Μέγιστη τιμή αθροίσματος

#1

: Μέγιστη τιμή αθροίσματος...png (15.1 KiB) Προβλήθηκε 320 φορές

Στο τραπέζιο ABCD (AB||CD)

είναι

και

οι προβολές του

στις

αντίστοιχα. Αν

S, T

είναι οι προβολές των E, F

στην

να βρείτε το μέγιστο του αθροίσματος AS+AT

και πότε αυτό επιτυγχάνεται.

#2

Επαναφορά.

#3

george visvikis έγραψε: Τετ Φεβ 25, 2026 11:46 am Μέγιστη τιμή αθροίσματος...png
Στο τραπέζιο είναι και οι προβολές του στις αντίστοιχα. Αν

είναι οι προβολές των στην να βρείτε το μέγιστο του αθροίσματος και πότε αυτό επιτυγχάνεται.

.

: μέγιστη διαφ.png (29.06 KiB) Προβλήθηκε 150 φορές

.
Απάντηση: Το μέγιστο του αθροίσματος είναι

και το πετυχαίνουμε όταν AB=a

.

Γράφουμε το ημικύκλιο κέντρου

και ακτίνας AD=AC=a

. Θέτουμε

και

.

Στο πρώτο στάδιο εργαζόμαστε με τις γαλάζιες γραμμές στο σχήμα.

Από το ορθογώνιο τρίγωνο LAD

είναι

, και άρα από το LBD

είναι

Οπότε από τα όμοια τρίγωνα LDB, AEB

έχουμε $\dfrac {AE}{d}= \dfrac {LD}{DB}$ , άρα

$AE^2= \dfrac {d^2(a^2-h^2)}{a^2+d^2+2dh}$ οπότε από το ορθογώνιο τρίγωνο AEB

έχουμε

$AS= \dfrac {AE^2}{AB}= \dfrac {d(a^2-h^2)}{a^2+d^2+2dh}$

Θα δούμε ότι αυτό έχει μέγιστο $\dfrac {a-h}{2}$ το οποίο λαμβάνει όταν d=a

.

Πράγματι από την $a^2+d^2\ge 2ad$ έχουμε

$AS= \dfrac {d(a^2-h^2)}{a^2+d^2+2dh} \le \dfrac {d(a^2-h^2)}{2ad+2dh} = \dfrac {d(a-h)(a+h)}{2d(a+h)}= \dfrac {a-h}{2}$

με ισότητα όταν d=a

. Δηλαδή $\boxed {AS_{max }= \dfrac {a-h}{2}}$

Όμοια εργαζόμενοι με τις πράσινες γραμμές θα βρούμε

$AT= \dfrac {d(a^2-h^2)}{a^2+d^2-2dh}$

και κατόπιν $\boxed {AT_{max}= \dfrac {a+h}{2}}$ με ισότητα όταν d=a

.

Συνεπώς

$(AS+AT)_{max} \le AS_{max}+ AT_{max}= \dfrac {a-h}{2}+ \dfrac {a+h}{2}=a$ με ισότητα όταν d=a

#4

george visvikis έγραψε: Τετ Φεβ 25, 2026 11:46 am
Στο τραπέζιο είναι και οι προβολές του στις αντίστοιχα. Αν

είναι οι προβολές των στην να βρείτε το μέγιστο του αθροίσματος και πότε αυτό επιτυγχάνεται.

Ας το δούμε με ύλη Α' Λυκείου. Έστω M, N

τα μέσα των AD, AC

αντίστοιχα, οπότε $ME=NF=\dfrac{a}{2}.$

Έστω ακόμα M', N'

οι προβολές των M, N

στην

Προφανώς,

: Μέγιστη τιμή αθροίσματος.β.png (18.63 KiB) Προβλήθηκε 82 φορές

$\displaystyle M'A + AS = M'S \leqslant EM = \frac{a}{2} \Leftrightarrow AS \leqslant \frac{a}{2} - M'A \Leftrightarrow$ $\boxed{AS \leqslant \frac{a}{2} - AN'}$ (1)

$\displaystyle AT - AN' = N'T \leqslant NF = \frac{a}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{AT \leqslant \frac{a}{2} + AN}$ (2)

Με πρόσθεση κατά μέλη των (1), (2)

,

$\boxed{AS+AT\le a}$ με την ισότητα να ισχύει όταν τα M, N, E, F

είναι συνευθειακά και MF||AB,

δηλαδή

Μέγιστη τιμή αθροίσματος

Μέγιστη τιμή αθροίσματος

Re: Μέγιστη τιμή αθροίσματος

Re: Μέγιστη τιμή αθροίσματος

Re: Μέγιστη τιμή αθροίσματος

Μέλη σε σύνδεση