Μέγιστη τιμή αθροίσματος

#1

: Μέγιστη τιμή αθροίσματος...png (15.1 KiB) Προβλήθηκε 209 φορές

Στο τραπέζιο ABCD (AB||CD)

είναι

και

οι προβολές του

στις

αντίστοιχα. Αν

S, T

είναι οι προβολές των E, F

στην

να βρείτε το μέγιστο του αθροίσματος AS+AT

και πότε αυτό επιτυγχάνεται.

#2

Επαναφορά.

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 25, 2026 11:46 am
Μέγιστη τιμή αθροίσματος...png
Στο τραπέζιο είναι και οι προβολές του στις αντίστοιχα. Αν

είναι οι προβολές των στην να βρείτε το μέγιστο του αθροίσματος και πότε αυτό επιτυγχάνεται.

.

: μέγιστη διαφ.png (29.06 KiB) Προβλήθηκε 39 φορές

.
Απάντηση: Το μέγιστο του αθροίσματος είναι

και το πετυχαίνουμε όταν AB=a

.

Γράφουμε το ημικύκλιο κέντρου

και ακτίνας AD=AC=a

. Θέτουμε

και

.

Στο πρώτο στάδιο εργαζόμαστε με τις γαλάζιες γραμμές στο σχήμα.

Από το ορθογώνιο τρίγωνο LAD

είναι

, και άρα από το LBD

είναι

Οπότε από τα όμοια τρίγωνα LDB, AEB

έχουμε $\dfrac {AE}{d}= \dfrac {LD}{DB}$ , άρα

$AE^2= \dfrac {d^2(a^2-h^2)}{a^2+d^2+2dh}$ οπότε από το ορθογώνιο τρίγωνο AEB

έχουμε

$AS= \dfrac {AE^2}{AB}= \dfrac {d(a^2-h^2)}{a^2+d^2+2dh}$

Θα δούμε ότι αυτό έχει μέγιστο $\dfrac {a-h}{2}$ το οποίο λαμβάνει όταν d=a

.

Πράγματι από την $a^2+d^2\ge 2ad$ έχουμε

$AS= \dfrac {d(a^2-h^2)}{a^2+d^2+2dh} \le \dfrac {d(a^2-h^2)}{2ad+2dh} = \dfrac {d(a-h)(a+h)}{2d(a+h)}= \dfrac {a-h}{2}$

με ισότητα όταν d=a

. Δηλαδή $\boxed {AS_{max }= \dfrac {a-h}{2}}$

Όμοια εργαζόμενοι με τις πράσινες γραμμές θα βρούμε

$AT= \dfrac {d(a^2-h^2)}{a^2+d^2-2dh}$

και κατόπιν $\boxed {AT_{max}= \dfrac {a+h}{2}}$ με ισότητα όταν d=a

.

Συνεπώς

$(AS+AT)_{max} \le AS_{max}+ AT_{max}= \dfrac {a-h}{2}+ \dfrac {a+h}{2}=a$ με ισότητα όταν d=a

Μέγιστη τιμή αθροίσματος

Μέγιστη τιμή αθροίσματος

Re: Μέγιστη τιμή αθροίσματος

Re: Μέγιστη τιμή αθροίσματος

Μέλη σε σύνδεση