Κανονικά Επτάγωνα και Ομοκυκλικά Σημεία

[ΓΙΩΡΓΟΣ ΣΤΑΥΡΟΥ]

Δίνεται κανονικό επτάγωνο . Έστω , , τα σημεία τομής των , και θεωρουμένων ανά δύο. Να δείξετε πως εγγράψιμο.

[ΓΙΩΡΓΟΣ ΣΤΑΥΡΟΥ]

Παραθέτω και το σχήμα της άσκησης.

Εγγράψιμο.png (88.22 KiB) Προβλήθηκε 219 φορές

[αρψ2400]

Δίνεται κανονικό επτάγωνο . Έστω , , τα σημεία τομής των , και θεωρουμένων ανά δύο. Να δείξετε πως εγγράψιμο.

Έστω , η πλευρά του κανονικού επταγώνου , η μικρή διαγώνιος του και η μεγάλη διαγώνιός του .Οι γωνίες του σχήματος με το είναι είτε εγγεγραμμένες , είτε γωνίες τεμνουσών κύκλου στο εσωτερικό ή το εξωτερικό του , είτε εξωτερικές του κανονικού επταγώνου . Προκύπτουν λοιπόν τα εξής : . Στο τρίγωνο , , και άρα .Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και η διάμεσος είναι ίση με το μισό της .Έχουμε λοιπόν ένα τρίγωνο με πλευρά , διάμεσο σε αυτήν την πλευρά και . Με χρήση τριγωνομετρίας και τις σχέσεις μικρής (b) και μεγάλης (c) διαγωνίου στο κανονικό επτάγωνο αποδεικνύουμε ότι και .Τότε θα είναι και άρα το θα είναι εγγράψιμο.Ακολουθεί η απόδειξη του τελευταίου ισχυρισμού:

ΠΡΟΕΙΔΟΠΟΙΗΣΗ !!! Η ακόλουθη απόδειξη έγινε με χρήση A.I. Ο αναγνώστης συνεχίζει με δική του ευθύνη.Βέβαια έκανα ακριβώς τα ίδια πράγματα στο χαρτί , πριν το δώσω στο chatgpt ,(με πολύ συγκεκριμένες οδηγίες ),και θα μπορούσα να μην το αναφέρω καν , αλλά ένας μαθηματικός δεν πρέπει να λέει ποτέ ψέματα.Δεν καταλαβαίνω γιατί έπρεπε να γράψω όλη αυτή τη latex με το πληκτρολόγιο , (όπως έκανα για το παραπάνω κείμενο ) ,ενώ υπάρχει το κατάλληλο εργαλείο.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Έστω το ίχνος του ύψους από το στη βάση .

Θέτουμε

Τότε


Επειδή είναι το μέσο του , έχουμε

Ακόμη, στο ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει

άρα


Επομένως


Στα ορθογώνια τρίγωνα και έχουμε

Άρα

Επειδή

και

παίρνουμε


Τώρα, για το κανονικό επτάγωνο ισχύει

οπότε μετά από αντικατάσταση προκύπτει

Άρα


Συνεπώς


https://chatgpt.com/share/69e1ee42-0878 ... 51cb2952d2

[Γιώργος Ρίζος]

Καλημέρα σας. Επιτρέψτε μου τη διατύπωση μιας γνώμης:

Δεν καταλαβαίνω γιατί έπρεπε να γράψω όλη αυτή τη latex με το πληκτρολόγιο , (όπως έκανα για το παραπάνω κείμενο ) ,ενώ υπάρχει το κατάλληλο εργαλείο.

Ένας πτυχιούχος μαθηματικός δεν έχει κανένα λόγο να κάθεται να γράφει πλήρεις λύσεις π.χ. σε εξισώσεις πρώτου, δευτέρου βαθμού ή να διατυπώνει το Πυθαγόρειο θεώρημα. Πολλές φορές σε λύσεις που αναρτούμε, παραβλέπουμε κάποια προφανή βήματα. Αυτό είναι θεμιτό.

Όμως, αν γράφουμε, όπως σε διάφορα άλλα fora, fb κ.λπ. "Εύκολη άσκηση. Κάνουμε ένα Θ.Μ.Τ., δύο Rolle, βάλε κι ένα Bolzano και βγαίνει εύκολα...", αυτό είναι προφανές ότι δεν έχει νόημα ως ανάρτηση απάντησης θέματος και δεν το επιθυμούμε στο

Για λόγους πληρότητας (δεν είμαστε fb), θέλουμε οι αναρτήσεις να έχουν, όσο γίνεται, πλήρεις, σωστές, πολλαπλές λύσεις και σχόλια (ιστορικά, παραπομπές) που δίνουν προστιθέμενη αξία σε κάθε θέμα

Τώρα, αν κάποιος βαριέται να γράψει την απάντηση και χρησιμοποιεί εργαλεία Τ.Ν., τότε ας μην αναρτήσει καθόλου απάντηση. Δεν τον υποχρεώνει κανείς.
Ούτε, έχει νόημα, να γράψει: "Την έλυσα μόνος μου την άσκηση, αλλά επειδή βαριέμαι να γράφω, την έδωσα στο μηχάνημα να τη λύσει και αναρτώ τη λύση του μηχανήματος".

Όσον αφορά μαθητές, είναι κακή επιρροή η αναφορά: "Γιατί να κάνω πράξεις; Τις δίνω στο μηχάνημα".

Για να γλυτώσουμε από την τυραννία των αλγοριθμικών διαδικασιών, πρέπει πριν τις απαρνηθούμε, να τις κατέχουμε.(*) Αυτό οφείλουμε να μεταδώσουμε στους μαθητές.

Η Τεχνητή νοημοσύνη δεν κάνει απλώς τις πράξεις, που θα έκανε για εμάς ένα κομπιουτεράκι ή τους στατιστικούς υπολογισμούς που κάναμε το 1980 με το casio fx10 F. Κάνει και τους συλλογισμούς, που ΠΡΕΠΕΙ να μάθουν να κάνουν οι μαθητές.

Κάνοντας έναν παραλληλισμό, είναι σαν να λένε οι μαθητές στο γυμναστή τους: "Γιατί να κάνω το γύρο του γηπέδου τρέχοντας; Έχω ηλεκτρικό πατίνι".

Ίσως να εκφράζω γερασμένες απόψεις. Οι εξελίξεις τρέχουν με ταχύτητα υπερβολικά μεγάλη για τις αντιλήψεις μου. Επιμένω, όμως, στην αναγκαιότητα εξάσκησης της διανόησης των μαθητών μας. Για να το πετύχουμε αυτό οφείλουμε κι εμείς να διδασκόμαστε και να εξασκούμαστε, αεί γηρασκόμενοι (δυστυχώς... για το τελευταίο).
Ευχαριστώ για την προσοχή σας.
Κάθε αντίλογος, σε κλίμα σεβασμού, δεκτός.

(*) Αυτό το είχε διατυπώσει ο σεβαστός καθηγητής Βένιος Αγγελόπουλος. Το επαναλαμβάνω όπου σταθώ κι όπου βρεθώ.

[george visvikis]

Καλημέρα σας. Επιτρέψτε μου τη διατύπωση μιας γνώμης:

Δεν καταλαβαίνω γιατί έπρεπε να γράψω όλη αυτή τη latex με το πληκτρολόγιο , (όπως έκανα για το παραπάνω κείμενο ) ,ενώ υπάρχει το κατάλληλο εργαλείο.

Ένας πτυχιούχος μαθηματικός δεν έχει κανένα λόγο να κάθεται να γράφει πλήρεις λύσεις π.χ. σε εξισώσεις πρώτου, δευτέρου βαθμού ή να διατυπώνει το Πυθαγόρειο θεώρημα. Πολλές φορές σε λύσεις που αναρτούμε, παραβλέπουμε κάποια προφανή βήματα. Αυτό είναι θεμιτό.

Όμως, αν γράφουμε, όπως σε διάφορα άλλα fora, fb κ.λπ. "Εύκολη άσκηση. Κάνουμε ένα Θ.Μ.Τ., δύο Rolle, βάλε κι ένα Bolzano και βγαίνει εύκολα...", αυτό είναι προφανές ότι δεν έχει νόημα ως ανάρτηση απάντησης θέματος και δεν το επιθυμούμε στο

Για λόγους πληρότητας (δεν είμαστε fb), θέλουμε οι αναρτήσεις να έχουν, όσο γίνεται, πλήρεις, σωστές, πολλαπλές λύσεις και σχόλια (ιστορικά, παραπομπές) που δίνουν προστιθέμενη αξία σε κάθε θέμα

Τώρα, αν κάποιος βαριέται να γράψει την απάντηση και χρησιμοποιεί εργαλεία Τ.Ν., τότε ας μην αναρτήσει καθόλου απάντηση. Δεν τον υποχρεώνει κανείς.
Ούτε, έχει νόημα, να γράψει: "Την έλυσα μόνος μου την άσκηση, αλλά επειδή βαριέμαι να γράφω, την έδωσα στο μηχάνημα να τη λύσει και αναρτώ τη λύση του μηχανήματος".

Όσον αφορά μαθητές, είναι κακή επιρροή η αναφορά: "Γιατί να κάνω πράξεις; Τις δίνω στο μηχάνημα".

Για να γλυτώσουμε από την τυραννία των αλγοριθμικών διαδικασιών, πρέπει πριν τις απαρνηθούμε, να τις κατέχουμε.(*) Αυτό οφείλουμε να μεταδώσουμε στους μαθητές.

Η Τεχνητή νοημοσύνη δεν κάνει απλώς τις πράξεις, που θα έκανε για εμάς ένα κομπιουτεράκι ή τους στατιστικούς υπολογισμούς που κάναμε το 1980 με το casio fx10 F. Κάνει και τους συλλογισμούς, που ΠΡΕΠΕΙ να μάθουν να κάνουν οι μαθητές.

Κάνοντας έναν παραλληλισμό, είναι σαν να λένε οι μαθητές στο γυμναστή τους: "Γιατί να κάνω το γύρο του γηπέδου τρέχοντας; Έχω ηλεκτρικό πατίνι".

Ίσως να εκφράζω γερασμένες απόψεις. Οι εξελίξεις τρέχουν με ταχύτητα υπερβολικά μεγάλη για τις αντιλήψεις μου. Επιμένω, όμως, στην αναγκαιότητα εξάσκησης της διανόησης των μαθητών μας. Για να το πετύχουμε αυτό οφείλουμε κι εμείς να διδασκόμαστε και να εξασκούμαστε, αεί γηρασκόμενοι (δυστυχώς... για το τελευταίο).
Ευχαριστώ για την προσοχή σας.
Κάθε αντίλογος, σε κλίμα σεβασμού, δεκτός.

(*) Αυτό το είχε διατυπώσει ο σεβαστός καθηγητής Βένιος Αγγελόπουλος. Το επαναλαμβάνω όπου σταθώ κι όπου βρεθώ.

Συμφωνώ σε όλα!

[αρψ2400]

Καλημέρα σας. Επιτρέψτε μου τη διατύπωση μιας γνώμης:

Δεν καταλαβαίνω γιατί έπρεπε να γράψω όλη αυτή τη latex με το πληκτρολόγιο , (όπως έκανα για το παραπάνω κείμενο ) ,ενώ υπάρχει το κατάλληλο εργαλείο.

Ένας πτυχιούχος μαθηματικός δεν έχει κανένα λόγο να κάθεται να γράφει πλήρεις λύσεις π.χ. σε εξισώσεις πρώτου, δευτέρου βαθμού ή να διατυπώνει το Πυθαγόρειο θεώρημα. Πολλές φορές σε λύσεις που αναρτούμε, παραβλέπουμε κάποια προφανή βήματα. Αυτό είναι θεμιτό.

Όμως, αν γράφουμε, όπως σε διάφορα άλλα fora, fb κ.λπ. "Εύκολη άσκηση. Κάνουμε ένα Θ.Μ.Τ., δύο Rolle, βάλε κι ένα Bolzano και βγαίνει εύκολα...", αυτό είναι προφανές ότι δεν έχει νόημα ως ανάρτηση απάντησης θέματος και δεν το επιθυμούμε στο

Για λόγους πληρότητας (δεν είμαστε fb), θέλουμε οι αναρτήσεις να έχουν, όσο γίνεται, πλήρεις, σωστές, πολλαπλές λύσεις και σχόλια (ιστορικά, παραπομπές) που δίνουν προστιθέμενη αξία σε κάθε θέμα

Τώρα, αν κάποιος βαριέται να γράψει την απάντηση και χρησιμοποιεί εργαλεία Τ.Ν., τότε ας μην αναρτήσει καθόλου απάντηση. Δεν τον υποχρεώνει κανείς.
Ούτε, έχει νόημα, να γράψει: "Την έλυσα μόνος μου την άσκηση, αλλά επειδή βαριέμαι να γράφω, την έδωσα στο μηχάνημα να τη λύσει και αναρτώ τη λύση του μηχανήματος".

Όσον αφορά μαθητές, είναι κακή επιρροή η αναφορά: "Γιατί να κάνω πράξεις; Τις δίνω στο μηχάνημα".

Για να γλυτώσουμε από την τυραννία των αλγοριθμικών διαδικασιών, πρέπει πριν τις απαρνηθούμε, να τις κατέχουμε.(*) Αυτό οφείλουμε να μεταδώσουμε στους μαθητές.

Η Τεχνητή νοημοσύνη δεν κάνει απλώς τις πράξεις, που θα έκανε για εμάς ένα κομπιουτεράκι ή τους στατιστικούς υπολογισμούς που κάναμε το 1980 με το casio fx10 F. Κάνει και τους συλλογισμούς, που ΠΡΕΠΕΙ να μάθουν να κάνουν οι μαθητές.

Κάνοντας έναν παραλληλισμό, είναι σαν να λένε οι μαθητές στο γυμναστή τους: "Γιατί να κάνω το γύρο του γηπέδου τρέχοντας; Έχω ηλεκτρικό πατίνι".

Ίσως να εκφράζω γερασμένες απόψεις. Οι εξελίξεις τρέχουν με ταχύτητα υπερβολικά μεγάλη για τις αντιλήψεις μου. Επιμένω, όμως, στην αναγκαιότητα εξάσκησης της διανόησης των μαθητών μας. Για να το πετύχουμε αυτό οφείλουμε κι εμείς να διδασκόμαστε και να εξασκούμαστε, αεί γηρασκόμενοι (δυστυχώς... για το τελευταίο).
Ευχαριστώ για την προσοχή σας.
Κάθε αντίλογος, σε κλίμα σεβασμού, δεκτός.

(*) Αυτό το είχε διατυπώσει ο σεβαστός καθηγητής Βένιος Αγγελόπουλος. Το επαναλαμβάνω όπου σταθώ κι όπου βρεθώ.

Σας ευχαριστώ για την απάντησή σας στο ερώτημά μου , και για τον ωραίο τρόπο που τη διατυπώσατε .Θα ήθελα να συνεχίσουμε τη συζήτηση (την έχουμε κάνει και σε άλλο post) με την ίδια νηφαλιότητα της παραπάνω απάντησή σας.Τα προβλήματα που έχουμε τώρα στην δευτεροβάθμια και την τριτοβάθμια εκπαίδευση τα έχουμε εδώ και πάρα πολύ καιρό στο δημοτικό και λιγότερο (αλλά αρκετό -10-15 χρόνια) σε επί μέρους θέματα και στο γυμνάσιο.Τα παιδιά στο δημοτικό μαθαίνουν τις βασικές πράξεις , αλλά υπάρχει εδώ και πάρα πολύ καιρό το κλασσικό κομπιουτεράκι .Μαθαίνουν εξισώσεις α' βαθμού στο γυμνάσιο αλλά υπήρχαν πριν την Α.Ι. , τα mathsolver , photomath , mathway κτλ , τα οποία έκαναν (με κλασσικό-λογικό προγραμματισμό ) ένα σωρό πράγματα , ακόμα και για την πανεπιστημιακή ύλη .Και εξηγεί ο δάσκαλος ,και ο καθηγητής :Μπορείς να χρησιμοποιείς τα εργαλεία αυτά μόνο όταν μπορείς να κάνεις τα ίδια πράγματα μόνος σου.Αν οι μαθητές χρησιμοποιούσαν κομπιουτεράκι χωρίς να μάθουν πρόσθεση με το χέρι , δεν θα έβγαιναν επιστήμονες που θα έφτιαχναν το symbolab , ή an οι φοιτητές έκαναν διαγωνιοποίηση πίνακα με το symbolab χωρίς να ξέρουν οι ίδιοι , δεν θα έβγαιναν επιστήμονες που θα έφτιαχναν το chatgpt.Όμως μή μου πείτε ότι δεν χρησιμοποιείτε κλασσικό κομπιουτεράκι , ή κάποιο σχεδιαστικό πρόγραμμα για να δείτε γρήγορα τη συμπεριφορά μιας συνάρτησης , ή geogebra για μια δύσκολη άσκηση που θέλει καλό σχήμα .Τί σημαίνει αυτό , ότι δεν μπορείτε να το κάνετε με κανόνα και διαβήτη;Η απάντηση είναι η σωστή και υπεύθυνη χρήση .Αν δείτε το λινκ που ανέβασα έδωσα πολύ συγκεκριμένες οδηγίες και από τις διάφορες εκδοχές ανέβασα τη λύση πού ήταν η ίδια με τη δική μου στο χαρτί.Το πρόβλημα αυτό το έλυσα μόνος μου , γράφοντας σε latex με το πληκτρολόγιο το πραγματικά σημαντικό κομμάτι του προβλήματος .Χρησιμοποίησα το εργαλείο του mathematica για τους τύπους latex.Αυτό γιατί δεν είναι κακό;