Προοδευτικό πολυώνυμο

KARKAR · #1

$\bigstar$ Βρείτε τις ρίζες του πολυωνύμου : P(x)=x^3+mx^2+2mx+8

,

$( m\in \mathbb{R} )$ , αν είναι γνωστό ότι είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .

ohgreg · #2

Έστω

οι ρίζες του πολυωνύμου. Τότε αφού είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου θα ισχύει:

$\frac{x_1+x_3}{2}=x_2\Leftrightarrow x_1+x_3=2x_2 \;\;(1)$

Από τους τύπους του Vieta έχουμε:

$\begin{cases} x_1+x_2+x_3=-m \;\; (2)\\ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=2m \;\;(3)\\ x_1x_2x_3=-8 \;\;(4)\end{cases}$

Οπότε:

$(2)\overset{(1)}{\Leftrightarrow}m=-3x_2 \;\; (5)$
$(3) \overset{(1)}{\Leftrightarrow}x_1x_3=-\frac{8}{x_2} \;\; (6)$ για $x_2\neq0$ *
$(4) \overset{(1),(5),(6)}{\Longleftrightarrow}2x_2^2-\frac{8}{x_2}+6x_2=0\Leftrightarrow2x_2^3+6x_2^2-8=0$ για $x_2\neq0$ *

Το παραπάνω έχει ρίζα το 1 και με horner γράφεται:

$(x_2-1)(2x_2^2+8x_2+8)=0\Leftrightarrow2(x_2-1)(x_2+2)^2=0\Leftrightarrow x_2=1,-2$

Αν x_2=1

:

$\begin{cases} (1)\Leftrightarrow x_1+x_3=2\\ (4)\Leftrightarrow x_1x_3=-8\end{cases} \Rightarrow x_1=4, \;\;x_3=-2$ ή $x_1=-2, \;\;x_3=4$

Αν x_2=-2

:

$\begin{cases} (1)\Leftrightarrow x_1+x_3=-4 \\ (4) \Leftrightarrow x_1x_3=4\end{cases} \Rightarrow x_1=x_3=-2$

Τελικά, οι ρίζες του πολυωνύμου είναι (x_1,x_2,x_3)=(-2,1,4)

ή

*Αν ήταν

, τότε $(4) \Leftrightarrow 0=-8$ που είναι άτοπο.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 15, 2022 8:28 pm
$\bigstar$ Βρείτε τις ρίζες του πολυωνύμου : ,

$( m\in \mathbb{R} )$ , αν είναι γνωστό ότι είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .

$P\left ( x \right )=x^{3}+8+mx^{2}+2mx=\left ( x+2 \right )\left ( x^{2} -2x+4\right )+mx(x+2)=$

$\left ( x+2 \right )\left [ x^{2} +\left ( m-2 \right )x+4\right ]$

Άρα η μία ρίζα του P(x)

είναι το

Για να έχει το $P\left ( x \right )$ άλλες δύο πραγματικές ρίζες, κάτι απαραίτητο για το θέμα,
πρέπει και αρκεί
$\left ( m-2 \right )^{2}-4\cdot 1\cdot 4\geq 0\Leftrightarrow \left ( m-6 \right )\left ( m+2 \right )\geq 0\Leftrightarrow m\leq -2$ ή
$m\geq 6$

Το ερώτημα είναι αν το

είναι ο μεσαίος όρος...

Aς ονομάσουμε $r_{1},r_{2}$ τις άλλες δύο ρίζες του P(x)

με $r_{2}< r_{1}$

Αν το

είναι ο μεσαίος όρος τότε
$r_{1}+ r_{2} =2\cdot \left ( -2 \right )\Leftrightarrow -\left ( m-2 \right )=-4\Leftrightarrow m=6$

Σε αυτήν την περίπτωση $P\left ( x \right )=\left ( x+2 \right )(x^{2}+4x+4)=\left ( x+2 \right )^{3}$

Αυτή δεν είναι η περίπτωση που μας ενδιαφέρει...

H άλλη περίπτωση είναι να ισχύει ότι $-2+r_{1}=2r_{2}$

Έχουμε επίσης ότι $r_{1}\cdot r_{2}=4$

Συνεπώς $\left ( 2r_{2} +2\right )r_{2}=4$ και λύνοντας
τη δευτεροβάθμια εξίσωση έχουμε ότι $r_{2}=-2$ ή $r_{2}=1$

Όπως εύκολα αντιλαμβάνεται κάποιος η τιμή

δεν μας κάνει.
Απομένει λοιπόν ότι $r_{2}=1$ .
Εύκολα βρίσκεται ότι $r_{1}=4.$

Αν θέλει κάποιος την τιμή του

που αντιστοιχεί στις ρίζες που βρέθηκαν, αυτή είναι m=-3

Προοδευτικό πολυώνυμο

Προοδευτικό πολυώνυμο

Re: Προοδευτικό πολυώνυμο

Re: Προοδευτικό πολυώνυμο

Μέλη σε σύνδεση