Μεγάλη διαδρομή

KARKAR · #1

: Μεγάλη διαδρομή.png (12.35 KiB) Προβλήθηκε 87 φορές

Στο ημικύκλιο του σχήματος , βρείτε την μέγιστη τιμή του αθροίσματος BS+ST

.

#2

: 08-5-2026 Γεωμετρία.png (18.84 KiB) Προβλήθηκε 73 φορές

Έστω

, με

, $-1 \le a \le 1, 0\le b \le 1$ .

$\displaystyle ST + SB = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}} + \left| {a + 1} \right| = \sqrt {2 - 2a} + a + 1$

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( a \right) = \sqrt {2 - 2a} + a + 1,\;\; - 1 \le a \le 1$ έχει παράγωγο $\displaystyle f'\left( a \right) = \frac{{\sqrt {2 - 2a} - 1}}{{\sqrt {2 - 2a} }}$ , που μηδενίζεται για $\displaystyle a = \frac{1}{2}$ , για την οποία τιμή έχει μέγιστο.

Άρα $\displaystyle ST + S{B_{\max }} = \frac{5}{2} \cdot r$ , όταν SB=r

.

#3

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 08, 2026 8:56 pm
Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( a \right) = \sqrt {2 - 2a} + a + 1,\;\; - 1 \le a \le 1$ έχει παράγωγο...

Ας το δούμε χωρίς χρήση παραγώγων:

$\sqrt {2 - 2a} + a + 1=\sqrt 2\sqrt {1 - a} + a + 1 = \dfrac {5}{2} - \left (\dfrac {\sqrt 2}{2} - \sqrt {1-a} \right ) ^2 \le \dfrac {5}{2}$

με ισότητα όταν $\dfrac {\sqrt 2}{2} - \sqrt {1-a} =0$ , ισοδύναμα $a= \dfrac {1}{2}$ . Τελειώσαμε.

KARKAR · #4

: Μεγάλη διαδρομή λύση.png (12.12 KiB) Προβλήθηκε 34 φορές

Μια λύση πιο κοντά στο πνεύμα του φακέλου : Είναι : x^2=(d-y)y

, άρα : $y=\dfrac{d^2-x^2}{d}$ .

Συνεπώς : $x+y=\dfrac{1}{d}(-x^2+dx+d^2)$ , οπότε : $(x+y)_{max}=\dfrac{5}{4}d$ , για : $x=\dfrac{d}{2}(=r)$ .

#5

Μια προεκτασούλα: Αποδείξτε ότι για τη θέση του

, ώστε το

να έχει μέγιστο ισχύει η εξής πρόταση:

Το συμμετρικό του

ως προς την εφαπτομένη του ημικυκλίου στο

είναι σημείο της ευθείας

.

#6

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 09, 2026 8:50 am
Μια προεκτασούλα: Αποδείξτε ότι για τη θέση του , ώστε το να έχει μέγιστο ισχύει η εξής πρόταση:

Το συμμετρικό του ως προς την εφαπτομένη του ημικυκλίου στο είναι σημείο της ευθείας .

: Μεγάλη διαδρομή.png (24.86 KiB) Προβλήθηκε 15 φορές

Η παράλληλη από το

στην

τέμνει την

στο

Αρκεί να δείξω ότι η εφαπτομένη

είναι μεσοκάθετη του BC.

Πράγματι, έχει ήδη αποδειχθεί (πιο πάνω) ότι BS=r,

οπότε τα τρίγωνα OBS, SBC

είναι ισόπλευρα κι επειδή

$B\widehat Sx=B\widehat AS=30^\circ,$ η

θα είναι διχοτόμος της $B\widehat SC,$ δηλαδή μεσοκάθετη του BC.

Μεγάλη διαδρομή

Μεγάλη διαδρομή

Re: Μεγάλη διαδρομή

Re: Μεγάλη διαδρομή

Re: Μεγάλη διαδρομή

Re: Μεγάλη διαδρομή

Re: Μεγάλη διαδρομή

Μέλη σε σύνδεση