Ισότητα γωνιών προς εξέταση

KARKAR · #1

: Γραπτή εξέταση.png (11.37 KiB) Προβλήθηκε 645 φορές

Πάνω στη διάμεσο

τριγώνου $\displaystyle ABC$ παίρνουμε σημείο

, ώστε

$\widehat{MBS}=\widehat{BAM}$ . Εξετάστε αν ισχύει και $\widehat{MCS}=\widehat{CAM}$ .

Ιστοσελίδα · #2

KARKAR έγραψε:Πάνω στη διάμεσο τριγώνου $\displaystyle ABC$ παίρνουμε σημείο , ώστε

$\widehat{MBS}=\widehat{BAM}$ . Εξετάστε αν ισχύει και $\widehat{MCS}=\widehat{CAM}$ .

Καλημέρα.

: Ισότητα-γωνιών-προς-εξέταση.png (26.26 KiB) Προβλήθηκε 639 φορές

Αν φέρουμε τον περίκυκλο του $\triangleleft ASB$ παρατηρούμε ότι $OB \bot BC$

Έτσι, $MS \cdot MA = M{B^2} = M{C^2}$ , συνεπώς $O'C \bot CB\,(O'$ κέντρο του περίκυκλου του $\triangleleft ASC)$ , επομένως $\varphi = \omega$

nikkru · #3

KARKAR έγραψε:
Γραπτή εξέταση.png
Πάνω στη διάμεσο τριγώνου $\displaystyle ABC$ παίρνουμε σημείο , ώστε

$\widehat{MBS}=\widehat{BAM}$ . Εξετάστε αν ισχύει και $\widehat{MCS}=\widehat{CAM}$ .

Τα τρίγωνα AMB,BMS

είναι όμοια ( η γωνία $\hat{M}$ κοινή και $\hat{BAM}=\hat{MBS}$ ), οπότε: $\frac{AM}{BM}=\frac{MB}{MS}=\frac{MC}{MS}$ (αφού BM=MC

).
Τότε και τα τρίγωνα AMC,CMS

είναι όμοια, αφού έχουν την γωνία $\hat{M}$ κοινή και τις πλευρές που την περιέχουν ανάλογες.
Οπότε και οι γωνίες που είναι απέναντι από ομόλογες πλευρές είναι ίσες, δηλαδή $\hat{\varphi}=\hat{\omega}$ .

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Γραπτή εξέταση.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Πάνω στη διάμεσο τριγώνου $\displaystyle ABC$ παίρνουμε σημείο , ώστε

$\widehat{MBS}=\widehat{BAM}$ . Εξετάστε αν ισχύει και $\widehat{MCS}=\widehat{CAM}$ .

Καλημέρα

Σχηματίζω το παραλληλόγραμμο ABA'C

,συνεπώς είναι $\hat{\theta }=\hat{AA'C}=\hat{SBC}$ δηλαδή το τετράπλευρο SBA'C

είναι εγράψιμο σε κύκλο με $\hat{SCB}=\hat{\omega }=\hat{MA'B}, BA'//AC\Leftrightarrow \hat{\omega }=\hat{\phi }$

Γιάννης

#5

STOPJOHN έγραψε:
KARKAR έγραψε:
Γραπτή εξέταση.png
Πάνω στη διάμεσο τριγώνου $\displaystyle ABC$ παίρνουμε σημείο , ώστε

$\widehat{MBS}=\widehat{BAM}$ . Εξετάστε αν ισχύει και $\widehat{MCS}=\widehat{CAM}$ .

Καλημέρα

Σχηματίζω το παραλληλόγραμμο ,συνεπώς είναι $\hat{\theta }=\hat{AA'C}=\hat{SBC}$ δηλαδή το τετράπλευρο είναι εγράψιμο σε κύκλο με $\hat{SCB}=\hat{\omega }=\hat{MA'B}, BA'//AC\Leftrightarrow \hat{\omega }=\hat{\phi }$

Γιάννης

Καλημέρα .
Ωραίες οι λύσεις , αλλά του Γιάννη είναι και σύννομη

Φιλικά Νίκος

#6

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Γραπτή εξέταση.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Πάνω στη διάμεσο τριγώνου $\displaystyle ABC$ παίρνουμε σημείο , ώστε

$\widehat{MBS}=\widehat{BAM}$ . Εξετάστε αν ισχύει και $\widehat{MCS}=\widehat{CAM}$ .

Καλημέρα σε όλους τους φίλους!

: Ισότητα γωνιών προς εξέταση.png (20.08 KiB) Προβλήθηκε 587 φορές

Η

τέμνει τον περίκυκλο του ABC

στο

. Είναι $\displaystyle{B\widehat AD = B\widehat CD = \theta ,\hat {DAC} = D\widehat BC = \varphi }$ . Προφανώς τα τρίγωνα

MBS, MDC

είναι ίσα, άρα το BSCD

είναι παραλληλόγραμμο (οι διαγώνιοί του διχοτομούνται) και κατά συνέπεια $\boxed{\varphi = \omega }$

Ισότητα γωνιών προς εξέταση

Ισότητα γωνιών προς εξέταση

Re: Ισότητα γωνιών προς εξέταση

Re: Ισότητα γωνιών προς εξέταση

Re: Ισότητα γωνιών προς εξέταση

Re: Ισότητα γωνιών προς εξέταση

Re: Ισότητα γωνιών προς εξέταση

Μέλη σε σύνδεση