Μικτή εξίσωση (2)

hlkampel · #1

Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση $\dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} - 3x + 5}} + \dfrac{{{x^2} - 3x + 5}}{{{x^2} - x + 1}} = 2 - \ln \left( {{x^2} - 4x + 5} \right)$

Al.Koutsouridis · #2

hlkampel έγραψε:Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση $\dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} - 3x + 5}} + \dfrac{{{x^2} - 3x + 5}}{{{x^2} - x + 1}} = 2 - \ln \left( {{x^2} - 4x + 5} \right)$

Καλησπέρα,

Παρατηρούμε ότι τα δευτεροβάθμεια τριώνυμα x^2 - x + 1, x^2-3x+5

είναι θετικά για κάθε

. Αφού έχουν θετικό συντελεστή μεγιστοβάθμιου όρου και αρνητικές διακρίνουσες. Οπότε το αριστερό μέλος της εξίσωσης είναι της μορφής

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \geq 2$ , με a,b > 0

(γνωστή ανισότητα ) με το ίσον όταν a=b

.

Από την άλλη στο δεξιό μέλος της εξίσωσης είναι $x^2-4x+5 = x^2-4x+4 +1 = (x-2)^2+1 \geq 1$ με το ίσον όταν x=2

. Άρα θα είναι $\ln ( {{x^2} - 4x + 5}) \geq 0 \Rightarrow 2 - \ln ( {{x^2} - 4x + 5}) \leq 2$ .

Επομένως η ισότητα θα ισχύει όταν x=2

, που παρατηρούμε ότι επαληθεύει και την x^2 - x + 1 = x^2-3x+5

Μικτή εξίσωση (2)

Μικτή εξίσωση (2)

Re: Μικτή εξίσωση (2)

Μέλη σε σύνδεση