Αλγεβρική

erxmer · #1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=ln\left ( x+\frac{\pi}{3} \right )+a}$

1) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

2) Αν $\displaystyle{f(\frac{\pi}{6})-ln\pi=ln\frac{e}{2}}$ , να βρείτε το

.

3) Αν a=1

, τότε:

i. να λύσετε στο διάστημα $\displaystyle{\left ( 0,\frac{\pi}{2} \right )}$ την εξίσωση: $\displaystyle{ln\left ( sinx \right )+f(\pi)-ln4=f(\frac{\pi}{6})-ln3}$

ii. να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{cos\left ( e^{f(x)-1} \right )=sin\left ( e^{f(x+\pi)-1} \right )}$

iii. να λύστετε την ανίσωση $f(x) \geq f^2(x)-2$

Tolaso J Kos · #2

erxmer έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=ln\left ( x+\frac{\pi}{3} \right )+a}$

1) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

2) Αν $\displaystyle{f(\frac{\pi}{6})-ln\pi=ln\frac{e}{2}}$ , να βρείτε το .

3) Αν , τότε:

i. να λύσετε στο διάστημα $\displaystyle{\left ( 0,\frac{\pi}{2} \right )}$ την εξίσωση: $\displaystyle{ln\left ( sinx \right )+f(\pi)-ln4=f(\frac{\pi}{6})-ln3}$

ii. να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{cos\left ( e^{f(x)-1} \right )=sin\left ( e^{f(x+\pi)-1} \right )}$

iii. να λύστετε την ανίσωση $f(x) \geq f^2(x)-2$

α) Πρέπει $\displaystyle{x+ \frac{\pi}{3} >0 \Leftrightarrow x > - \frac{\pi}{3}}$ . Άρα το σύνολο ορισμού της

είναι το $\displaystyle{\mathcal{A}=\left ( -\frac{\pi}{3} , + \infty \right )}$ .

β) Έχουμε διαδοχικά:
$\displaystyle{\begin{aligned} f\left ( \frac{\pi}{6} \right ) - \ln \pi = \ln \frac{e}{2} &\Leftrightarrow \ln \left ( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right ) +a - \ln \pi = 1 - \ln 2 \\ &\Leftrightarrow \ln \frac{\pi}{2} + a - \ln \pi = 1 - \ln 2 \\ &\Leftrightarrow \ln \pi - \ln 2 - \ln \pi + \ln 2 +a =1 \\ &\Leftrightarrow a=1 \end{aligned}}$ γ) Για a=1

έχουμε $\displaystyle{f(x)= \ln \left ( x + \frac{\pi}{3} \right ) + 1 }$ άρα:

H εξίσωσή σας μας γίνεται:
$\displaystyle{\begin{aligned} \ln \sin x + f\left ( \pi \right ) - \ln 4 = f\left ( \frac{\pi}{6} \right ) - \ln 3 &\Leftrightarrow \ln \sin x + \ln \left ( \pi + \frac{\pi}{3} \right ) - \ln 4 = \ln \left ( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right ) - \ln 3 \\ &\Leftrightarrow \ln \sin x + \ln \frac{4\pi}{3} - \ln 4 = \ln \frac{\pi}{2} - \ln 3 \\ & \Leftrightarrow \ln \sin x + \ln 4 \pi - \ln 3 - \ln 4 = \ln \frac{\pi}{2} - \ln 3\\ &\Leftrightarrow \ln \sin x + \ln 4 + \ln \pi - \ln 4 = \ln \frac{\pi}{2} \\ &\Leftrightarrow \ln \sin x + \ln \pi = \ln \pi - \ln 2 \\ &\Leftrightarrow \ln \sin x + \ln 2 =0 \\ &\Leftrightarrow \ln 2 \sin x =0 \\ &\Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \\ & \!\!\!\!\!\!\!\!\overset{x \in \left ( 0 , \frac{\pi}{2} \right )}{\Leftarrow\!=\! =\! =\! \Rightarrow } x = \frac{\pi}{6} \end{aligned}}$
Έχουμε διαδοχικά:
$\displaystyle{\begin{aligned} \cos \left ( e^{f(x) -1} \right )= \sin \left ( e^{f\left ( x + \pi \right )-1} \right ) &\Leftrightarrow \cos \left ( e^{\ln \left ( x + \frac{\pi}{3} \right )} \right ) = \sin \left ( e^{\ln \left ( x + \frac{\pi}{3} + \pi \right )} \right ) \\ &\Leftrightarrow \cos \left ( x + \frac{\pi}{3} \right ) = \sin \left ( x + \frac{4 \pi}{3} \right ) \\ &\Leftrightarrow \sin \left ( \frac{\pi}{6} - x \right ) = \sin \left ( x + \frac{4\pi}{3} \right ) \\ &\Leftrightarrow x = \frac{17 \pi}{12} - \kappa \pi , \; \kappa \in \mathbb{Z} \end{aligned}}$ Λόγω πεδίο ορισμού θα πρέπει να ισχύει $\displaystyle{x \in \left ( - \frac{\pi}{3} , + \infty \right )}$ . Συνεπώς $\displaystyle{x = \frac{17 \pi}{12} - \kappa \pi ,\; \kappa \in \mathbb{Z}^{-} \cup \{1 \}}$ .
Για την ανίσωσή μας έχουμε διαδοχικά:
$\displaystyle{\begin{aligned} f(x) \geq f^2 (x) - 2 &\Leftrightarrow \ln \left ( x + \frac{\pi}{3} \right ) +1 \geq \left [ \ln \left ( x + \frac{\pi}{3} \right ) + 1 \right ]^2 -2 \\ &\Leftrightarrow \ln \left ( x + \frac{\pi}{3} \right ) + 1 \geq \ln^2 \left ( x + \frac{\pi}{3} \right ) + 2 \ln \left ( x + \frac{\pi}{3} \right ) + 1 -2 \\ &\Leftrightarrow \ln^2 \left ( x + \frac{\pi}{3} \right ) + \ln \left ( x + \frac{\pi}{3} \right ) - 2 \leq 0 \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\overset{y= \ln \left ( x + \frac{\pi}{3} \right )}{\Leftarrow\!=\! =\! =\!=\! =\! \Rightarrow} y^2 + y -2 \leq 0 \\ &\Leftrightarrow - 2 \leq y \leq 1 \\ &\Leftrightarrow -2 \leq \ln \left ( x + \frac{\pi}{3} \right ) \leq 1 \\ &\Leftrightarrow x \in \left [ \frac{1}{e^2} - \frac{\pi}{3} , e - \frac{\pi}{3} \right ] \end{aligned}}$

Αλγεβρική

Αλγεβρική

Re: Αλγεβρική

Μέλη σε σύνδεση