Απορίες

mathstudent03 · #1

Καλημέρα
Έχω 2 απορίες.
Η πρώτη αφορά την τριγωνομετρική ταυτότητα $tan2x=\frac{2tanx}{1-tan^{2}x}$
Το πρόβλημά είναι ότι τα 2 μέλη της ταυτότητας ισχύουν για διαφορετικά σύνολα αριθμών. Για παράδειγμα το πρώτο μέλος ορίζεται για $x=\frac{\pi }{2}$ ενώ το δεύτερο όχι. Η λέξη «ταυτότητα» σημαίνει ότι κάτι ισχύει πάντα, κάτι που δεν ισχύει εδώ. Πιστεύω πως θα έπρεπε η ταυτότητα να δίνεται με περιορισμό.

Η δεύτερη απορία αφορά την επίλυση της παρακάτω άσκησης:
Αν $x+\frac{1}{x}=4$ να υπολογιστεί η ποσότητα $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$
Μια δυνατή λύση είναι να υψώσω και τα 2 μέλη της δοσμένης σχέσης στο τετράγωνο και να λύσω ως προς $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ Δηλαδή
$x+\frac{1}{x}=4\Rightarrow (x+\frac{1}{x})^{2}=16\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}+2=16\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=14$
Κάποιος καθηγητής θεώρησε λάθος τη λύση χωρίς να αιτιολογήσει. Η γνώμη μου είναι ότι η λύση είναι σωστή. Υποψιάζομαι ότι το μόνο σημείο που θα μπορούσε κάποιος να έχει ένσταση είναι η ύψωση στο τετράγωνο. Αν ήθελα να λύσω εξίσωση ως προς x τότε πράγματι θα έπρεπε να βάλω περιορισμό γιατί οι εξισώσεις λειτουργούν με ισοδυναμίες. Αλλιώς εισάγω και νέες λύσεις που δεν υπάρχουν. Αλλά εδώ θέλω απλά να βρω μια ποσότητα. Οπότε κατά τη γνώμη μου η λύση είναι σωστή.
Κάνω κάπου λάθος;

#2

Για την πρώτη

Ταυτότητα είναι μια ισότητα που είναι αληθής για όλους τους αριθμούς για τους οποίους ορίζεται
Εδώ συμβαίνει αυτό άρα όντως είναι ταυτότητα στο πεδίο ορισμού της (που δεν είναι όλοι οι πραγματικοί ) .
Συνήθως λέμε : Για κάθε $\displaystyle{x}$ για το οποίο οι ποσότητες τάδε ορίζονται στους πραγματικούς , ισχύει ότι ....

mathstudent03 · #3

exdx έγραψε:Για την πρώτη

Ταυτότητα είναι μια ισότητα που είναι αληθής για όλους τους αριθμούς για τους οποίους ορίζεται
Εδώ συμβαίνει αυτό άρα όντως είναι ταυτότητα στο πεδίο ορισμού της (που δεν είναι όλοι οι πραγματικοί ) .
Συνήθως λέμε : Για κάθε $\displaystyle{x}$ για το οποίο οι ποσότητες τάδε ορίζονται στους πραγματικούς , ισχύει ότι ....

Έτσι ναι, συμφωνώ. Αλλά μπορούμε να πούμε χωρίς διευκρίνηση ότι 2 συναρτήσεις είναι ίσες όταν υπάρχουν τιμές για τις οποίες η μια ορίζεται και η άλλη όχι;

#4

mathstudent03 έγραψε: Η δεύτερη απορία αφορά την επίλυση της παρακάτω άσκησης:
...
Οπότε κατά τη γνώμη μου η λύση είναι σωστή.

Έχεις δίκιο. Η λύση σου είναι σωστή, δεδομένου ότι η άσκηση δεν ζητά
να επιλύσεις μια εξίσωση αλλά να βρεις την τιμή μιας παράστασης.

Ας δούμε ένα παράδειγμα, που κάνει πιο φανερό το γεγονός ότι η λύση σου είναι σωστή.

Πες ότι η άσκηση ζήταγε: Αν να βρεθεί η τιμή της παράστασης .

Κανείς δεν θα αμφισβητούσε ότι η απάντηση είναι

καθώς ισχύει η συνεπαγωγή $(a=2 )\Rightarrow (a^2=2^2=4)$ .

Εδώ μάλιστα ΔΕΝ ισχύει η συνεπαγωγή $(a=2 )\Leftrightarrow (a^2=4)$ , οπότε δεν βλέπω τι άλλο επιχείρημα χρειάζεται ότι η λύση σου είναι σωστή.

Καλό θα είναι να δει ο ίδιος ο Καθηγητής τα παραπάνω για τον φόβο μήπως δεν
μεταφέρεις σωστά το σημείο στο οποίο έχει αντίρρηση.

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε:
....

Καλό θα είναι να δει ο ίδιος ο Καθηγητής τα παραπάνω για τον φόβο μήπως δεν
μεταφέρεις σωστά το σημείο στο οποίο έχει αντίρρηση.

Σωστά!

Επιπλέον, είναι δύσκολο ένας Μαθητής να έρθει σε αντιπαράθεση για θέματα μαθηματικού περιεχομένου με τον Καθηγητή του.

Η λύση που προτείνει ο Μιχάλης είναι ιδανική για όλες τις πιθανές αιτίες: Ο Καθηγητής, αν γίνεται, να αναφέρει τις απόψεις του εδώ. Όλοι θα ωφεληθούμε!

mathstudent03 · #6

Η άσκηση αυτή δόθηκε σε σχολείο και η λύση που αναφέρω δόθηκε από κάποιο μαθητή. Ο καθηγητής τη θεώρησε λάθος. Ο μαθητής τον ρώτησε «γιατί είναι λάθος» και ο καθηγητής είπε απλά «είναι λάθος». Τίποτε άλλο. Εμένα με ρώτησε ο μαθητής και είπα τη γνώμη μου η οποία είναι αυτή που ανάφερα. Με προβλημάτισε το ποια θα μπορούσε να είναι η ένσταση που έχει κάποιος και υπέθεσα ότι ίσως είναι η ύψωση στο τετράγωνο. Όλα τα άλλα είναι ξεκάθαρα. Δεν έχω πρόσβαση στον καθηγητή. Πρότεινα στο μαθητή να το συζητήσουν και να ακούσουμε το γιατί θεωρεί λάθος τη λύση, αλλά μάλλον δε θα γίνει γιατί ο μαθητής δε θέλει να έρθει σε αντιπαράθεση με τον καθηγητή και ο καθηγητής έδειξε κάπως «απότομος». Έθεσα το θέμα εδώ μήπως και υπάρχει κάτι που μου έχει ξεφύγει.

Για μένα, το πότε επιτρέπεται η ύψωση στο τετράγωνο και πότε όχι έχει να κάνει με το αν θέλουμε ισοδυναμίες ή συνεπαγωγές. Αν κάνεις συνεπαγωγές δεν υπάρχει πρόβλημα. Αν όμως λύνεις εξίσωση, ουσιαστικά μετατρέπεις τη δοσμένη σχέση σε μια ισοδύναμη (που έχει ίδιες λύσεις) στην οποία οι λύσεις είναι προφανείς. Θέλεις τις ισοδυναμίες για να σου εγγυηθούν ότι οι λύσεις είναι ίδιες. Κατά την ύψωση στο τετράγωνο αυξάνεται η τάξη της εξίσωσης, άρα προστίθενται λύσεις και άρα δεν ισχύει η ισοδυναμία. Έτσι, μπαίνει ο περιορισμός για να διατηρηθεί η ισοδυναμία.
Στον υπολογισμό της ποσότητας που ζητάμε εδώ, δεν χρειάζεται η ισοδυναμία. Είναι πχ σαν να λέμε αν x=-2

τότε $x^{2}=4$ . Εδώ υψώνω στο τετράγωνο χωρίς καν να εξασφαλίσω τη θετικότητα των 2 μελών. Καταλαβαίνω δηλαδή ότι το κρίσιμο σημείο είναι το να ξεκαθαρίσω το πότε πρέπει να δουλέψω με ισοδυναμίες και πότε με συνεπαγωγές.

dement · #7

Τώρα βέβαια, για να κάνω το δικηγόρο του διαβόλου, ένα δίκιο το έχει ο καθηγητής.

Εξηγούμαι: Η γενική μορφή της άσκησης είναι να βρεθεί το $\{ f(x): g(x) = 0\}$ . Τι γίνεται αν f(x)=x^4, g(x) = x^2 + 1

;

Ο μαθητής κάνει $x^2=-1 \implies x^4 = 1$ . Σωστή συνεπαγωγή, λάθος αποτέλεσμα. Χρειάζεται επαλήθευση - πρέπει να αποδείξουμε ότι υπάρχουν τα κατάλληλα

. Στο παράδειγμά μου φυσικά δεν υπάρχουν.

Στην αρχική άσκηση πρέπει ομοίως να δειχθεί ότι υπάρχει

με $\displaystyle x + \frac{1}{x}=4$ . Αφού υπάρχει μόνο μία πιθανή τιμή του $\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}$ , αυτό αρκεί. Αλλιώς πρέπει να γίνει περισσότερη δουλειά.

Εν κατακλείδι, η ισοδυναμία χρειάζεται, ακριβώς επειδή λύνουμε μια εξίσωση. Το γεγονός ότι ο άγνωστός μας δεν λέγεται

αλλά $\displaystyle x^2 + \frac{1}{x^2}$ είναι δευτερεύον.

Grosrouvre · #8

mathstudent03 έγραψε:...
Η δεύτερη απορία αφορά την επίλυση της παρακάτω άσκησης:
Αν $x+\frac{1}{x}=4$ να υπολογιστεί η ποσότητα $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$
Μια δυνατή λύση είναι να υψώσω και τα 2 μέλη της δοσμένης σχέσης στο τετράγωνο και να λύσω ως προς $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ Δηλαδή
$x+\frac{1}{x}=4\Rightarrow (x+\frac{1}{x})^{2}=16\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}+2=16\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=14$
Κάποιος καθηγητής θεώρησε λάθος τη λύση χωρίς να αιτιολογήσει. Η γνώμη μου είναι ότι η λύση είναι σωστή. Υποψιάζομαι ότι το μόνο σημείο που θα μπορούσε κάποιος να έχει ένσταση είναι η ύψωση στο τετράγωνο. Αν ήθελα να λύσω εξίσωση ως προς x τότε πράγματι θα έπρεπε να βάλω περιορισμό γιατί οι εξισώσεις λειτουργούν με ισοδυναμίες. Αλλιώς εισάγω και νέες λύσεις που δεν υπάρχουν. Αλλά εδώ θέλω απλά να βρω μια ποσότητα. Οπότε κατά τη γνώμη μου η λύση είναι σωστή.
Κάνω κάπου λάθος;

Υποθέτω, ότι η λύση που ζητούσε ο καθηγητής, είναι η:

$\displaystyle{ x^2 + \frac{1}{x^2} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 2 = 4^2 - 2 = 16 - 2 = 14$ .

#9

Η γενική πρακτική είναι $\displaystyle{{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} - 2}$ ( υπάρχει ήδη από το βιβλίο της Γ' Γυμνασίου ως εφαρμογή η ταυτότητα a^2+b^2=(a+b)^2-2ab

)

Ο Δημήτρης βέβαια έχει δίκιο όταν λέει ότι πρέπει να εξασφαλίσουμε την ύπαρξη λύσης της $\displaystyle{x + \frac{1}{x} = a,x \in \Re }$ , δεδομένου ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = x + \frac{1}{x}}$ δεν παίρνει τιμές στο (-2,2)

. Αυτό όμως πιστεύω ότι είναι θέμα του καθηγητή και εξηγούμαι. Αν ο καθηγητής δώσει την άσκηση ως εξής:

"Αν $x \in \Re$ και $\displaystyle{x+\frac{1}{x}=1}$ να βρεθεί η τιμή της παράστασης $\displaystyle{x^2+\frac{1}{x^2}}$ ", τότε το λάθος είναι του καθηγητή, γιατί δίνει δεδομένο

που δεν ισχύει. Στην καλύτερη περίπτωση προσπαθεί να παγιδεύσει τον μαθητή, ενώ στην χειρότερη έχει κάνει ένα χονδροειδέστατο λάθος.

Θέλω όμως να σταθώ στη στάση του καθηγητή. Αν όντως τα πράγματα έχουν γίνει όπως περιγράφονται, μου κάνει εντύπωση, γιατί ένας καθηγητής αρνείται να εξηγήσει το λάθος ενός μαθητή (αν πράγματι υπάρχει λάθος).

mathstudent03 · #10

Grosrouvre έγραψε: Υποθέτω, ότι η λύση που ζητούσε ο καθηγητής, είναι η:

$\displaystyle{ x^2 + \frac{1}{x^2} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 2 = 4^2 - 2 = 16 - 2 = 14$ .

Ναι αυτή είναι η λύση που έγραψε ο καθηγητής. Ούτε αυτή όμως ελέγχει αν υπάρχει πραγματικό x τέτοιο ώστε να ισχύει $\displaystyle{x+\frac{1}{x}=4}$ οπότε δεν μπορεί να είναι αυτή η ένσταση του. Μόνο την ύψωση στο τετράγωνο μπορώ να φανταστώ.

Απορίες

Απορίες

Re: Απορίες

Re: Απορίες

Re: Απορίες

Re: Απορίες

Re: Απορίες

Re: Απορίες

Re: Απορίες

Re: Απορίες

Re: Απορίες

Μέλη σε σύνδεση