Σταθερό αλλά πόσο ;

KARKAR · #1

Κύκλος

και ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς

έχουν το ίδιο κέντρο . Σημείο

κινείται επί του κύκλου . Υπολογίστε την ποσότητα : SA^2+SB^2+SC^2

.

#2

γεια σου Θανάση
από το θεώρημα Leibnitz έχουμε (αφού το

είναι βαρύκεντρο του τριγώνου)

$SA^2+SB^2+SC^2=3SO^2+\frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)\Rightarrow SA^2+SB^2+SC^2=3+a^2=19$

tzisves · #3

(εκτός της αντίστοιχης σχολικής ύλης)
Θεωρούμε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με αρχή το $\displaystyle{O}$ και άξονα τεταγμένων την ευθεία $\displaystyle{OA}$ . Σ αυτό υποθέτω ότι το σημείο $\displaystyle{S}$ είναι η εικόνα ενός μιγαδικού $\displaystyle{z}$ και αφού ο κύκλος έχει ακτίνα $\displaystyle{1}$ , $\displaystyle{|z| = 1}$ .
Αν τώρα για ευκολία πράξεων θέσω $\displaystyle{k = \frac{{\sqrt 3 }}{3}}$ τότε τα σημεία $\displaystyle{A,B,C}$ είναι οι εικόνες των μιγαδικών: $\displaystyle{{z_1} = 4ki,{z_2} = - 2 - 2ki,{z_3} = 2 - 2ki = {\bar z_2}}$ κι αυτό γιατί το μήκος της πλευράς του ισοπλεύρου τριγώνου είναι $\displaystyle{4}$ .
Μετά απ’ αυτά : $\displaystyle{P = S{A^2} + S{B^2} + S{C^2} = |z - {z_1}{|^2} + |z - {z_2}{|^2} + |z - {z_3}{|^2}}$ (1) .
Επειδή $\displaystyle{{z_1} + {z_2} + {z_3} = 0,\,\,{\bar z_1} + {\bar z_2} + {\bar z_3} = \overline {{z_1} + {z_2} + {z_3}} = 0}$
Και $\displaystyle{z\bar z = |z{|^2} = 1}$
Και ομοίως $\displaystyle{\,{z_1}{\bar z_1} = 16{k^2},\,\,{z_2}{\bar z_2} = {z_3}{\bar z_3} = 4 + 4{k^2}}$
ή (1) δίδει
$\displaystyle{P = (z - {z_1})(\bar z - {\bar z_1}) + (z - {z_2})(\bar z - {\bar z_2}) + (z - {z_3})(\bar z - {\bar z_3}) \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{P = 3z\bar z - ({z_1} + {z_2} + {z_3})z - ({\bar z_1} + {\bar z_2} + {\bar z_3})z + {z_1}{\bar z_1} + {z_2}{\bar z_2} + {z_3}{\bar z_3} \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{P = 3 \cdot {1^2} - 0 \cdot z - 0 \cdot z + 16{k^2} + 8 + 8{k^2} = 3 + 24 \cdot \frac{1}{3} + 8 = 19}$

Σταθερό αλλά πόσο ;

Σταθερό αλλά πόσο ;

Re: Σταθερό αλλά πόσο ;

Re: Σταθερό αλλά πόσο ;

Μέλη σε σύνδεση