Δύο σ' ένα

Henri van Aubel · #1

1) Έστω

οξυγώνιο τρίγωνο και $\theta < 90^\circ-\angle A,\angle A,\angle B,\angle C$ μία οξεία γωνία, τέτοια ώστε $\displaystyle \frac{\sin \left ( \angle C-2\theta \right )}{2\sin \theta \cdot \cos \left ( \angle C-\theta \right )}=\frac{\cos \angle B}{\cos \angle A\cdot \cos \angle C}.$

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle \frac{\sin \left ( \angle B+\theta \right )}{\cos \left ( \angle C-\theta \right )}=\frac{\cos \left ( \angle A+\theta \right )}{\sin \theta }.$

2) Έστω ABC

οξυγώνιο τρίγωνο και $\omega ,\theta$ οξείες γωνίες μικρότερες από τις γωνίες του τριγώνου και μεγαλύτερες από το μισό της γωνίας $\angle A,$ τέτοιες ώστε $\displaystyle \frac{2\sin \omega \cdot \sin \left ( \omega -\displaystyle\frac{\angle A}{2} \right )}{\sin \angle B}=\frac{2\sin \theta \cdot \sin \left ( \theta -\displaystyle \frac{\angle A}{2} \right )}{\sin \angle C}=\frac{1}{\sin \left ( \displaystyle \frac{\angle A}{2}+\angle B \right )}.$

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle \omega +\theta =90^\circ+\frac{\angle A}{2}.$

Henri van Aubel · #2

Επαναφορά για να απαντηθεί μέχρι το Πάσχα.

Παιδιά, καλή ανάσταση σε όλους!

Henri van Aubel · #3

Χριστός Ανέστη! Γιατί τα αποφεύγετε αυτά τα δύο θέματα; (σας προκαλώ λίγο.... )

#4

Καλησπέρα και χρόνια πολλά σε όλους.

Κοίταξα την δεύτερη άσκηση.

Έχω εξωσχολική ύλη.

Δεν έχω λύση με σχολική ύλη Άλγεβρας Β΄ Λυκείου (ενότητες 3.1 ως 3.5 του σχολικού βιβλίου).

Θα ήθελα να δω μία τέτοια...

#5

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Τρί Απρ 11, 2023 9:35 am

2) Έστω οξυγώνιο τρίγωνο και $\omega ,\theta$ οξείες γωνίες μικρότερες από τις γωνίες του τριγώνου και μεγαλύτερες από το μισό της γωνίας $\angle A,$ τέτοιες ώστε $\displaystyle \frac{2\sin \omega \cdot \sin \left ( \omega -\displaystyle\frac{\angle A}{2} \right )}{\sin \angle B}=\frac{2\sin \theta \cdot \sin \left ( \theta -\displaystyle \frac{\angle A}{2} \right )}{\sin \angle C}=\frac{1}{\sin \left ( \displaystyle \frac{\angle A}{2}+\angle B \right )}.$

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle \omega +\theta =90^\circ+\frac{\angle A}{2}.$

Για ευκολία στην πληκτρολόγηση θεωρώ:
$sin \rightarrow \eta \mu,$ $cos \rightarrow \sigma \upsilon \nu,$
$u \rightarrow \theta,$ $w \rightarrow \omega.$

Από τη δοσμένη σχέση (χρησιμοποιώντας τους εκτός ύλης τύπους: διπλασίου τόξου, αποτετραγωνισμού, ημίτονο διαφοράς, διαφορά ημιτόνων σε γινόμενο)
έχουμε ότι:
$\displaystyle{sin( C )=2sin(u) sin\left(u - \frac{A}{2} \right) sin\left(\frac{A}{2} +Β \right) \Leftrightarrow}$
$\displaystyle{\Leftrightarrow sin ( C ) = \left[2sin^2(u)cos\left(\frac{A}{2}\right)-2sin(u)cos(u)sin\left(\frac{A}{2}\right)\right]sin \left(\frac{A}{2}+B \right) \Leftrightarrow}$
$\displaystyle{\Leftrightarrow sin ( C ) = \left[(1-cos(2u))cos\left(\frac{A}{2}\right)-sin(2u)sin\left(\frac{A}{2}\right)\right]sin \left(\frac{A}{2}+B \right) \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow sin( C ) = \left[ cos\left(\frac{A}{2}\right)-cos\left(\frac{A}{2}-2u\right)\right] sin \left(\frac{A}{2}+B \right) \Leftrightarrow}$
$\displaystyle{\Leftrightarrow 2sin( C ) = 2 cos\left(\frac{A}{2}\right)sin \left(\frac{A}{2}+B \right)-2cos\left(\frac{A}{2}-2u\right)sin \left(\frac{A}{2}+B \right) \Leftrightarrow}$
$\displaystyle{\Leftrightarrow 2sin( C ) = 2 cos\left(\frac{A}{2}\right)sin\left(\frac{A}{2}\right)cos(B)+2cos^2\left(\frac{A}{2}\right) sin(B)-2cos\left(\frac{A}{2}-2u\right)sin \left(\frac{A}{2}+B \right) \Leftrightarrow}$
$\displaystyle{\Leftrightarrow 2sin( C ) = sin(A)cos(B)+(1+cos(A))sin(B)-2cos\left(\frac{A}{2}-2u\right)sin \left(\frac{A}{2}+B \right) \Leftrightarrow}$
$\displaystyle{\Leftrightarrow 2sin( A+B ) = sin(A+B)+sin(B)-2cos\left(\frac{A}{2}-2u\right)sin \left(\frac{A}{2}+B \right) \Leftrightarrow}$
$\displaystyle{\Leftrightarrow sin( A+B ) - sin(B)+2cos\left(\frac{A}{2}-2u\right)sin \left(\frac{A}{2}+B \right) =0 \Leftrightarrow}$
$\displaystyle{\Leftrightarrow 2sin\left(\frac{A}{2}\right)cos\left(B+\frac{A}{2}\right)+2cos\left(\frac{A}{2}-2u\right)sin \left(\frac{A}{2}+B \right) =0 \;\;(I)}$

Ομοίως από τη δοσμένη σχέση έχουμε:
$\displaystyle{sin( Β )=2sin(w) sin\left(w - \frac{A}{2} \right) sin\left(\frac{A}{2} +Β \right) }$
και με το ίδιο σκεπτικό βρίσκουμε ότι:
$\displaystyle{ 2sin\left(\frac{A}{2}\right)cos\left(B+\frac{A}{2}\right)-2cos\left(2w-\frac{A}{2}\right)sin \left(\frac{A}{2}+B \right) =0 \;\;(II)}$
Από τις (I),(II)

προκύπτει ότι:
$\displaystyle{cos\left(\frac{A}{2}-2u\right)=-cos\left(2w-\frac{A}{2}\right) \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{A}{2}-2u = 2 k \pi \pm \left(\pi - 2w+\frac{A}{2}\right),\; k \in \mathbb{Z}\;\;(III).}$
* Από την (ΙΙΙ) για το πρόσημο + έχουμε:
$\displaystyle{2w-2u=2k \pi + \pi,\; k \in \mathbb{Z}.}$
Όμως οι γωνίες w,u

είναι οξείες, οπότε
$\displaystyle{-\pi < 2w - 2u < \pi \Leftrightarrow -1 < k < 0, \;k \in \mathbb{Z},}$
που είναι αδύνατη.
* Από την (ΙΙΙ) για το πρόσημο - έχουμε:
$\displaystyle{2w+2u-A=-k \pi + \pi,\; k \in \mathbb{Z}.}$
Όμως οι γωνίες w,u,Α

είναι οξείες, οπότε $\displaystyle{-\frac{\pi}{2} < 2w + 2u-A < 2\pi \Leftrightarrow -\frac{3}{4} < -k < \frac{1}{2}, \; k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow k=0}$
και κατά συνέπεια
$\displaystyle{2w+2u-A=\pi \Leftrightarrow w+u=\frac{A}{2}+\frac{\pi}{2}.}$

#6

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Τρί Απρ 11, 2023 9:35 am

2) Έστω οξυγώνιο τρίγωνο και $\omega ,\theta$ οξείες γωνίες μικρότερες από τις γωνίες του τριγώνου και μεγαλύτερες από το μισό της γωνίας $\angle A,$ τέτοιες ώστε $\displaystyle \frac{2\sin \omega \cdot \sin \left ( \omega -\displaystyle\frac{\angle A}{2} \right )}{\sin \angle B}=\frac{2\sin \theta \cdot \sin \left ( \theta -\displaystyle \frac{\angle A}{2} \right )}{\sin \angle C}=\frac{1}{\sin \left ( \displaystyle \frac{\angle A}{2}+\angle B \right )}.$

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle \omega +\theta =90^\circ+\frac{\angle A}{2}.$

Η μη σχολική μου λύση... Αν οι διαχειριστές το θεωρούν απαραίτητο ας μεταφερθεί η δημοσίευση...

Για ευκολία στην πληκτρολόγηση θεωρώ:
$sin \rightarrow \eta \mu,$ $cos \rightarrow \sigma \upsilon \nu,$
$u \rightarrow \theta,$ $w \rightarrow \omega.$

Από τη δοσμένη σχέση (χρησιμοποιώντας τους εκτός ύλης τύπους: διπλασίου τόξου, αποτετραγωνισμού, ημίτονο διαφοράς, διαφορά ημιτόνων σε γινόμενο)
έχουμε ότι:
$\displaystyle{sin( C )=2sin(u) sin\left(u - \frac{A}{2} \right) sin\left(\frac{A}{2} +Β \right) \Leftrightarrow}$
$\displaystyle{\Leftrightarrow sin ( C ) = \left[2sin^2(u)cos\left(\frac{A}{2}\right)-2sin(u)cos(u)sin\left(\frac{A}{2}\right)\right]sin \left(\frac{A}{2}+B \right) \Leftrightarrow}$
$\displaystyle{\Leftrightarrow sin ( C ) = \left[(1-cos(2u))cos\left(\frac{A}{2}\right)-sin(2u)sin\left(\frac{A}{2}\right)\right]sin \left(\frac{A}{2}+B \right) \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow sin( C ) = \left[ cos\left(\frac{A}{2}\right)-cos\left(\frac{A}{2}-2u\right)\right] sin \left(\frac{A}{2}+B \right) \Leftrightarrow}$
$\displaystyle{\Leftrightarrow 2sin( C ) = 2 cos\left(\frac{A}{2}\right)sin \left(\frac{A}{2}+B \right)-2cos\left(\frac{A}{2}-2u\right)sin \left(\frac{A}{2}+B \right) \Leftrightarrow}$
$\displaystyle{\Leftrightarrow 2sin( C ) = 2 cos\left(\frac{A}{2}\right)sin\left(\frac{A}{2}\right)cos(B)+2cos^2\left(\frac{A}{2}\right) sin(B)-2cos\left(\frac{A}{2}-2u\right)sin \left(\frac{A}{2}+B \right) \Leftrightarrow}$
$\displaystyle{\Leftrightarrow 2sin( C ) = sin(A)cos(B)+(1+cos(A))sin(B)-2cos\left(\frac{A}{2}-2u\right)sin \left(\frac{A}{2}+B \right) \Leftrightarrow}$
$\displaystyle{\Leftrightarrow 2sin( A+B ) = sin(A+B)+sin(B)-2cos\left(\frac{A}{2}-2u\right)sin \left(\frac{A}{2}+B \right) \Leftrightarrow}$
$\displaystyle{\Leftrightarrow sin( A+B ) - sin(B)+2cos\left(\frac{A}{2}-2u\right)sin \left(\frac{A}{2}+B \right) =0 \Leftrightarrow}$
$\displaystyle{\Leftrightarrow 2sin\left(\frac{A}{2}\right)cos\left(B+\frac{A}{2}\right)+2cos\left(\frac{A}{2}-2u\right)sin \left(\frac{A}{2}+B \right) =0 \;\;(I)}$

Ομοίως από τη δοσμένη σχέση έχουμε:
$\displaystyle{sin(B)=2sin(w) sin\left(w - \frac{A}{2} \right) sin\left(\frac{A}{2} +B \right) }$
και με το ίδιο σκεπτικό βρίσκουμε ότι:
$\displaystyle{ 2sin\left(\frac{A}{2}\right)cos\left(B+\frac{A}{2}\right)-2cos\left(2w-\frac{A}{2}\right)sin \left(\frac{A}{2}+B \right) =0 \;\;(II)}$
Από τις (I),(II)

προκύπτει ότι:
$\displaystyle{cos\left(\frac{A}{2}-2u\right)=-cos\left(2w-\frac{A}{2}\right) \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{A}{2}-2u = 2 k \pi \pm \left(\pi - 2w+\frac{A}{2}\right),\; k \in \mathbb{Z}\;\;(III).}$
* Από την (ΙΙΙ) για το πρόσημο + έχουμε:
$\displaystyle{2w-2u=2k \pi + \pi,\; k \in \mathbb{Z}.}$
Όμως οι γωνίες w,u

είναι οξείες, οπότε
$\displaystyle{-\pi < 2w - 2u < \pi \Leftrightarrow -1 < k < 0, \;k \in \mathbb{Z},}$
που είναι αδύνατη.
* Από την (ΙΙΙ) για το πρόσημο - έχουμε:
$\displaystyle{2w+2u-A=-k \pi + \pi,\; k \in \mathbb{Z}.}$
Όμως οι γωνίες w,u,Α

είναι οξείες, οπότε $\displaystyle{-\frac{\pi}{2} < 2w + 2u-A < 2\pi \Leftrightarrow -\frac{3}{4} < -k < \frac{1}{2}, \; k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow k=0}$
και κατά συνέπεια
$\displaystyle{2w+2u-A=\pi \Leftrightarrow w+u=\frac{A}{2}+\frac{\pi}{2}.}$

Henri van Aubel · #7

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε: ↑
Δευ Απρ 17, 2023 12:10 am
Καλησπέρα και χρόνια πολλά σε όλους.

Κοίταξα την δεύτερη άσκηση.

Έχω εξωσχολική ύλη.

Δεν έχω λύση με σχολική ύλη Άλγεβρας Β΄ Λυκείου (ενότητες 3.1 ως 3.5 του σχολικού βιβλίου).

Θα ήθελα να δω μία τέτοια...

Γειά σου Λευτέρη!

Η λύση σου είναι πολύ καλή και κατανοητή, δεν υπάρχει λύση με τα σχολικά εργαλεία, μόνο με αυτά που έκανες. Ομοίως εύκολα λύνεται και το πρώτο.

#8

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Δευ Απρ 17, 2023 10:53 am

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε: ↑
Δευ Απρ 17, 2023 12:10 am
Καλησπέρα και χρόνια πολλά σε όλους.

Κοίταξα την δεύτερη άσκηση.

Έχω εξωσχολική ύλη.

Δεν έχω λύση με σχολική ύλη Άλγεβρας Β΄ Λυκείου (ενότητες 3.1 ως 3.5 του σχολικού βιβλίου).

Θα ήθελα να δω μία τέτοια...
Γειά σου Λευτέρη! Η λύση σου είναι πολύ καλή και κατανοητή, δεν υπάρχει λύση με τα σχολικά εργαλεία, μόνο με αυτά που έκανες. Ομοίως εύκολα λύνεται και το πρώτο.

Για να καταλάβω. Η πολύ ωραία, ομολογουμένως, λύση του Λευτέρη, θεωρείται εύκολη;

Henri van Aubel · #9

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 17, 2023 1:14 pm

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Δευ Απρ 17, 2023 10:53 am

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε: ↑
Δευ Απρ 17, 2023 12:10 am
Καλησπέρα και χρόνια πολλά σε όλους.

Κοίταξα την δεύτερη άσκηση.

Έχω εξωσχολική ύλη.

Δεν έχω λύση με σχολική ύλη Άλγεβρας Β΄ Λυκείου (ενότητες 3.1 ως 3.5 του σχολικού βιβλίου).

Θα ήθελα να δω μία τέτοια...
Γειά σου Λευτέρη! Η λύση σου είναι πολύ καλή και κατανοητή, δεν υπάρχει λύση με τα σχολικά εργαλεία, μόνο με αυτά που έκανες. Ομοίως εύκολα λύνεται και το πρώτο.
Για να καταλάβω. Η πολύ ωραία, ομολογουμένως, λύση του Λευτέρη, θεωρείται εύκολη;

Για τα δεδομένα μου και τα δεδομένα των συναδέλφων και των παιδιών του forum, ναι. Για τα παιδιά του σχολείου, σε καμία περίπτωση.
Έτσι δεν είναι; Εγώ έτσι λέω.

Henri van Aubel · #10

Δίνω μία λύση και για το πρώτο.

Το δεδομένο μας γράφεται:

$\displaystyle \frac{\sin \left ( C-2\theta \right )}{\sin C-\sin \left ( C-2\theta \right )}=\frac{\cos B}{\cos A\cos C}\Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{\sin C}{\sin \left ( C-2\theta \right )}-1=\frac{\cos A\cos C}{\cos B}\Leftrightarrow \frac{\sin C}{\sin \left ( C-2\theta \right )}=\frac{\sin A\sin C}{\cos B}\Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow \boxed{\sin \left ( C-2\theta \right )=\frac{\cos B}{\sin A}}\left ( I \right )$

Η αποδεικτέα σχέση γράφεται ως:

$\sin \left ( B+\theta \right )\sin \theta =\cos \left ( C-\theta \right )\cos \left ( A+\theta \right )\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \sin B\sin \theta \cos \theta +\cos B\sin ^{2}\theta =\left ( \cos C\cos \theta +\sin C\sin \theta \right )\left ( \cos A\cos \theta -\sin A\sin \theta \right )\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow^{\cdot 2} \sin B\sin 2\theta +\cos B\left ( 1-\cos 2\theta \right )=\cos A\cos C\left ( 1+\cos 2\theta \right )+\cos A\sin C\sin 2\theta -\sin A\cos C\sin 2\theta -\sin A\sin C\left ( 1-\cos 2\theta \right )\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow ... \sin A\sin C\cos 2\theta -\sin A\cos C\sin 2\theta =\cos B\Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow \boxed{\sin \left ( C-2\theta \right )=\frac{\cos B}{\sin A}}\left ( II \right )$

Η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί.

#11

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Δευ Απρ 17, 2023 1:34 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 17, 2023 1:14 pm

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Δευ Απρ 17, 2023 10:53 am

Γειά σου Λευτέρη! Η λύση σου είναι πολύ καλή και κατανοητή, δεν υπάρχει λύση με τα σχολικά εργαλεία, μόνο με αυτά που έκανες. Ομοίως εύκολα λύνεται και το πρώτο.
Για να καταλάβω. Η πολύ ωραία, ομολογουμένως, λύση του Λευτέρη, θεωρείται εύκολη;
Για τα δεδομένα μου και τα δεδομένα των συναδέλφων και των παιδιών του forum, ναι. Για τα παιδιά του σχολείου, σε καμία περίπτωση.
Έτσι δεν είναι; Εγώ έτσι λέω.

Τα παιδιά του forum δεν είναι παιδιά του σχολείου; Σαφώς και είναι. Επειδή έχουμε την τύχη να φιλοξενούμε στο

τα
μετάλλια

του Αρχιμήδη, του προκριματικού, των Βαλκανιάδων και των Ολυμπιάδων, αυτό δεν σημαίνει
ότι όλα τα παιδιά που επισκέπτονται το forum ανήκουν σε αυτή την κατηγορία. Ένας λόγος παραπάνω όταν προτείνουμε
ασκήσεις σε φάκελο που δεν ανήκει στα διαγωνιστικά μαθηματικά και είναι εκτός ύλης. Φανταστείτε την απογοήτευση των
καλών μαθητών που νομίζουν ότι αντιμετωπίζουν μία άσκηση της ύλης τους και δεν μπορούν να ανταπεξέλθουν.

Henri van Aubel · #12

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 17, 2023 2:14 pm

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Δευ Απρ 17, 2023 1:34 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 17, 2023 1:14 pm

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Δευ Απρ 17, 2023 10:53 am

Γειά σου Λευτέρη! Η λύση σου είναι πολύ καλή και κατανοητή, δεν υπάρχει λύση με τα σχολικά εργαλεία, μόνο με αυτά που έκανες. Ομοίως εύκολα λύνεται και το πρώτο.
Για να καταλάβω. Η πολύ ωραία, ομολογουμένως, λύση του Λευτέρη, θεωρείται εύκολη;
Για τα δεδομένα μου και τα δεδομένα των συναδέλφων και των παιδιών του forum, ναι. Για τα παιδιά του σχολείου, σε καμία περίπτωση.
Έτσι δεν είναι; Εγώ έτσι λέω.

Τα παιδιά του forum δεν είναι παιδιά του σχολείου; Σαφώς και είναι. Επειδή έχουμε την τύχη να φιλοξενούμε στο τα
μετάλλια του Αρχιμήδη, του προκριματικού, των Βαλκανιάδων και των Ολυμπιάδων, αυτό δεν σημαίνει
ότι όλα τα παιδιά που επισκέπτονται το forum ανήκουν σε αυτή την κατηγορία. Ένας λόγος παραπάνω όταν προτείνουμε
ασκήσεις σε φάκελο που δεν ανήκει στα διαγωνιστικά μαθηματικά και είναι εκτός ύλης. Φανταστείτε την απογοήτευση των
μαθητών που νομίζουν ότι αντιμετωπίζουν μία άσκηση της ύλης τους και δεν μπορούν να ανταπεξέλθουν.

Γειά σου Γιώργο! (μίλα μου στον ενικό). Φυσικά και είναι παιδιά του σχολείου τα παιδιά του forum, εγώ εννοούσα ότι η άσκηση είναι δύσκολη για την συντριπτική πλειονότητα των παιδιών του σχολείου. (μάλλον έπρεπε να το διατυπώσω καλύτερα). Φαντάζομαι την απογοήτευση των μαθητών που νομίζουν ότι αντιμεπτωπίζουν μία άσκηση του επιπέδου τους, αλλά δεν είναι του επιπέδου τους, γι αυτό επιθυμώ να μεταφερθεί το θέμα στον φάκελο ''Γενικά Επίπεδο Θαλή-Ευκλείδη (Seniors)

Henri van Aubel · #13

Την είχα ξεχάσει, βάζω και την απάντησή μου για το 2.

Έχουμε:

$\displaystyle 2\sin \theta \sin \left ( \theta - \frac{A}{2}\right )=\frac{\sin C}{\sin \left ( \displaystyle \frac{A}{2}+B \right )}\Leftrightarrow$

$\displaystyle\Leftrightarrow 2\sin \theta \left ( \sin \theta \cos \frac{A}{2}-\cos \theta \sin \frac{A}{2} \right )=\frac{\sin C}{\displaystyle \sin \left ( \frac{A}{2}+B \right )}\Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow 2\sin ^{2}\theta \cos \frac{A}{2}-\sin 2\theta \sin \frac{A}{2}=\frac{\sin C}{\displaystyle\sin \left ( \frac{A}{2} +B \right )}\Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left ( 1-\cos 2\theta \right )\cos \frac{A}{2}-\sin 2\theta \sin \frac{A}{2}=\cos \frac{A}{2}-\cos \left ( 2\theta -\frac{A}{2} \right )=\frac{\sin C}{\displaystyle \sin \left ( \frac{A}{2}+B \right )}\Leftrightarrow$

$\displaystyle \displaystyle \Leftrightarrow \boxed{\cos \left ( 2\theta -\frac{A}{2} \right )=\frac{\sin B-\sin C}{2\sin \left ( \displaystyle\frac{A}{2}+B \right )}}\left ( I \right )$

Ομοίως στην άλλη θα βρούμε :

$\displaystyle \cos \frac{A}{2}-\cos \left ( 2\omega -\frac{A}{2} \right )=\frac{\sin B}{\displaystyle \sin \left ( \frac{A}{2}+B \right )}\Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow \boxed{\cos \left ( 2\omega -\frac{A}{2} \right )=\frac{\sin C-\sin B}{\displaystyle 2\sin \left ( \frac{A}{2}+B \right )}}\left ( II \right )$

Από $\left ( I \right ),\left ( II \right )$ και επειδή οι γωνίες είναι οξείες, το ζητούμενο έπεται.

Δύο σ' ένα

Δύο σ' ένα

Re: Δύο σ' ένα

Re: Δύο σ' ένα

Re: Δύο σ' ένα

Re: Δύο σ' ένα

Re: Δύο σ' ένα

Re: Δύο σ' ένα

Re: Δύο σ' ένα

Re: Δύο σ' ένα

Re: Δύο σ' ένα

Re: Δύο σ' ένα

Re: Δύο σ' ένα

Re: Δύο σ' ένα

Μέλη σε σύνδεση