Ανισότητα

#1

Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ με $AB<A\Gamma$ .Φέρνουμε την διχοτόμο $A\Delta$ και παίρνουμε σημείο

εσωτερικό του $A\Delta$ . Να δείξετε ότι $M\Gamma - MB< A\Gamma - AB$ .

kostasrmd · #2

xr.tsif έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 11, 2018 12:34 pm
Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ με $AB<A\Gamma$ .Φέρνουμε την διχοτόμο $A\Delta$ και παίρνουμε σημείο εσωτερικό του $A\Delta$ . Να δείξετε ότι $M\Gamma - MB< A\Gamma - AB$ .

$MG-MB<AG-AB=>MG-AG<MB-AB \overset{MB-AB<AM}{\rightarrow} MG-AG<AM$ που ισχύει λόγω τριγωνικής ανισότητας. Κάπου λογικά έχω λάθος διότι δεν έκανα χρήση της διχοτόμου.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

kostasrmd έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 11, 2018 9:27 pm

xr.tsif έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 11, 2018 12:34 pm
Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ με $AB<A\Gamma$ .Φέρνουμε την διχοτόμο $A\Delta$ και παίρνουμε σημείο εσωτερικό του $A\Delta$ . Να δείξετε ότι $M\Gamma - MB< A\Gamma - AB$ .
$MG-MB<AG-AB=>MG-AG<MB-AB \overset{MB-AB<AM}{\rightarrow} MG-AG<AM$ που ισχύει λόγω τριγωνικής ανισότητας. Κάπου λογικά έχω λάθος διότι δεν έκανα χρήση της διχοτόμου.

Προφανώς και είναι λάθος.
Υπόθεσες ότι ισχύει αυτό που θέλεις να αποδείξεις και με συνεπαγωγές κατέληξες σε κάτι που ισχύει.
Θα ήταν εντάξει αν είχαμε ισοδυναμίες.
Δεν πειράζει.Τα λάθη είναι για τους ανθρώπους.

#4

kostasrmd έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 11, 2018 9:27 pm
$MG-MB<AG-AB=>MG-AG<MB-AB \overset{MB-AB<AM}{\rightarrow} MG-AG<AM$ που ισχύει λόγω τριγωνικής ανισότητας. Κάπου λογικά έχω λάθος διότι δεν έκανα χρήση της διχοτόμου.

Πράγματικά, υπάρχουν λογικά σφάλματα. Πρώτα απ' όλα κάνεις την ανάποδη πορεία. Δεύτερον και ουσιαστικότερο, αν θέλεουμε να αποδείξουμε a<b

και αποδείξουμε πρώτα ότι είναι αληθής η a<c

για κάποιο

πιο μεγάλο από το

, ΔΕΝ μπορούμε να συμπεράνουμε ότι a<b

Με απλά λόγια, αν το αποδεικτέο είναι a<10

αλλά δείξουμε ότι a<100

, δεν κάναμε τίποτα.

Edit: Με πρόλαβε ο Σταύρος. Το αφήνω.

Ορέστης Λιγνός · #5

xr.tsif έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 11, 2018 12:34 pm
Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ με $AB<A\Gamma$ .Φέρνουμε την διχοτόμο $A\Delta$ και παίρνουμε σημείο εσωτερικό του $A\Delta$ . Να δείξετε ότι $M\Gamma - MB< A\Gamma - AB$ .

: anisotita.png (25.12 KiB) Προβλήθηκε 1211 φορές

Φέρνουμε κάθετη από το

στην

, που τέμνει την

στο

.

Τότε, εύκολα είναι $AB=AK, \ MB=MK$ (η

είναι μεσοκάθετος της

).

Το

είναι εσωτερικό της

, αφού

Η τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο $\vartriangle MCK$ δίνει $CK>MC-MK \Rightarrow AC-AK>MC-MB \Rightarrow AC-AB>MC-MB$ ό.έ.δ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 11, 2018 11:41 pm

xr.tsif έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 11, 2018 12:34 pm
Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ με $AB<A\Gamma$ .Φέρνουμε την διχοτόμο $A\Delta$ και παίρνουμε σημείο εσωτερικό του $A\Delta$ . Να δείξετε ότι $M\Gamma - MB< A\Gamma - AB$ .
anisotita.png

Φέρνουμε κάθετη από το στην , που τέμνει την στο .

Τότε, εύκολα είναι $AB=AK, \ MB=MK$ (η είναι μεσοκάθετος της ).

Το είναι εσωτερικό της , αφού

Η τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο $\vartriangle MCK$ δίνει $CK>MC-MK \Rightarrow AC-AK>MC-MB \Rightarrow AC-AB>MC-MB$ ό.έ.δ.

Δύο παρατηρήσεις.

1)Αν το

είναι σημείο της ευθείας που ορίζουν τα $A,\Delta$

διαφορετικό του

τότε $\left | MB-M\Gamma \right |< A\Gamma -AB$

2)Το αποτέλεσμα ισχύει στην Απόλυτη Γεωμετρία.(δηλαδή δεν έχει σχέση με το αξίωμα των παραλλήλων)

#7

xr.tsif έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 11, 2018 12:34 pm
Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ με $AB<A\Gamma$ .Φέρνουμε την διχοτόμο $A\Delta$ και παίρνουμε σημείο εσωτερικό του $A\Delta$ . Να δείξετε ότι $M\Gamma - MB< A\Gamma - AB$ .

: Ανισότητα.Τ.png (12.59 KiB) Προβλήθηκε 1150 φορές

Επί των

θεωρώ σημεία E, H

αντίστοιχα, ώστε AE=AB

και

Εύκολα παίρνω ME=MH

οπότε η γωνία $M\widehat HE$ είναι οξεία, άρα η $C\widehat HE$ αμβλεία και συνεπώς $\displaystyle CH < CE \Leftrightarrow$ $\boxed{MC-MB<AC-AB}$

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση