Περιοδική με απόλυτα

Al.Koutsouridis · #1

Η συνάρτηση

ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς, είναι περριτή, περιοδική με περίοδο

και στο διάστημα [0,6]

δίνεται από την ισότητα f(x)=|x-2|+|x-4|-6

. Να λύσετε την ανίσωση

2f(x-12)f(x+24)+11f(x+36)-13 > 0

.

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 03, 2022 4:48 pm
Η συνάρτηση ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς, είναι περριτή, περιοδική με περίοδο και στο διάστημα δίνεται από την ισότητα . Να λύσετε την ανίσωση

.

Αλέξανδρε καλησπέρα...

Εργαζόμαστε στα κατωτέρω σχήματα:

1ο Σχήμα

: Περιοδική συνάρτηση 1.png (26.75 KiB) Προβλήθηκε 620 φορές

Από τα δοσμένα στοιχεία προκύπτει εύκολα ότι η συνάρτηση αυτή είναι της μορφής του
ανωτέρω σχήματος και το στοιχείο επανάληψης είναι με κόκκινο χρώμα.
Το κομμάτι αυτό δίνεται από τη συνάρτηση:

$\displaystyle{ f_1(x)=\left\{\begin{array}{} -2x,\ \ \ 0 \leq x<2 \\-4, \ \ 2 \leq x < 4 \\2x-12, \ \ 4 \leq x < 8 \\4 ,\ \ 8 \leq x <10 \\-2(x-12),\ \ 10 \leq x \leq 12 \end{array} \rigt.} \ \ (1) }$

Αυτή έχει πεδίο ορισμού το

$\displaystyle{D=[0,12] }$ , όπου η περίοδος $\displaystyle{T=12 }$

Λόγω της περιοδικότητας η ζητούμενη για λύση ανισότητα γίνεται:

$\displaystyle{F(x)=2f(x-12)f(x+24)+11f(x+36)-13=2f^2(x)+11f(x)-13 >0 \ \ (2) }$

Το τριώνυμο αυτό έχει $\displaystyle{D=15^2}$ και ρίζες τις $\displaystyle{ r_1=1, \ \ r_2= -\frac{13}{2} }$

Άρα είναι:

$\displaystyle{F(x)=2(f(x)-1)(f(x)+\frac{13}{2}) \ \ (3) }$

Όμως είναι προφανές ότι:

$\displaystyle{f(x)>-\frac{13}{2} \Rightarrow f(x)+\frac{13}{2}>0 \ \ (4) }$

Άρα για να ισχύει η ζητούμενη ανισότητα θα πρέπει να ισχύει:

$\displaystyle{f(x)>1 \ \ (5) }$

Σχήμα 2ο

: Περιοδική συνάρτηση 4.png (22.09 KiB) Προβλήθηκε 620 φορές

Από το σχήμα αυτό φαίνεται ότι η λύση της ζητούμενης ανίσωσης είναι το διάστημα:

$\displaystyle{S=(\frac{11}{2},\frac{23}{2} ) \ \ (6) }$

Ασφαλώς το σύνολο των λύσεων της ανισότητας αυτής είναι και όλα τα διαστήματα
της μορφής (6) που περιοδικά εμφανίζονται αριστερά και δεξιά στο σύνολο του
γραφήματος της αρχικής συνάρτησης.

Σχόλιο

Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται γραφική η λύση της ανισότητας αυτής.

: Περιοδική συνάρτηση 5.png (22.18 KiB) Προβλήθηκε 620 φορές

Οι λύσεις της ανίσωσης είναι οι τετμηνένες των σημείων $\displaystyle{M,N}$ και είναι οι λύσεις (6)

(Το σχήμα αυτό έγινε με τροποποίησση των μονάδων των αξόνων και παραμένει ορθοκανονικό)

Κώστας Δόρτσιος

Περιοδική με απόλυτα

Περιοδική με απόλυτα

Re: Περιοδική με απόλυτα

Μέλη σε σύνδεση