Άρρητη με ρητές ρίζες

KARKAR · #1

Βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης : $f(x)=\sqrt{x^2-3x+4}+\sqrt{x^2+3x+4}$ .

Λύστε την εξίσωση : f(x)=k , k>4

και βρείτε ένα κατάλληλο

, για το οποίο οι λύσεις είναι ρητοί αριθμοί .

ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ · #2

Για το πεδίο ορισμού παρατηρούμε πως τα δύο τριώνυμα στις υπόρριζες ποσότητες έχουν αρνητική διακρίνουσα κι επομένως είναι θετικές $\forall x \in \mathbb{R}$ . Επομένως, καταλήγουμε στο συμπέρασμα: $D_f=\mathbb{R}$ .
Για την εξίσωση έχουμε:
$\sqrt{x^2+3x+4}+\sqrt{x^2-3x+4} =k \Leftrightarrow \sqrt{x^2+3x+4}=k-\sqrt{x^2-3x+4} \Leftrightarrow x^2+3x+4=k^2-2k\sqrt{x^2-3x+4}+x^2-3x+4 \Leftrightarrow 2k\sqrt{x^2-3x+4}=k^2-6x \Leftrightarrow 4k^2(x^2-3x+4)=k^4-12k^2x+36x^2 \Leftrightarrow x^2(36-4k^2)=16k^2-k^4 \Leftrightarrow x= \pm \sqrt{\frac{16k^2-k^4}{36-4k^2}}$ .

Μελετώντας το πρόσημο των όρων του κλάσματος, βλέπουμε πως για k=4

ορίζεται η ρίζα κι άρα $\boxed{x= \pm \sqrt{\frac{16k^2-k^4}{36-4k^2}}}$ που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

Για k=5

, πχ παίρνουμε ρητή λύση.

Edit: Κρατάω μόνο την επίλυση της εξίσωσης

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 30, 2025 1:33 pm
Βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης : $f(x)=\sqrt{x^2-3x+4}+\sqrt{x^2+3x+4}$ .

Λύστε την εξίσωση : και βρείτε ένα κατάλληλο , για το οποίο οι λύσεις είναι ρητοί αριθμοί .

.
Η παράσταση γράφεται $f(x)= \sqrt{\left ( x- \dfrac {3}{2} \right ) ^2 +\dfrac {7}{4}} + \sqrt{\left ( x+ \dfrac {3}{2} \right ) ^2 +\dfrac {7}{4}}$ .

Επειδή οι υπόρριζες ποσότητες είναι θετικές για κάθε

, το πεδίο ορισμού είναι όλο το $\mathbb R$ . Για να βρούμε το σύνολο τιμών, πρώτα βρίσκουμε το ολικό ελάχιστο της

.

H

δηλώνει το άθροισμα των αποστάσεων του σημείου A(x,0)

από τα $Q \left ( \dfrac {3}{2} ,\dfrac {\sqrt 7}{2} \right )$ και $P \left (- \dfrac {3}{2} ,\dfrac {\sqrt 7}{2} \right )$ καθώς το

διατρέχει τον άξονα των

. To ελάχιστο λαμβάνεται (τριγωνική ανισότητα) όταν το

είναι στην αρχή των αξόνων

.

Είναι τότε $f(0)=\sqrt 4 +\sqrt 4 = 4$ .

Τώρα, αφού η

προφανώς δεν είναι άνω φραγμένη, έχουμε σύνολο τιμών $[4, +\infty)$ .

Για να λύσουμε την f(x)=k

την γράφουμε

$\sqrt{x^2+3x+4}=k-\sqrt{x^2-3x+4}$ .

Υψώνουμε στο τετράγωνο και απλοποιούμε. Θα βρούμε $2k\sqrt{x^2-3x+4}= k^2 -6x$ .

Υψώνουμε και πάλι στο τετράγωνο. Θα βρούμε 4(k^2-9)x^2= k^2(k^2-16)

. Άρα οι ρίζες είναι

$\boxed {x=\pm \dfrac {k}{2}\sqrt {\dfrac {k^2 -16}{k^2-9}}}$

Για να βρούμε

με ρητή ρίζα, μας πονηρεύουν τα 9=3^2

και

που βλέπουμε στο υπόρριζο και θυμώμαστε το ορθογώνιο τρίγωνο 3^2+4^2=5^2

. Έτσι, για k=5

η εξίσωση έχει ρίζες

$x=\pm \dfrac {5}{2}\sqrt {\dfrac {5^2 -16}{5^2-9}}=\pm \dfrac {15}{8}$ .
.

Edit. Tώρα βλέπω ότι η άσκηση απαντήθηκε όσο έγραφα. Το αφήνω για τον κόπο παρά τις μεγάλες ομοιότητες.

Επίσης κοιτώντας την λύση του Φίλιππου, παρατηρώ ότι για το ελάχιστο της

λείπει κάτι από τον συλλογισμό καθώς το δεξί μέλος είναι μεταβλητό (βλέπε τρίτη γραμμή της λύσης). Διορθώνεται όμως εύκολα το μικρό κενό.

ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 30, 2025 7:34 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 30, 2025 1:33 pm
Βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης : $f(x)=\sqrt{x^2-3x+4}+\sqrt{x^2+3x+4}$ .

Λύστε την εξίσωση : και βρείτε ένα κατάλληλο , για το οποίο οι λύσεις είναι ρητοί αριθμοί .
.
Επίσης κοιτώντας την λύση του Φίλιππου, παρατηρώ ότι για το ελάχιστο της λείπει κάτι από τον συλλογισμό καθώς το δεξί μέλος είναι μεταβλητό (βλέπε τρίτη γραμμή της λύσης). Διορθώνεται όμως εύκολα το μικρό κενό.

Ευχαριστώ για την επισήμανση. Με μια τροποποίηση τώρα εφαρμόζω την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου για συγκεκριμένο x_0

στο πεδίο ορισμού της

.

#5

ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 30, 2025 10:34 pm
Ευχαριστώ για την επισήμανση. Με μια τροποποίηση τώρα εφαρμόζω την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου για συγκεκριμένο στο πεδίο ορισμού της .

.
Φίλιππε, δεν φτάνει αυτό. Το να αλλάξεις το όνομα της μεταβλητής από

σε

δεν αλλάζει το σκηνικό.

Ας δούμε προσεκτικότερα τον συλλογισμό σου.

Φτάνεις στην παράσταση
.

ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 30, 2025 6:57 pm
$\sqrt{x_0^2-3x_0+4}+\sqrt{x_0^2+3x_0+4} \geq 2 \sqrt[^4]{(x_0^2+3x_0+4)(x_0^2-3x_0+4)}=2 \sqrt[^4]{x_0^4-x_0^2+16}$ .

και συμπεραίνεις ότι το σύνολο τιμών της

είναι το $[4, \infty)$ . Με άλλα λόγια ισχυρίζεσαι ότι το δεξί μέλος παραπάνω ικανοποιεί

$2 \sqrt[^4]{x_0^4-x_0^2+16}\ge 4$

Να όμως αν πάρεις $x_0=\dfrac { \sqrt {2} }{2}$ έχουμε

$2 \sqrt[4]{x_0^4-x_0^2+16} = 2 \sqrt[4]{\dfrac {1}{4}-\dfrac {1}{2}+16} = 2\sqrt[4]{\dfrac {1-2+64}{4}} = 2\sqrt[4]{\dfrac {63}{4}}$

το οποίο είναι γνήσια μικρότερο του $2\sqrt[4]{\dfrac {64}{4}} =2\sqrt[4]{16}=4$ , ενώ ισχυρίστηκες ότι είναι $\ge 4$ .

Αν θέλεις την τιμή του πιο χειροποιαστά, είναι $2\sqrt[4]{\dfrac {63}{4}} \approx 3,985$ .

Άρα κάτι δεν πάει καλά.

Άρρητη με ρητές ρίζες

Άρρητη με ρητές ρίζες

Re: Άρρητη με ρητές ρίζες

Re: Άρρητη με ρητές ρίζες

Re: Άρρητη με ρητές ρίζες

Re: Άρρητη με ρητές ρίζες

Μέλη σε σύνδεση