Ανισότητα

#1

Για κάθε $0<|x|<\tfrac{\pi}{2}$ να αποδειχθεί ότι $\displaystyle\Big(\frac{\sin{x}}{x}\Big)^2>1-\frac{x^2}{3}+\frac{x^4}{36}\,.$

Μέχρι 12/2/2019.

Chatzibill · #2

Αρκεί να δείξουμε πως η συνάρτηση $f(x)=(\frac{sinx}{x})^2-1+\frac{x^2}{3}-\frac{x^4}{36} , 0<|x|<\frac{\pi }{2}$ είναι θετική .
Η συνάρτηση είναι άρτια άρα μας αρκεί να δουλέψουμε μόνο στα θετικά.
$f(x)>0 \Rightarrow (\frac{sinx}{x})^2>1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{36} \Rightarrow (\frac{sinx}{x})^2>((\frac{x^2}{6})-1)^2\Rightarrow |\frac{sinx}{x}| >|\frac{x^2}{6}-1|\Rightarrow \frac{sinx}{x}>1-\frac{x^2}{6}\Rightarrow sinx>x-\frac{x^3}{6}\Rightarrow sinx-x +\frac{x^3}{6}>0$
Έστω η συνάρτηση $h(x)=sinx -x -\frac{x^3}{6} ,x\in (0,\frac{\pi }{2})$ $h'(x)=cosx -1 +\frac{x^2}{2} , x\in (0,\frac{\pi }{2})$ $h''(x)=-sinx + x<0 ,x\in (0,\frac{\pi }{2})$
Άρα η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα και επειδή είναι συνεχής στο $Dh'=(0,\frac{\pi }{2})$ έχει σύνολο τιμών το $h'(Dh')=(0,\frac{\pi ^2}{4}-1)$
Άρα $h'(x)>0 ,x\in (0,\frac{\pi }{2})$ και συνεπώς η h είναι γνησίως αύξουσα, επειδή είναι συνεχής, έχει σύνολο τιμών το $h(Dh)=(0,1-\frac{\pi }{2}+\frac{\pi ^3}{6})$
Το ζητούμενο έπεται

Chatzibill · #3

Chatzibill έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 07, 2019 8:23 pm
Αρκεί να δείξουμε πως η συνάρτηση $f(x)=(\frac{sinx}{x})^2-1+\frac{x^2}{3}-\frac{x^4}{36} , 0<|x|<\frac{\pi }{2}$ είναι θετική .
Η συνάρτηση είναι άρτια άρα μας αρκεί να δουλέψουμε μόνο στα θετικά.
$f(x)>0 \Rightarrow (\frac{sinx}{x})^2>1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{36} \Rightarrow (\frac{sinx}{x})^2>((\frac{x^2}{6})-1)^2\Rightarrow |\frac{sinx}{x}| >|\frac{x^2}{6}-1|\Rightarrow \frac{sinx}{x}>1-\frac{x^2}{6}\Rightarrow sinx>x-\frac{x^3}{6}\Rightarrow sinx-x +\frac{x^3}{6}>0$
Έστω η συνάρτηση $h(x)=sinx -x -\frac{x^3}{6} ,x\in (0,\frac{\pi }{2})$ $h'(x)=cosx -1 +\frac{x^2}{2} , x\in (0,\frac{\pi }{2})$ $h''(x)=-sinx + x<0 ,x\in (0,\frac{\pi }{2})$
Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και επειδή είναι συνεχής στο $Dh'=(0,\frac{\pi }{2})$ έχει σύνολο τιμών το $h'(Dh')=(0,\frac{\pi ^2}{4}-1)$
Άρα $h'(x)>0 ,x\in (0,\frac{\pi }{2})$ και συνεπώς η h είναι γνησίως αύξουσα, επειδή είναι συνεχής, έχει σύνολο τιμών το $h(Dh)=(0,1-\frac{\pi }{2}+\frac{\pi ^3}{6})$
Το ζητούμενο έπεται

Εναλλακτικά δουλεύουμε με την γενίκευση της h και λόγω κυρτότητας η γενίκευσή της είναι πάνω από την εφαπτομένη της στο 0, το ζητούμενο έπεται πάλι

sot arm · #4

Νομίζω, λόγω φακέλου, μπορούμε αμέσως να πούμε από την Taylor του ημιτόνου ότι για x>0

:

$\displaystyle{sinx > x-\frac{x^{3}}{3!}\Rightarrow (\frac{sinx}{x})^{2} > (1-\frac{x^{2}}{3!})^{2}}$ , στο διάστημα που μας ενδιαφέρει.

Για x<0

απλά αλλάζουν οι φορές και έχω:

$\displaystyle{sinx < x-\frac{x^{3}}{3!}\Rightarrow \frac{sinx}{x}> 1-\frac{x^{2}}{3!}$ , κλπ, αφού x<0

και

$\frac{sinx}{x}>0$ , $1-\frac{x^{2}}{3!}>0$ στο διάστημα αυτό, οπότε δικαιούμαι να υψώσω στο τετράγωνο.

Λέω επί της ουσίας το ίδιο με το παραπάνω ποστ, απλά νομίζω η θεώρηση συναρτήσεων και οι διαδοχικές παραγωγίσεις, περιττεύουν για την αιτιολόγηση.

edit: συμπλήρωση της περίπτωσης x<0

και κάποιες παραπάνω λεπτομέριες.

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση