Κυρτό τετράπλευρο

#1

$\colorbox{yellow}{\boxed{\diamond}}$ Έστω ΑΒΓΔ ένα κυρτό τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,ρ).

Ε,Ζ τα σημεία τομής των ΑΒ,ΓΔ και ΒΓ,ΑΔ αντίστοιχα.Από τα Ε,Ζ φέρουμε τις εφαπτομένες ΕΡ,ΖΝ του κύκλου,να αποδείξετε ότι $:\boxed{EP^2+ZN^2=EZ^2}$

#2

Μετακινήστε τις κορυφές Α, Β, Γ και Δ στον κύκλο στο συνημμένο αρχείο Geogebra.

Οι μετρήσεις επιβεβαιώνουν "τῆς Φωτεινῆς τοῦ λόγου τὸ ἀληθές."

Καλό Σαββατοκύριακο!

Γιώργος Ρίζος

mixtzo · #3

: F.png (35.35 KiB) Προβλήθηκε 573 φορές

Από το νόμο των συνημίτονων, προκύπτει:
$\begin{matrix} EZ^2& = &E \Delta ^2+ \Delta Z^2-2E \Delta \cdot \Delta Z \cos{\omega } \\ & = & E \Delta (E\Gamma -\Delta \Gamma)+Z \Delta (ZA -A\Delta)-2E \Delta \cdot \Delta Z \cos{\omega } \\ & = & E \Delta\cdot E\Gamma -E \Delta\cdot \Delta \Gamma+Z \Delta\cdot ZA - Z \Delta\cdot A\Delta -2E \Delta \cdot \Delta Z \cos{\omega } \end{matrix}$

Έτσι, αρκεί να ισχύει

$\begin{matrix} \Delta Z\cdot A\Delta - E \Delta \cdot \Delta Z \cos{\omega }& = &E \Delta \cdot \Delta Z \cos{\omega } - E \Delta\cdot\Delta \Gamma \ \ \acute{\eta } \\ \Delta Z (A\Delta - \Delta H)& = & E \Delta(\Delta\Theta -\Delta \Gamma ) \ \ \acute{\eta } \\ \Delta Z\cdot AH & = & E \Delta\cdot \Gamma \Theta \end{matrix}$

Όμως το τελευταίο ισχύει, αφού τα τρίγωνα ΕΗΑ και ΖΘΔ είναι όμοια και δίνουν

$\frac{AH}{\Gamma \Theta}=\frac{EH}{Z\Theta}$

καθώς και τα τρίγωνα ΕΗΔ και ΖΘΔ είναι επίσης όμοια και δίνουν

$\frac{E \Delta}{\Delta Z}=\frac{EH}{Z\Theta}.$

Σημείωση: Το παραπάνω πρόβλημα γίνεται μια όμορφη άσκηση για όλους τους Μαθητές, αρκεί να δοθεί Α=Γ= 90^o

Κυρτό τετράπλευρο

Κυρτό τετράπλευρο

Re: Κυρτό τετράπλευρο

Re: Κυρτό τετράπλευρο

Μέλη σε σύνδεση