 8xyz(x+y+z) =

= 4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2) +0 , άρα

x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 = \dfrac {1}{2} (x^4+y^4+z^4) = \dfrac {15}{2} ,\,(**).

Yψώνοντας στο τετράγωνο την xy+yz+zx έχουμε

(xy+yz+zx)^2 = x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 + 2xyz(x+y+z)= ^{(**)}\dfrac {15}{2}+0

από όπου xy+yz+zx = \pm \sqrt {\dfrac {15}{2}} την οποία αν θέσουμε στην (*) δίνει

x^2+y^2+z^2= \pm \sqrt {30} αλλά κρατάμε μόνο το θετικό.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης