Ισότητα γωνιών

KARKAR · #1

: Ισότητα γωνιών.png (11.47 KiB) Προβλήθηκε 872 φορές

Σε παραλληλόγραμμο ABCD

με

, γράφω τον κύκλο , ο οποίος διέρχεται

από τα B,C,D

. Η διχοτόμος της $\hat{A}$ τέμνει την

στο

, ενώ η διχοτόμος της $\hat{C_{\epsilon\xi}}$ ,

τέμνει τον κύκλο στο

. Δείξτε ότι : $\widehat{BAD}=\widehat{CST}$

Ιστοσελίδα · #2

KARKAR έγραψε:Σε παραλληλόγραμμο με , γράφω τον κύκλο , ο οποίος διέρχεται

από τα . Η διχοτόμος της $\hat{A}$ τέμνει την στο , ενώ η διχοτόμος της $\hat{C_{\epsilon\xi}}$ ,

τέμνει τον κύκλο στο . Δείξτε ότι : $\widehat{BAD}=\widehat{CST}$

Καλημέρα.

: ισότητα-γωνιών.jpg (34.12 KiB) Προβλήθηκε 850 φορές

Έστω $\widehat C = 2D\widehat AT = 2T\widehat AB = 2D\widehat TA = 2\omega$ , οπότε DT = DA = BC

. Από εξωτερική διχοτόμο είναι $S\widehat CD = {90^ \circ } - \omega \mathop = \limits^{\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma .SCBD} S\widehat BD$ και θέτω $S\widehat DC = S\widehat BC = \varphi$ .

Αφού $\widehat A + \widehat B = {180^ \circ } \Rightarrow D\widehat BA = B\widehat DC = {90^ \circ } - \omega - \varphi$ . Τώρα, το $\triangleleft SDB$ είναι ισοσκελές $\left( {S\widehat DB = S\widehat BD = {{90}^ \circ } - \omega } \right)$ και από $\triangleleft STD\mathop {{\rm{ }} = }\limits^{\Pi - \Gamma - \Pi } \triangleleft SCB \Rightarrow ST = SC \Rightarrow S\widehat CT = S\widehat TC = {90^ \circ } - \omega$ και $C\widehat ST = \widehat A = 2\omega$ .

Edit: Έγραψα αναλυτικά τη λύση.

#3

KARKAR έγραψε:Σε παραλληλόγραμμο με , γράφω τον κύκλο , ο οποίος διέρχεται

από τα . Η διχοτόμος της $\hat{A}$ τέμνει την στο , ενώ η διχοτόμος της $\hat{C_{\epsilon\xi}}$ ,

τέμνει τον κύκλο στο . Δείξτε ότι : $\widehat{BAD}=\widehat{CST}$

: Ισότητα γωνιών 2.PNG (26.04 KiB) Προβλήθηκε 825 φορές

Κι ένα μικρό ακόμα ερώτημα:
Γιατί η $\displaystyle{ST}$ προεκτεινόμενη θα περάσει από το σημείο $\displaystyle{Z}$ ;

Κώστας Δόρτσιος

#4

KDORTSI έγραψε:
KARKAR έγραψε:Σε παραλληλόγραμμο με , γράφω τον κύκλο , ο οποίος διέρχεται

από τα . Η διχοτόμος της $\hat{A}$ τέμνει την στο , ενώ η διχοτόμος της $\hat{C_{\epsilon\xi}}$ ,

τέμνει τον κύκλο στο . Δείξτε ότι : $\widehat{BAD}=\widehat{CST}$

Το συνημμένο Ισότητα γωνιών 2.PNG δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Κι ένα μικρό ακόμα ερώτημα:
Γιατί η $\displaystyle{ST}$ προεκτεινόμενη θα περάσει από το σημείο $\displaystyle{Z}$ ;

Κώστας Δόρτσιος

Καλημέρα Θανάση, Μιχάλη και Κώστα. Καλημέρα σε όλους.

Έχει ήδη αποδειχθεί από τον Μιχάλη ότι $\displaystyle{T\widehat SC = \widehat A}$

Το τετράπλευρο ZBCD

είναι ισοσκελές τραπέζιο, οπότε Τόξο (DZB)=

Τόξο

$\displaystyle{Z\widehat SC = D\widehat CB = \widehat A \Leftrightarrow Z\widehat SC = T\widehat SC}$

Άρα τα σημεία S, T, Z

είναι συνευθειακά (Τα σημεία T, Z

είναι εσωτερικά της γωνίας $D\widehat SC$ ).

: Ισότητα γωνιών.png (18.79 KiB) Προβλήθηκε 799 φορές

#5

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Ισότητα γωνιών.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σε παραλληλόγραμμο με , γράφω τον κύκλο , ο οποίος διέρχεται

από τα . Η διχοτόμος της $\hat{A}$ τέμνει την στο , ενώ η διχοτόμος της $\hat{C_{\epsilon\xi}}$ ,

τέμνει τον κύκλο στο . Δείξτε ότι : $\widehat{BAD}=\widehat{CST}$

Γεια σε όλους.

: Ισες γωνίες_1.png (31.8 KiB) Προβλήθηκε 750 φορές

Μετά την παρατήρηση του κ. Κώστα ας δούμε λίγο ανακόλουθα μια ακόμα λύση .

Έχουμε λοιπόν ένα παραλληλόγραμμο ABCD

και γράφουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου BDC

που με το δεδομένο ότι AB > BC

ο κύκλος αυτός θα τμήσει την πλευρά

έστω σε σημείο

.

Προφανώς το τετράπλευρο EBCD

είναι ισοσκελές τραπέζιο και άρα : $BC = ED \Rightarrow DE = DA\,\,(1)$ . Εξ άλλου είναι γνωστό ότι αν σε παραλληλόγραμμο φέρουμε διχοτόμο μιας γωνίας του θα σχηματιστεί

ισοσκελές τρίγωνο . Εδώ δηλαδή αν φέρουμε την διχοτόμο της γωνίας στο

μέχρι να τμήσει την

στο

το τρίγωνο DAT

είναι ισοσκελές με κορυφή το

γιατί λόγω και της παραλληλίας των AB,DC

θα έχει τις γωνίες τις προσκείμενες στη βάση του

, ίσες . Δηλαδή είναι DA = DT

οπότε λόγω της (1)

θα είναι $\boxed{DT = DE}\,\,\,(2)$

Αντί να φέρουμε τη διχοτόμο της εξωτερικής γωνίας στο

, φέρνουμε την ημιευθεία

που τέμνει τον κύκλο σε σημείο ,έστω

.

Τα τρίγωνα $DTE\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,STC$ έχουν τις γωνίες τους στο

ίσες ως κατακορυφήν και $\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_4}}$ γιατί βαίνουν στο ίδιο τόξο .

Τα τρίγωνα λοιπόν $DTE\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,STC$ είναι ισογώνια και άρα και το τρίγωνο STC

είναι ισοσκελές με κορυφή το

δηλαδή : $\widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}}$ και $\boxed{\widehat S = \widehat {{\xi _1}} = \widehat \xi = \widehat A}\,\,(3)$ .

Μένει να δείξουμε ότι η

είναι διχοτόμος της εξωτερικής $\widehat C$ γωνίας του παραλληλογράμμου. Επειδή λόγω της (3)

$\widehat S = \widehat \xi$ η ευθεία

εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου STC

και άρα

$\widehat \theta = \widehat {{a_3}} \Rightarrow \boxed{\widehat \theta = \widehat {{a_4}}}$ που λόγω του μονοσήμαντου της διχοτόμου γωνίας , η απόδειξη ολοκληρώνεται.

Φιλικά Νίκος

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Ισότητα γωνιών.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σε παραλληλόγραμμο με , γράφω τον κύκλο , ο οποίος διέρχεται

από τα . Η διχοτόμος της $\hat{A}$ τέμνει την στο , ενώ η διχοτόμος της $\hat{C_{\epsilon\xi}}$ ,

τέμνει τον κύκλο στο . Δείξτε ότι : $\widehat{BAD}=\widehat{CST}$

Μια λύση εκτός φακέλου

Ας είναι $\displaystyle{AT \cap BC = E}$ οπότε προφανώς $\displaystyle{\vartriangle ADT,TEC}$ είναι ισοσκελή.
Έστω $\displaystyle{O}$ το κέντρο του παραλ/μμου και $\displaystyle{SO \bot DB}$ .Θα αποδείξουμε ότι $\displaystyle{CS}$ διχοτόμος της $\displaystyle{{C_{\varepsilon \xi }}}$ .
Θεωρούμε $\displaystyle{SL \bot CD,SN \bot BC \Rightarrow NLO}$ ευθεία Simson του $\displaystyle{\vartriangle BCD}$
$\displaystyle{SDOL,SDBC,SNCL}$ εγγράψιμα, οπότε $\displaystyle{\angle SCL = \angle SCN = \omega \Rightarrow CS}$ διχοτόμος της $\displaystyle{{C_{\varepsilon \xi }}}$ $\displaystyle{ \Rightarrow CK \bot AE \Rightarrow \omega + x = {90^0}}$ κι επειδή $\displaystyle{\angle SLD = {90^0} \Rightarrow \angle \varphi = \angle x \Rightarrow OL//AE}$ .
Όμως, $\displaystyle{O}$ μέσον της $\displaystyle{AC \Rightarrow L,N}$ μέσα των $\displaystyle{TC,CE}$
Έτσι ,το τρίγωνο $\displaystyle{STC}$ είναι ισοσκελές οπότε $\displaystyle{\angle 2\omega + \angle TSC = {180^0} = \angle 2\omega + \angle A \Rightarrow \boxed{\angle TSC = \angle A}}$

Ισότητα γωνιών

Ισότητα γωνιών

Re: Ισότητα γωνιών

Re: Ισότητα γωνιών

Re: Ισότητα γωνιών

Re: Ισότητα γωνιών

Re: Ισότητα γωνιών

Μέλη σε σύνδεση