Δευτερεύοντα στοιχεία

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 17388
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Δευτερεύοντα στοιχεία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Νοέμ 11, 2014 7:53 pm

Δευτερεύοντα στοιχεία.png
Δευτερεύοντα στοιχεία.png (7.05 KiB) Προβλήθηκε 688 φορές
Σε τρίγωνο \displaystyle ABC , με AB=4 και AC=6 , φέραμε το ύψος AD και τη διχοτόμο AE . Αν M

είναι το μέσο της BC , δείξτε ότι : ME \cdot MD=1 . Για ποιο μήκος της BC , είναι DE=1.5 ?


Κορυφή
margavare
Δημοσιεύσεις: 203
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 10:48 am
Τοποθεσία: Βέροια

Re: Δευτερεύοντα στοιχεία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από margavare » Τρί Νοέμ 11, 2014 8:20 pm

\begin{array}{l} BC = a,MC = \frac{a}{2}\\ BE = \frac{{AB \cdot BC}}{{AB + AC}} = \frac{{4 \cdot a}}{{4 + 6}} = \frac{{2a}}{5}\\ A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2BC \cdot BD \Leftrightarrow {6^2} = {4^2} + {a^2} - 2a \cdot BD \Leftrightarrow BD = \frac{{{a^2} - 20}}{{2a}}\\ \\ ME \cdot MD = \left( {MB - BE} \right) \cdot \left( {MB - BD} \right) = \left( {\frac{a}{2} - \frac{{2a}}{5}} \right) \cdot \left( {\frac{a}{2} - \frac{{{a^2} - 20}}{{2a}}} \right) = \\ \frac{a}{{10}} \cdot \frac{{{a^2} - {a^2} + 20}}{{2a}} = \frac{a}{{10}} \cdot \frac{{20}}{{2a}} = 1\\ \\ \\ DE = 1,5\\ BD + DE = BE \Leftrightarrow \frac{{{a^2} - 20}}{{2a}} + 1,5 = \frac{{2a}}{5} \Leftrightarrow 5{a^2} - 100 + 15a = 4{a^2} \Leftrightarrow \\ {a^2} + 15a - 100 = 0\\ a = 5 \end{array}


Μαργαρίτα Βαρελά
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10777
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Δευτερεύοντα στοιχεία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Νοέμ 11, 2014 10:09 pm

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Δευτερεύοντα στοιχεία.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σε τρίγωνο \displaystyle ABC , με AB=4 και AC=6 , φέραμε το ύψος AD και τη διχοτόμο AE . Αν M

είναι το μέσο της BC , δείξτε ότι : ME \cdot MD=1 . Για ποιο μήκος της BC , είναι DE=1.5 ?
Καλησπέρα

Λίγο διαφορετικά .
δευτερεύοντα στοιχεία.png
δευτερεύοντα στοιχεία.png (16.52 KiB) Προβλήθηκε 628 φορές
Με δεδομένο b > c έχουμε :

α) Από το 2ο Θ. διαμέσων στο τρίγωνο ABC έχουμε : {b^2} - {c^2} = 2aDM\,(1) .

Από το Θ διχοτόμων στο ίδιο τρίγωνο έχουμε : EC = \dfrac{{ab}}{{b + c}} και άρα EM = \dfrac{{ab}}{{b + c}} - \dfrac{a}{2} = a(\dfrac{b}{{b + c}} - \dfrac{1}{2}) και άρα \dfrac{{a(b - c)}}{{2(b + c)}} = ME\,\,(2) .

Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη τις (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2) θα προκύψει : (b - c)(b + c)\dfrac{{a(b - c)}}{{2(b + c)}} = 2aMD \cdot ME και άρα \boxed{MD \cdot ME = \dfrac{{{{(b - c)}^2}}}{4}}. Για την εφαρμογή δε ME \cdot MD = 1

β) Έστω DE = x επειδή ME = \dfrac{1}{{DM}} θα έχουμε : DE + ME = DM \Rightarrow x + \dfrac{1}{{DM}} = DM . Αλλά λόγω της (1) και με

b = 6\,\,,\,\,c = 4 θα έχουμε: DM = \dfrac{{10}}{a} και άρα για x = \dfrac{3}{2} έχουμε την εξίσωση : \dfrac{3}{2} + \dfrac{a}{{10}} = \dfrac{{10}}{a} απ’ όπου a = 5 ή a = - 20 και συνεπώς δεκτή η τιμή a = 5.

Φιλικά Νίκος


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες