Από μεγαλύτερες σε μικρότερες δυνάμεις

Tolaso J Kos · #1

Έστω

τέτοιοι ώστε x+y+z=0

και

. Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης x^2+ y^2 + z^2

.

KARKAR · #2

Σειρά ταυτοτήτων .Αν : a+b+c=0

, τότε :

,

( πασίγνωστο ) ,

a^4+b^4+c^4=2(a^2+ab+b^2)^2

,

.

Συνεπώς : $(a^2+b^2+c^2)^2=2(a^4+b^4+c^4)=2\cdot15=30$ ,

επομένως : $a^2+b^2+c^2=\sqrt{30}$ ( συγγνώμη για την αλλαγή ονομάτων ) .

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 15, 2024 3:09 pm
Έστω τέτοιοι ώστε και . Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης .

Από την

έχουμε με ύψωση στο τετράγωνο

$x^2+y^2+z^2= -2(xy+yz+zx),\,(*)$ . Και ξανά

x^4+y^4+z^4+ 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)= 4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+ 8xyz(x+y+z) =

, άρα

$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 = \dfrac {1}{2} (x^4+y^4+z^4) = \dfrac {15}{2} ,\,(**)$ .

Yψώνοντας στο τετράγωνο την xy+yz+zx

έχουμε

$(xy+yz+zx)^2 = x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 + 2xyz(x+y+z)= ^{(**)}\dfrac {15}{2}+0$

από όπου $xy+yz+zx = \pm \sqrt {\dfrac {15}{2}}$ την οποία αν θέσουμε στην (*)

δίνει

$x^2+y^2+z^2= \pm \sqrt {30}$ αλλά κρατάμε μόνο το θετικό.

Από μεγαλύτερες σε μικρότερες δυνάμεις

Από μεγαλύτερες σε μικρότερες δυνάμεις

Re: Από μεγαλύτερες σε μικρότερες δυνάμεις

Re: Από μεγαλύτερες σε μικρότερες δυνάμεις

Μέλη σε σύνδεση