Ερώτηση

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Σωστό η Λάθος

Η $f(x)=\sin x$

έχει περίοδο $16\pi$ ;

kfd · #2

Ναι, γιατί $\displaystyle{f\left ( x+16\pi \right )=f\left ( x-16\pi \right )=f\left ( x \right )\forall x\epsilon \mathbb{R}}$ και $\displaystyle{16\pi >0}$ .

Christos.N · #3

Δεν ορίζουμε την περίοδο με το ελάχιστο μήκος στο οποίο ισχύει f(x+T)=f(x-T)=f(x)

;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

kfd έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 23, 2019 6:56 pm
Ναι, γιατί $\displaystyle{f\left ( x+16\pi \right )=f\left ( x-16\pi \right )=f\left ( x \right )\forall x\epsilon \mathbb{R}}$ και $\displaystyle{16\pi >0}$ .

Σωστά.
Αλλά το βιβλίο της Β Λυκείου στην σελίδα

λέει ότι έχει περίοδο $2\pi$
Μήπως είναι Λάθος;

Περιμένω απαντήσεις και από Μαθηματικούς που διδάσκουν στην Β Λυκείου.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Christos.N έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 23, 2019 7:26 pm
Δεν ορίζουμε την περίοδο με το ελάχιστο μήκος στο οποίο ισχύει ;

Χρήστο το σχολικό.
Σελίδα σελίδα 73,74.
Το πως ορίζουμε την περίοδο το ξέρω. Στα κανονικά Μαθηματικά.
Στα σχολικά δεν ξέρω και θέλω να μάθω.

Christos.N · #6

Ναι καμιά διαφωνία έτσι όπως το ορίζει το σχολικό

: DeepinScreenshot_select-area_20191123194440.png (12.97 KiB) Προβλήθηκε 2742 φορές

Η απάντηση στο ερώτημα σου είναι Σωστή.

#7

Καλησπέρα σε όλους. Θα γράψω συνοπτικά τη γνώμη μου, καθώς και τι αναφέρω στην τάξη όταν συζητάμε το θέμα.

Με βάση τον ορισμό του βιβλίου Άλγεβρας Β΄ Λυκείου (που παραθέτει παραπάνω ο Χρήστος), κάθε πραγματικός, θετικός

που πληροί τον ορισμό είναι Περίοδος.

Στα παλιά Σχολικά υπήρχε ο ορισμός της Πρωτεύουσας Περιόδου (δείτε παρακάτω Μαθηματικά Α΄ Λυκείου, Βαβαλέτσκου - Μπούσγου 1976), σ. 273

: 23-11-2019 Τριγωνομετρία.jpg (207.24 KiB) Προβλήθηκε 2728 φορές

Με τον καιρό (για λόγους απλοποίησης (;) - σύμπτυξης (;) ή άλλους ....) τα βιβλία αναφέρονται στην "Πρωτεύουσα Περίοδο" ως "Περίοδο".

Θεωρώ καλό να κάνουμε μια διευκρίνηση στους μαθητές που θα ήθελαν να ακούσουν.

Δείτε κι ΕΔΩ μια σχετική συζήτηση προ πενταετίας.

Λάμπρος Κατσάπας · #8

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 23, 2019 7:30 pm

Christos.N έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 23, 2019 7:26 pm
Δεν ορίζουμε την περίοδο με το ελάχιστο μήκος στο οποίο ισχύει ;
Χρήστο το σχολικό.
Σελίδα σελίδα 73,74.
Το πως ορίζουμε την περίοδο το ξέρω. Στα κανονικά Μαθηματικά.
Στα σχολικά δεν ξέρω και θέλω να μάθω.

Για τα υπογραμμισμένα. H σταθερή είναι περιοδική; Η Dirichlet;

Λάμπρος Κατσάπας · #9

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 23, 2019 8:03 pm
Καλησπέρα σε όλους. Θα γράψω συνοπτικά τη γνώμη μου, καθώς και τι αναφέρω στην τάξη όταν συζητάμε το θέμα.

Με βάση τον ορισμό του βιβλίου Άλγεβρας Β΄ Λυκείου (που παραθέτει παραπάνω ο Χρήστος), κάθε πραγματικός, θετικός που πληροί τον ορισμό είναι Περίοδος.

Στα παλιά Σχολικά υπήρχε ο ορισμός της Πρωτεύουσας Περιόδου (δείτε παρακάτω Μαθηματικά Α΄ Λυκείου, Βαβαλέτσκου - Μπούσγου 1976), σ. 273

23-11-2019 Τριγωνομετρία.jpg

Με τον καιρό (για λόγους απλοποίησης (;) - σύμπτυξης (;) ή άλλους ....) τα βιβλία αναφέρονται στην "Πρωτεύουσα Περίοδο" ως "Περίοδο".

Θεωρώ καλό να κάνουμε μια διευκρίνηση στους μαθητές που θα ήθελαν να ακούσουν.

Δείτε κι ΕΔΩ μια σχετική συζήτηση προ πενταετίας.

κ. Γιώργο καλησπέρα. Ο ορισμός, μπάζει κατά την γνώμη μου. Έτσι όπως είναι διατυπωμένος θεωρεί ότι αν υπάρχει περίοδος

τότε υπάρχει και ελάχιστη περίοδος πράγμα που είναι λάθος.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

Για να μην ανακαλύπτουμε τον τροχό.
https://en.wikipedia.org/wiki/Periodic_function
Προφανώς και στα δύο σχολικά ο ορισμός ''μπάζει''.
Αλλά στο παρόν σχολικό μπάζει πάρα πολύ.
Σε τέτοιο σημείο που να παραποιεί τα Μαθηματικά.
Προφανώς υπάρχουν συναρτήσεις που δεν έχουν ελάχιστη θετική περίοδο.
Εγραψε δύο ο Λάμπρος Κατσάπας.

Christos.N · #11

Κύριε Λάμπρο με μια πρώτη ματιά βλέπω ότι

στον απειροστικό του Spivak(Ελληνική έκδοση) του Σ.Ντούγια ο ορισμός είναι ανάλογος με αυτόν του βιβλίου.
στον απειροστικό του Finney(Ελληνική έκδοση) ως η ελάχιστη τιμή.
στον απειροστικό του Courant δίνεται όπως στο βιβλίο αλλά συμπληρώνει ότι δύναται να έχει και μικρότερες περιόδους.
στην wikipedia δίνεται ορισμός με ελάχιστη περίοδο.
Ο Brand (EME 1984) δεν τις αναφέρει καν.

Από τα παραπάνω άλλες φορές ναι άλλες φορές όχι.

#12

Ποικίλουν οι ορισμοί. Ο πιο απλός είναι αυτός που δείχνει η εικόνα . Αυτόν είχα πάντα στο μυαλό μου, δεν ξέρω από πότε κι αν τον είχαν παλιά τα σχολικά βιβλία.

A function f is said to be periodic if, for some nonzero constant P, it is the case that

f ( x + P ) = f ( x )

for all values of

in the domain. A nonzero constant P for which this is the case is called a period of the function. If there exists a least

positive[1] constant P with this property, it is called the fundamental period (also primitive period, basic period, or prime period.)

Επίσης, η έκφραση '' η συνάρτηση ... έχει περίοδο Τ=... '' είναι κάπως παραπλανητική . Θα έπρεπε να λέγεται ότι :

'' Μια περίοδος της συνάρτησης

είναι η ....'' ή ακόμα :

'' Το T=...

είναι περίοδος της

''.

Γενικά, όπως λέει και ο Σταύρος, ο ορισμός του σχολικού βιβλίου, έχει πολλά προβλήματα.Καλύτερα να έλεγε στο τέλος :

'' ο αριθμός

είμαι μια περίοδος της

'' .

Να πούμε όμως ότι το f ( x + P ) = f ( x - P ) = f ( x )

πρέπει να υπάρχει , γιατί αλλιώς χαλάει η περιοδικότητα στη γραφική παράσταση.

Με είχε απασχολήσει αυτό το σημείο πολύ παλιά και το είχα γράψει και σε βιβλίο. Το σχολικό βιβλίο των Βαρουχάκη κλπ είχε τον ορισμό

όπως τον λέει παραπάνω η Wikipedia, αλλά από μια οπτική γωνία

έπρεπε να συμπληρωθεί και με το f(x-T)=f(x+T)=f(x)

.

Δεν ξέρω όμως αν πράγματι αυτή είναι η καλύτερη διευθέτηση ή καλύτερα να μείνει ο παλιός ορισμός. Πάντως, αυτός που έχει το βιβλίο

πρέπει να τροποποιηθεί και να το πούμε στο ΙΕΠ.

Christos.N · #13

Και για να δούμε την ακριβώς προηγούμενη διάδοχη κατάσταση στα σχολικά, αντιγράφω απο το σχολικό της άλγεβρας Β' Λυκείου του Βαρουφάκη κ.α (1985) (να είναι καλά πάντα ο parmenides51 )

: DeepinScreenshot_select-area_20191123223914.png (222.19 KiB) Προβλήθηκε 2591 φορές

: DeepinScreenshot_select-area_20191123223721.png (117.62 KiB) Προβλήθηκε 2591 φορές

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #14

Την επόμενη εβδομάδα θα μπούμε στην παράγραφο 3.4 “Οι Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις”. Τον ορισμό του εν χρήσει σχολικού δεν τον κατάλαβα ποτέ. Ποτέ δεν χώνεψα εκείνο το f(x-T)=...

, αφού αν ο αριθμός $T \in \mathbb{R}^*$ είναι περίοδος μιας συνάρτησης

, τότε και κάθε αριθμός της μορφής $kT , k\in \mathbb{Z}^*$ είναι περίοδος της

, εννοείται με την προυπόθεση ότι x+kT

ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
Προφανώς το σχολικό χρησιμοποιεί τον συγκεκριμένο ορισμό για κάποιο λόγο, τον οποίο όμως εγώ αγνοώ.
Εγώ χρησιμοποιώ τον ορισμό του σχολικού της δεκαετίας του 80 (Βαρουχάκης ,Αδαμόπουλος,…-A' έκδοση 1983) που αναφέρει o Χρήστος παραπάνω.

Είναι προφανές λοιπόν ότι στην αρχική ερώτηση του Σταύρου απαντώ ότι και ο αριθμός $16\pi$ είναι περίοδος της

.

#15

Αντιγράφω από το βιβλίο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1 του Ιωάννου Φ. Πανάκη 1973

Περίοδος συναρτήσεως: Μία συνάρτησις y=f(x)|A

λέγεται περιοδική εις το

εάν και μόνον εάν, $\displaystyle \forall x \in A,$

υπάρχη $\displaystyle \xi \ne 0$ ανεξάρτητον του

και $\displaystyle (x + \xi ) \in A,$ τοιούτον ώστε: $\displaystyle f(x + \xi ) = f(x)$

'Εκαστον τοιούτον $\xi$ καλείται περίοδος της συναρτήσεως. Η μικροτέρα τιμή του $\xi$ ονομάζεται πρωτεύουσα περίοδος ή

απλώς περίοδος της συναρτήσεως.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #16

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 23, 2019 9:21 pm
Ποικίλουν οι ορισμοί. Ο πιο απλός είναι αυτός που δείχνει η εικόνα . Αυτόν είχα πάντα στο μυαλό μου, δεν ξέρω από πότε κι αν τον είχαν παλιά τα σχολικά βιβλία.

A function f is said to be periodic if, for some nonzero constant P, it is the case that

for all values of in the domain. A nonzero constant P for which this is the case is called a period of the function. If there exists a least

positive[1] constant P with this property, it is called the fundamental period (also primitive period, basic period, or prime period.)

Ο παραπάνω ορισμός είναι αυτός που υπάρχει στην wikipedia.
Οπου [1] είναι παραπομπή και λέει κάτω ότι υπάρχουν συναρτήσεις που δεν έχουν ελάχιστη θετική περίοδο.
Νομίζω ότι είναι ο πιο πλήρης ορισμός.

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 23, 2019 9:21 pm
Να πούμε όμως ότι το πρέπει να υπάρχει , γιατί αλλιώς χαλάει η περιοδικότητα στη γραφική παράσταση.

Το γιατί δεν το βάζουν έχει να κάνει με το εξής:
Οι περιοδικές συναρτήσεις έχουν να κάνουν με περιοδικά φυσικά φαινόμενα.
Εκει η μεταβλητή είναι ο χρόνος

. Επειδή συνήθως ο χρόνος ξεκινάει από το

η το περιοδικό φαινόμενο
από μία χρονική στιγμή $t_{0}\geq 0$ το πεδίο ορισμού είναι μη αρνητικοί αριθμοί.
Πχ Η $f(t)=C\sin (\omega t+\varphi )$
περιγράφει μια ταλάντωση.
Δεν θα έπρεπε να πούμε ότι είναι περιοδική συνάρτηση;

Και κάτι τελευταίο για τον ορισμό του παρόντος σχολικού.
Εφόσον γράφει ότι πρέπει f(x-T)=f(x+T)=f(x)

Είναι περιττό το $x-T,x+T,x\in A$
γιατί αυτό προκύπτει αφου έχουμε την

.
Δεν μπορώ να γράφω $f:A\rightarrow \mathbb{R}$
και f(r)

για $r\notin A$

#17

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 24, 2019 8:43 pm
.........................
Είναι περιττό το $x-T,x+T,x\in A$
γιατί αυτό προκύπτει αφου έχουμε την .
Δεν μπορώ να γράφω $f:A\rightarrow \mathbb{R}$
και για $r\notin A$

Σταύρο, αυτό και εγώ το θεωρώ περιττό( και για αυτό δεν το πρότεινα πουθενά), τόσο εδώ, όσο και στις άρτιες -περιττές. Μερικοί διαφωνούνε όμως .

Καλό βράδυ!

stranger · #18

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 24, 2019 8:43 pm
Και κάτι τελευταίο για τον ορισμό του παρόντος σχολικού.
Εφόσον γράφει ότι πρέπει
Είναι περιττό το $x-T,x+T,x\in A$
γιατί αυτό προκύπτει αφου έχουμε την .
Δεν μπορώ να γράφω $f:A\rightarrow \mathbb{R}$
και για $r\notin A$

Για λόγους πληρότητας και κομψότητας καλό είναι να γράφεται ότι $x-T,x+T,x \in A$ .

Ερώτηση

Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Μέλη σε σύνδεση