Ολοκλήρωμα για διαγωνισμούς!
Συντονιστής: Demetres
Ολοκλήρωμα για διαγωνισμούς!
Να αποδείξετε ότι
Υ.Γ Θα την αφήσω όσο θέλετε και μετά θα παραθέσω τη λύση μου. Όσοι φοιτητές είστε εδώ, προσπαθήστε το αν θέλετε .
Υ.Γ Θα την αφήσω όσο θέλετε και μετά θα παραθέσω τη λύση μου. Όσοι φοιτητές είστε εδώ, προσπαθήστε το αν θέλετε .
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15785
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ολοκλήρωμα για διαγωνισμούς!
.
α) Αλλάζουμε την σειρά ολοκλήρωσης, οπότε το ζητούμενο ισούται με
β) Στο επειδή ισχύει , ισοδύναμα , έχουμε . Άρα
γ) Στο κάνουμε (για κάθε σταθερό ) την αλλαγή μεταβλητής . Είναι τότε
οπότε μένει να υπολογίσουμε το τελευταίο ολοκλήρωμα. Αυτό ισούται με το
To μερικό άθροισμα όρων της σειράς αυτής με χρήση του τύπου του Stirling δίνει
Αντικαθιστώντας τις τιμές που βρήκαμε, θα καταλήξουμε στην δοθείσα απάντηση.
Edit: Διόρθωσα τυπογραφικό.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Παρ Δεκ 22, 2023 11:13 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Ολοκλήρωμα για διαγωνισμούς!
Καλημέρα. Ευχαριστώ για τη λύση, βάζω και τη δική μου.
Κάνουμε τον μετασχηματισμό συντεταγμένων και (αλλάζουν τα χωρία ολοκλήρωσης) και η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι Επομένως :
Έχουμε
Επιπλέον:
Επίσης :
Συνεπώς:
Από τις σχέσεις και παίρνουμε:
Κάνουμε τον μετασχηματισμό συντεταγμένων και (αλλάζουν τα χωρία ολοκλήρωσης) και η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι Επομένως :
Έχουμε
Επιπλέον:
Επίσης :
Συνεπώς:
Από τις σχέσεις και παίρνουμε:
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης