Διοφαντική Εξίσωση Χ^2+3*Υ^2=Ζ^2

lefsk · #1

Γεια σας! Έχω να βρω όλες τις πρωταρχικές λύσεις της διοφαντικής εξίσωσης $\displaystyle{ x^2+3y^2=z^2 }$ .

Εγώ ξεκίνησα ως εξής:

Οι τετριμμένες λύσεις $\displaystyle{ (x, y, z) }$ είναι οι $\displaystyle{ (x, 0, x), (-x, 0, x), (x, 0, -x), (-x, 0, -x) }$ .
Άρα, έστω $\displaystyle{ xyz \neq 0 }$ .
Αν $\displaystyle{ (x, y, z) }$ λύση, τότε $\displaystyle{ (\pm x, \pm y, \pm z ) }$ λύσεις.
Άρα ψάχνω λύσεις στους θετικούς ακεραίους.

Αν $\displaystyle{ k = (x, y, z) }$ τότε $\displaystyle{ x= kx', y=ky', z=kz }$ 'με $\displaystyle{ (x', y', z')=1 }$ και εμείς ψάχνουμε τις λύσεις της $\displaystyle{ x' ^2 + 3y'^2 = z'^2 }$ .

Μετά σκέφτηκα να πάρω περιπτώσεις για τα πρόσημα των $\displaystyle{ x', y', z' }$ αλλά γενικά κολλάω.

Υπάρχει γενικά κάποια μέθοδος για εξισώσεις της μορφής $\displaystyle{ x ^2 + Ny^2 = z^2 }$ .

Ευχαριστώ εκ των προτέρων!!

Μπερντένης Γεώργιος · #2

Καταρχήν καλησπέρα
Μπορείς να πάρεις διάφορες περιπτώσεις για τους x,y,z

Παράδειγμα μια εύκολη λύση και προφανής λύση της συγκεκριμένης εξίσωσης είναι η x = 1,y = 1,z= 2

Φιλικά,
Γιώργος

#3

Το κόλπο εδώ είναι να το γράψουμε ως εξής:

$\displaystyle 3y^2 = (z-x)(z+x)$

Θεωρώντας ότι οι z,x

είναι πρώτοι μεταξύ τους, πρέπει (z-x,z+x) = (z-x,2z)

το οποίο είναι ίσο με

ή

. Υπάρχουν λοιπόν οι εξής περιπτώσεις:

z -x = 3a^2,z+x=b^2

όπου σε όλες τις περιπτώσεις οι a,b

είναι πρώτοι μεταξύ τους.

Στην πρώτη περίπτωση βρίσκουμε $\displaystyle x = \frac{b^2-3a^2}{2}, y = ab$ και $\displaystyle z = \frac{3a^2 + b^2}{2}$ με τους a,b

να είναι αναγκαστικά περιττοί. Ομοίως δουλεύονται και οι άλλες περιπτώσεις.

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ · #4

Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει μέθοδος επιλυσής των εξισώσεων της μορφής $x^{2}+ay^{2}=z^{2}$ , $a\epsilon \mathbb{N}$ .
Αν y=0

, η εξίσωση έχει τις τετριμένες λύσεις: (x,y,z)=(0,0,0)

και $(x,y,z)=(\pm t,0,\pm t)$ , $t\epsilon\mathbb{Z}$ .
Αν $y\neq 0$ , η εξίσωση γράφεται:
$(\frac{x}{y})^{2}+a=(\frac{z}{y})^{2}$ , (1)

.
Έστω ότι για τους ρητούς αριθμούς $\frac{x}{y}$ και $\frac{z}{y}$ ισχύει:
$\frac{z}{y}=\frac{x}{y}+\frac{k}{l}$ ,όπου $k,l\epsilon\mathbb{Z}$ με (k,l)=1

.

Η

γράφεται:
$(\frac{x}{y})^{2}+a=(\frac{x}{y})^{2}+\frac{2kx}{ly}+\frac{k^{2}}{l^{2}}\Leftrightarrow \frac{x}{y}=\frac{al^{2}-k^{2}}{2kl}$
Έτσι υπάρχει $m\epsilon\mathbb{Z}$ , με $x=(al^{2}-k^{2})m$ και y=2klm

.
Η

δίνει:
$\frac{z}{y}=\frac{al^{2}-k^{2}}{2kl}+\frac{k}{l}\Leftrightarrow z=2klm(\frac{al^{2}-k^{2}}{2kl}+\frac{k}{l})\Leftrightarrow z=(al^{2}+k^{2})m$
Επομένως ,έχουμε τις ακέραιες λύσεις:
$(x,y,z)=((al^{2}-k^{2})m,2klm,(al^{2}+k^{2})m)$ , με $k,l,m\epsilon\mathbb{Z}$ .
Οπότε οι λύσεις της εξίσωσής θα προκύψουν αν θέσουμε όπου

το

(δηλαδή όταν a=3

)
Άρα $(x,y,z)=((3l^{2}-k^{2})m,2klm,(3l^{2}+k^{2})m)$ , με $k,l,m\epsilon\mathbb{Z}$ .

Διοφαντική Εξίσωση Χ^2+3*Υ^2=Ζ^2

Διοφαντική Εξίσωση Χ^2+3*Υ^2=Ζ^2

Re: Διοφαντική Εξίσωση Χ^2+3*Υ^2=Ζ^2

Re: Διοφαντική Εξίσωση Χ^2+3*Υ^2=Ζ^2

Re: Διοφαντική Εξίσωση Χ^2+3*Υ^2=Ζ^2

Μέλη σε σύνδεση