Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Χρηστος · #21

Δίνονται δύο αριθμητικές πρόοδοι :
Η πρώτη έχει πρώτο όρο α1=1 και διαφορά ω1=5.
Η δεύτερη έχει πρώτο όρο β1=3 και διαφορά ω2=12.
α) Να αποδειχθεί ότι οι κοινοί όροι των δύο προηγουμένων αριθμητικών προόδων αποτελούν αριθμητική πρόοδο και να βρεθεί ο πρώτος όρος γ1 και η διαφορά ω3.
β)Να βρεθεί πόσοι το λιγότερο όροι της τρίτης αριθμητικής προόδου έχουν άθροισμα περισσότερο του 2010 .

Υ.Γ. (1) Συμφωνώ Γιώργο ότι στα περισσότερα Σχολεία τα τελευταία χρόνια "θυσιάζεται" το κεφάλαιο των Προόδων στο βωμό του χρόνου …………
Υ.Σ (2) Πολύ καλή η προσπάθειά σου Φωτεινή συνέχισε και με άλλα κεφάλαια , όσο για την αρίθμηση της άσκησης είναι δικό σου θέμα ……………………….
Υ.Σ (3)Ευχαριστούμε την Μαργαρίτα για την προσφορά των αρχείων με τις ασκήσεις σε Προόδους και Εκθετικές - Λογαριθμικές εξισώσεις .

Μάκης Χατζόπουλος · #22

Χρήστο πολύ καλή άσκηση,γιατί χάθηκες; Ξεκίνησες το ψάρεμα;;

Δίνω κάποια σημεία από την λύση..

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

αρχίζω να πιστεύω ότι η λύση μου είναι λάθος, γιατί δεν σταθερό ν, άρα η αφαίρεση δεν είναι σωστή αντιμετώπιση... το αφήνω ως προβληματισμό

margavare · #23

Μήπως είναι 1ος όρος το 51 και ω=60;

Μάκης Χατζόπουλος · #24

Σωστά! Αλλά πως τα βρίσκουμε; Ψάχνοντας;;; Ή βρίσκουμε το α1 και μετά το ω το βρίσκουμε από το ΕΚΠ (5,12)=60;; Όντως καλή η άσκηση Χρήστο που στην αρχή την αντιμετώπισα πρόχειρα...

Σημείωση: Το λάθος που υπέπεσα προηγουμένως είναι ότι έβαλα στην πρόοδο του αv το ν και του βν πάλι ν ενώ θα έπρεπε να την συμβολίσω βμ για μ όρους... δηλαδή λάθος δημοτικού !!!

#25

Χρηστος έγραψε:Άσκηση-11-

Δίνονται δύο αριθμητικές πρόοδοι :
Η πρώτη έχει πρώτο όρο α1=1 και διαφορά ω1=5.
Η δεύτερη έχει πρώτο όρο β1=3 και διαφορά ω2=12.
α) Να αποδειχθεί ότι οι κοινοί όροι των δύο προηγουμένων αριθμητικών προόδων αποτελούν αριθμητική πρόοδο και να βρεθεί ο πρώτος όρος γ1 και η διαφορά ω3.
β)Να βρεθεί πόσοι το λιγότερο όροι της τρίτης αριθμητικής προόδου έχουν άθροισμα περισσότερο του 2010 .

Χρήστο καλημέρα ,τι κάνεις;που χάθηκες;

konkyr · #26

Άσκηση 12

Η μικρότερη γωνία κυρτού πολυγώνου είναι $60^{0}$ και κάθε άλλη $20^{0}$ μεγαλύτερη της προηγούμενής της .Να βρεθεί το πλήθος των πλευρών του πολυγώνου.

Μάκης Χατζόπουλος · #27

Πρέπει:

(ν-2)180=ν[120+(ν-1)20]/2 το λύνουμε και καταλήγουμε: v^2

-13v+36=0 με λύσεις 4 και 9

konkyr · #28

Πρέεπι όμως να είναι κυρτό!

Μάκης Χατζόπουλος · #29

Ο τύπος Σν=(ν-2)180 είναι άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου, άρα για κυρτό πήρα, που είναι η ένσταση σου?

konkyr · #30

Στην επαλήθευση, αφού για ν=9 προκύπτει γωνία $240^{0}$ και τότε δεν είναι κυρτό.

Μάκης Χατζόπουλος · #31

Αααα οκ!! Σωστά Κωνσταντίνα!!

#32

Χρηστος έγραψε:Δίνονται δύο αριθμητικές πρόοδοι :
Η πρώτη έχει πρώτο όρο α1=1 και διαφορά ω1=5.
Η δεύτερη έχει πρώτο όρο β1=3 και διαφορά ω2=12.
α) Να αποδειχθεί ότι οι κοινοί όροι των δύο προηγουμένων αριθμητικών προόδων αποτελούν αριθμητική πρόοδο και να βρεθεί ο πρώτος όρος γ1 και η διαφορά ω3.
β)Να βρεθεί πόσοι το λιγότερο όροι της τρίτης αριθμητικής προόδου έχουν άθροισμα περισσότερο του 2010 .

Μία λύση για την άσκηση του Χρήστου (υπ. αριθμόν ...;...).
Παρακαλώ ελέγξτε μήπως θέλει συμπλήρωση ή περαιτέρω δικαιολόγηση κάπου (*).

Η πρώτη Αρ. πρόοδος έχει $\displaystyle \alpha _1 = 1,\;\omega _1 = 5$ και η δεύτερη $\displaystyle \beta _1 = 3,\;\;\omega _2 = 12\;$
Έστω $\displaystyle \alpha _\nu = \beta _\mu \Rightarrow 1 + 5\nu - 5 = 3 + 12\mu - 12 \Rightarrow$
$\displaystyle 5\left( {\nu + 1} \right) = 12\mu \Rightarrow \nu + 1 = \frac{{12\mu }}{5},\mu ,\nu \in {\rm I}{\rm N}^*$
Οπότε μ: πολ/σιο 5.

Για μ = 5, είναι ν = 11, που είναι και οι μικρότερες τιμές των μ, ν.

Είναι $\displaystyle \gamma _1 = \alpha _{11} = \beta _5 = 51$ .

Για μ = 10 είναι ν = 23.
Είναι $\displaystyle \gamma _2 = \alpha _{23} = \beta _{10} = 111$

Για μ = 15 είναι ν = 35.
Είναι $\displaystyle \gamma _3 = \alpha _{35} = \beta _{15} = 171$

Γενικά $\displaystyle \gamma _\nu = \beta _{5\kappa } = 3 + \left( {5\kappa - 1} \right) \cdot 12 = \alpha _{12\kappa - 1} = 1 + \left( {12\kappa - 2} \right) \cdot 5 = 60\kappa - 9,\;\;\kappa \in {\rm I}{\rm N}^*$
άρα $\displaystyle \gamma _1 = 51,\;\;\omega _3 = 60$

Για ν > 0 είναι:
$\displaystyle \Sigma _\nu \ge 2010\Rightarrow \frac{{2 \cdot 51 + \left( {\nu - 1} \right) \cdot 60}}{2} \cdot \nu \ge 2010 \Rightarrow 10\nu ^2 + 7\nu - 670 \ge 0 \Rightarrow \nu > 7$

Γιώργος Ρίζος
(*) Edit 3:22 : Συμπλήρωσα το γενικό τύπο για το γ (με τα κόκκινα γράμματα). Νομίζω ότι είναι απαραίτητο. Δεν αρκεί το γ1, γ2, γ3. Τι λέτε;

#33

Rigio έγραψε: Μία λύση για την άσκηση του Χρήστου (υπ. αριθμόν ......11......).

#34

ΑΣΚΗΣΗ 13
Η ακολουθία (αν) , ν $\in$ Ν* είναι γεωμετρική πρόοδος (όχι σταθερή). Δίνεται και η
ακολουθία (βν) με βν = $\alpha _{\nu +1}-\alpha _{\nu}$ , ν $\in$ Ν* . Αν S1 , S2 είναι τα αθροίσματα των ν
πρώτων όρων των ακολουθιών (αν) και (βν) αντίστοιχα και ισχύει $S_{2}=5\cdot S_{1}$ τότε
να δείξετε ότι $\beta _{\nu }=5\cdot \alpha _{\nu}$ .

ΑΣΚΗΣΗ 17
Η εξίσωση $x^2-\lambda\cdot x +\mu = 0$ έχει ρίζες x1, x2 με x1 $\neq$ x2 ενώ η $x^2 - (5\lambda -4)\cdot x + \mu = 0$ έχει ρίζες
x3, x4 με x3 $\neq$ x4. Αν x1,x2,x3,x4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου να βρείτε τα λ,μ $\in$ R.

Χρήστος

#35

xr.tsif έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 17
Η εξίσωση $x^2-\lambda\cdot x +\mu = 0$ έχει ρίζες x1, x2 με x1 $\neq$ x2 ενώ η $x^2 - (5\lambda -4)\cdot x + \mu = 0$ έχει ρίζες
x3, x4 με x3 $\neq$ x4. Αν x1,x2,x3,x4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου να βρείτε τα λ,μ $\in$ R.
Χρήστος

καλησπέρα
έστω ω η διαφορά της αριθμητικής προόδου ,
έχουμε
$x_1=x-3w,\ \ x_2=x-w,\ \ x_3=x+w,\ \ x_4=x+3w$ και

$x_1+x_2=\lambda\longrightarrow 2x-4w=\lambda,(1)\ \ \ (x-3w)(x-w)=\mu,\ \ \ (2)$

$x_3+x_4=5.\lambda-4\longrightarrow 2x+4w=5.\lambda-4,(3)\ \ \ (x+3w)(x+w)=\mu, \ \ (4)$

από (3),(4) παίρνουμε ότι x=0

,αφού $w\neq 0$
στη συνέχεια από (1),(2) βρίσκουμε $\lambda=\frac{2}{3}$ , $,\ \ \ w=-\frac{1}{6},\ \ \ \mu=\frac{1}{12}$

#36

xr.tsif έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 13
Η ακολουθία (αν) , ν $\in$ Ν* είναι γεωμετρική πρόοδος (όχι σταθερή). Δίνεται και η
ακολουθία (βν) με βν = $\alpha _{\nu +1}-\alpha _{\nu}$ , ν $\in$ Ν* . Αν S1 , S2 είναι τα αθροίσματα των ν
πρώτων όρων των ακολουθιών (αν) και (βν) αντίστοιχα και ισχύει $S_{2}=5\cdot S_{1}$ τότε
να δείξετε ότι $\beta _{\nu }=5\cdot \alpha _{\nu}$ .

έστω λ ο λόγος της γεωμετρικής προόδου $\lambda \neq 1$ τότε $a_{n+1}=\lambda.a_n\Longrightarrow b_n=a_n.(\lambda -1)$

$S_2=5.S_1\Longrightarrow$

$a_1(\lambda -1)+a_2(\lambda -1)+...+a_n(\lambda -1)=5.(a_1+a_2+...+\dots+a_n)\Longrightarrow$

$S_1(\lambda -1)=5.S_1\Longrightarrow \lambda =6$

άρα $b_{n}=5.a_n$

Ιστοσελίδα · #37

m.pαpαgrigorakis έγραψε: Δίνω και εγώ μια άσκηση στο ίδιο "πνεύμα". Κάποιοι ίσως τη θυμηθούν...

Δίνεται η εξίσωση: $(\alpha + 1)x^3 - (\alpha ^2 + 5\alpha - 5)x^2 + (\alpha ^2 + 5\alpha - 5)x - (\alpha + 1) = 0,\,\,\alpha \in R - \{ - 1\}$ .
Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου α η εξίσωση έχει ρίζες που αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.
Β) Αν παραστήσουμε με τη ρίζα της εξίσωσης που δεν εξαρτάται από την παράμετρο α , προσδιορίστε τότε το α ώστε οι ρίζες να αποτελούν αριθμητική πρόοδο.
Γ) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές της παραμέτρου α που βρήκατε στην προηγούμενη ερώτηση η εξίσωση έχει τρεις ίσες ρίζες.
Μίλτος

Rigio έγραψε:Πολυτεχνικός - Γεωπονοδασολογικός - Φυσικομαθηματικός Κύκλος 1976.

Πράγματι είναι από τα θέματα του 1976.

Βέβαια τότε δεν θυμάμαι αν μιλούσαμε για προόδους με μιγαδικούς όρους. Ίσως κάποιος άλλος να θυμάται καλύτερα.
Όμως για τα σημερινά δεδομένα -ύλη της Β Λυκείου- υπάρχει ένα μικρό πρόβλημα αφού υπάρχουν τιμές της παραμέτρου α για τις οποίες η εξίσωση δεν έχει όλες τις ρίζες της πραγματικές. Για να γίνει λοιπόν "σχολική" η άσκηση και να αποφύγουμε τη διερεύνηση, ας προσθέσουμε στο Α ερώτημα τη διευκρίνηση ότι δεν μιλάμε για όλες τις τιμές της παραμέτρου α, αλλά για εκείνες που η εξίσωση έχει τρείς ρίζες πραγματικές.

Μίλτος Π.

Υ.Γ. Ευχαριστώ πολύ τον, εξαίρετο συνάδελφο Παναγιώτη Γιαννόπουλο (math_finder), για την επικοινωνία μας μέσω pm για το συγκεκριμένο θέμα, αφού από τις εύστοχες παρατηρήσεις του προέκυψε η διευκρίνηση αυτή.

GiannisL · #38

Άσκηση 14
Να αποδείξετε ότι σε κάθε αριθμητική πρόοδο αν $\displaystyle{ S_m = S_n \Rightarrow S_{m + n} = 0 {\rm{ (m}} \ne {\rm{n)}} }$

Άσκηση 15

Να εξετάσετε άν οι αριθμοί: $\displaystyle{ \sqrt {\rm{2}} ,\sqrt 5 ,\sqrt 7 }$
μπορούν να είναι όροι οποιασδήποτε τάξης ι) Αριθμητικής προόδου ιι) Γεωμετρικής προόδου

Από το βιβλίο του Ηλία Ντζιώρα Άλγεβρα Β' Λυκείου

#39

GiannisL έγραψε:Άσκηση 14
Να αποδείξετε ότι σε κάθε αριθμητική πρόοδο αν $\displaystyle{ S_m = S_n \Rightarrow S_{m + n} = 0 {\rm{ (m}} \ne {\rm{n)}} }$

Έστω αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω για την οποία είναι: $\displaystyle S_n = S_m$

Οπότε:
$\displaystyle \begin{array}{l} \frac{{2\alpha _1 + \left( {m - 1} \right)\omega }}{2} \cdot m = \frac{{2\alpha _1 + \left( {n - 1} \right)\omega }}{2} \cdot n \Rightarrow \; \\ \Rightarrow \left( {2\alpha _1 + \left( {m + n} \right)\omega - \omega } \right)\left( {m - n} \right) = 0 \\ \end{array}$

Αφού $\displaystyle m \ne n\; \Rightarrow \left( {2\alpha _1 + \left( {m + n - 1} \right)\omega } \right) = 0\; \Rightarrow \;S_{m + n} = 0$

Γιώργος Ρίζος

Στέλιος Μαρίνης · #40

Rigio έγραψε:Στα περισσότερα Σχολεία τα τελευταία χρόνια "θυσιάζεται" το κεφάλαιο των Προόδων στο βωμό του χρόνου ή είναι η ιδέα μου;

Στο βωμό των Πανελλαδικών της Γ θυσιάζεται, Γιώργο μου. Βλέπεις, τα υπόλοιπα κεφάλαια έχουν μεγαλύτερη συγγένεια με την ύλη των Πανελλαδικών.
ΥΓ Μιας και μπήκα στο θέμα, συγχαρητήρια στη Φωτεινή για την καλή της ιδέα και τις όμορφες ασκήσεις όλων. Θα συνεισέφερα, αλλά είναι μάλλον περιττό.

Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Μέλη σε σύνδεση