Να χαλαρώσουμε λίγο (ΙΙ)

APOSTOLAKIS · #1

Να λυθεί το σύστημα:
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=\sqrt[3]{y+1}+\sqrt{y}\\ x-y+y^{2}-x^{2}=2 \end{matrix}\right.$
α) Αλγεβρικά
β) Με τη βοήθεια συνάρτησης (βέβαια αυτός ο τρόπος ταιριάζει περισσότερο στη Γ΄ Λυκείου)

vasisot · #2

APOSTOLAKIS έγραψε:Να λυθεί το σύστημα:
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=\sqrt[3]{y+1}+\sqrt{y}\\ x-y+y^{2}-x^{2}=2 \end{matrix}\right.$
α) Αλγεβρικά
β) Με τη βοήθεια συνάρτησης (βέβαια αυτός ο τρόπος ταιριάζει περισσότερο στη Γ΄ Λυκείου)

Καλησπέρα!

Επειδή οι συναρτήσεις $\displaystyle{ \sqrt{t} }$ και $\displaystyle{\sqrt[3]{t+1}}$ είναι γνησίως αύξουσες στο $\displaystyle{ [0, +\infty)}$ το ίδιο θα συμβαίνει για το άθροισμά τους $\displaystyle{f(t)=\sqrt{t}+\sqrt[3]{t+1}$ .

Επομένως από την πρώτη εξίσωση (για $\displaystyle{ x \geq - 1}$ και $\displaystyle{ y\geq 0}$ ) έχουμε $\displaystyle{ f(x+1)=f(y) \Leftrightarrow x+1=y }$ και με τη βοήθεια της δεύτερης παίρνουμε τελικά μοναδική λύση την
$\displaystyle{x=1, y=2 }$ .

Να χαλαρώσουμε λίγο (ΙΙ)

Να χαλαρώσουμε λίγο (ΙΙ)

Re: Να χαλαρώσουμε λίγο (ΙΙ)

Μέλη σε σύνδεση