Χωρίς δοκιμή 2

KARKAR · #1

Να λυθεί - στο $\mathbb{R}$ - η εξίσωση : $\left (x+\dfrac{1}{2} \right )^3+\left (x+\dfrac{7}{2}\right )^3=133$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 20, 2022 8:21 am
Να λυθεί - στο $\mathbb{R}$ - η εξίσωση : $\left (x+\dfrac{1}{2} \right )^3+\left (x+\dfrac{7}{2}\right )^3=133$

Για $\displaystyle x + \frac{1}{2} = t,$ η εξίσωση γράφεται:

$\displaystyle {t^3} + {(t + 3)^3} = 133 \Leftrightarrow 2{t^3} + 9{t^2} + 27t - 106 = 0 \Leftrightarrow 2{t^3} + 9{t^2} + 27t - 90 - 16 = 0$

$\displaystyle 2({t^3} - 8) + 9({t^2}+3t - 10) = 0 \Leftrightarrow 2(t - 2)({t^2} + 2t + 4) + 9(t - 2)(t + 5) = 0$

$(t - 2)(2{t^2} + 13t + 23) = 0,$ απ' όπου t=2,

άρα $\boxed{x=\frac{3}{2}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 20, 2022 8:21 am
Να λυθεί - στο $\mathbb{R}$ - η εξίσωση : $\left (x+\dfrac{1}{2} \right )^3+\left (x+\dfrac{7}{2}\right )^3=133$

Έστω $\displaystyle f(x) = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^3} + {\left( {x + \frac{7}{2}} \right)^3},$ τότε η εξίσωση γράφεται $\displaystyle f(x) = {2^3} + {5^3} = f\left( {\frac{3}{2}} \right)$

κι επειδή η

είναι γνησίως αύξουσα (εύκολα προκύπτει από τον ορισμό) θα έχει μοναδική λύση $\boxed{x=\frac{3}{2}}$

gb1234 · #4

Καλημέρα! Προσθέτω μια ακόμη λύση παρεμφερή με την πρώτη του κύριου Βισβίκη χωρίς να κάνουμε αλλαγή μεταβλητής.
Η δοθείσα, μετά απο πράξεις, καταλήγει στην $2x^3+12x^2+\frac{75x}{2}-90=0\Leftrightarrow (2x-3)(x^2+\frac{15x}{2}+30)\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$ μοναδική ρίζα αφού το τριώνυμο $x^2+\frac{15x}{2}+30$ έχει αρνητική διακρίνουσα και θετικό μεγιστοβάθμιο συντελεστή άρα είναι θετικό σε όλο το $\mathbb{R}$ .

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 20, 2022 8:21 am
Να λυθεί - στο $\mathbb{R}$ - η εξίσωση : $\left (x+\dfrac{1}{2} \right )^3+\left (x+\dfrac{7}{2}\right )^3=133$

Θέτω: $\boxed{k = x - \frac{3}{2}}$ και η εξίσωση γράφεται :

${\left( {k + 5} \right)^3} + {\left( {k + 2} \right)^3} = 7 \cdot 19 \Leftrightarrow \left( {2k + 7} \right)$ $\left[ {{{\left( {k + 5} \right)}^2} + {{\left( {k + 7} \right)}^2} - \left( {k + 5} \right)\left( {k + 2} \right)} \right] = 7 \cdot 19\,\,\left( 1 \right)$

και από τις πράξεις ρουτίνας έχω: $k\left( {2{k^2} + 21k + 87} \right) = 0$

που έχει μια και μόνο πραγματική ρίζα την $k = 0 \Rightarrow \boxed{x = \frac{3}{2}}$ .

Παρατήρηση .

Στην σχέση $\left( 1 \right)$ , μπορούμε να δούμε ότι ο ένας παράγοντας είναι ίσος με

και ό άλλος με

.

Αν σ’ αυτή τη θέση είχαμε,πληροφορία για ακέραιες ρίζες, το αποτέλεσμα προκύπτει άμεσα.

#6

Χωρίς δοκιμή 2

Χωρίς δοκιμή 2

Re: Χωρίς δοκιμή 2

Re: Χωρίς δοκιμή 2

Re: Χωρίς δοκιμή 2

Re: Χωρίς δοκιμή 2

Re: Χωρίς δοκιμή 2

Μέλη σε σύνδεση