Γεωάλγεβρα

KARKAR · #1

: Γεωάλγεβρα.png (10.2 KiB) Προβλήθηκε 1484 φορές

$\bigstar$ Να κατασκευαστεί ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, στο οποίο η πλευρά

, η διάμεσος

και η υποτείνουσα

να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 16, 2025 7:21 am
$\bigstar$ Να κατασκευαστεί ορθογώνιο τρίγωνο , στο οποίο η πλευρά , η διάμεσος

και η υποτείνουσα να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου .

Καλησπέρα...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Γεωάλγεβρα 2.png (27.82 KiB) Προβλήθηκε 1425 φορές

Όπως φαίνεται και από το σχήμα πρέπει να λύσουμε την εξίσωση:

$\displaystyle{c\sqrt{\lambda^4-1}=2c\sqrt{\lambda^2-1} \ \ (1) }$

η οποία ορίζεται για τιμές $\displaystyle{\lambda \geq 1 \ \ (2) }$

Εύκολα λύνεται η (1) και δίνει λύσεις τις $\displaystyle{ \lambda =1, \ \ \lambda=\sqrt{3} }$

Από αυτές δεκτή είναι η $\displaystyle{ \lambda =\sqrt{3} }$

σύμφωνα με την οποία κατασκευάστηκε και το κατωτέρω σχήμα:

: Γεωάλγεβρα 3.png (19.52 KiB) Προβλήθηκε 1425 φορές

Κώστας Δόρτσιος

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 16, 2025 7:21 am
Γεωάλγεβρα.png $\bigstar$ Να κατασκευαστεί ορθογώνιο τρίγωνο , στο οποίο η πλευρά , η διάμεσος

και η υποτείνουσα να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου .

Από τη γεωμετρική πρόοδο είναι $\boxed{x^2=ac}$ και από Π.Θ στα τρίγωνα ABC, ABM:

: Γεωάλγεβρα.png (9.38 KiB) Προβλήθηκε 1390 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} {b^2} = {a^2} - {c^2} \hfill \\ {b^2} = 4{x^2} - 4{c^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow {a^2} - {c^2} = 4ac - 4{c^2} \Leftrightarrow {a^2} - 4ac + 3{c^2} = 0, a>c,$

απ' όπου $\boxed{a=3c}$ ή a=c

που απορρίπτεται. Η κατασκευή είναι τώρα απλή.

Γεωάλγεβρα

Γεωάλγεβρα

Re: Γεωάλγεβρα

Re: Γεωάλγεβρα

Μέλη σε σύνδεση