Γεωμετρείν 99

Δημήτρης Μυρογιάννης · #1

Έστω τρίγωνο ABC

με τη γωνία του BAC=2x

.

Επί της

λαμβάνουμε σημείο

τέτοιο ώστε οι γωνίες DBA,~DBC

να έχουν μέτρο x,~7x

αντίστοιχα.

Αν ισχύει επίσης ότι AD=BC

, βρείτε την τιμή του

.

Στόχος: περισσότερες της μίας λύσεις... έχω (μία) λύση την οποία (αν χρειαστεί) θα περάσω και εδώ.

: ΓΕΩΜΕΤΡΕΙΝ 99.png (12.14 KiB) Προβλήθηκε 1201 φορές

#2

Τριγωνομετρική λύση:

Από τον Νόμο Ημιτόνων στα τρίγωνα $\displaystyle{ADB,BCD}$ έχουμε

$\displaystyle{\frac{AD}{\sin x}=\frac{BD}{\sin 2x}}$ και $\displaystyle{\frac{BD}{\sin 10x}=\frac{BC}{\sin 3x}.}$

Οι σχέσεις αυτές γράφονται αντίστοιχα

$\displaystyle{\frac{BD}{AD}=2\cos x}$ και $\displaystyle{\frac{BD}{BC}=\frac{\sin 10x}{\sin 3x}.}$

Επειδή δίνεται ότι $\displaystyle{AD=BC}$ προκύπτει

$\displaystyle{2\sin 3x\cos x=\sin 10x.}$

Απομένει να λυθεί αυτή η εξίσωση.

Ισοδύναμα έχουμε

$\displaystyle{\sin 4x+\sin 2x=\sin 10x \iff \sin 4x=\sin 10x-\sin 2x \iff \sin 4x=2\sin 4x\cos 6x\iff \sin 4x=0\vee \cos 6x=\frac{1}{2}.}$

Επειδή $\displaystyle{\angle A+\angle B<180^o}$ προκύπτει $\displaystyle{10x<180^o\implies x<18^o.}$

Επομένως η μόνη λύση είναι η $\displaystyle{\boxed{x=10^o}}$ για την οποία είναι $\displaystyle{\cos 6x=\frac{1}{2}.}$

ealexiou · #3

: Γεωμετρείν 99.png (20.98 KiB) Προβλήθηκε 1147 φορές

Έστω

σημείο της

ώστε

, άρα

, άρα τα τρίγωνα ADE,DEB,EBC

ισοσκελή. Φέρω $BL\bot CE$ και την προεκτείνω μέχρι το

επί της

Είναι $EZ=ZC \Rightarrow \triangle EZC$ ισοσκελές, όπως και $\triangle DZB$ ισοσκελές αφού $\angle ZDB=\angle ZBD=3x$
$\begin{cases} & DZ = ZB\\ & DE =EB\end{cases} \ \ \Rightarrow ZK\bot DB$
Είναι $\angle DEC=90°-x$
$\angle CEB=\angle ECB=\dfrac{180-\widehat{B}}{2}=\dfrac{180°-8x}{2}=90°-4x$
$\angle ZEC=180°-2x-(90°-x)-(90°-4x)=3x$
$\angle ZCE=\angle ACE=180°-\widehat{A}-\angle AEC=$ 180°-2x-(2x+90°-x+3x)=90°- 6x

Επειδή $\angle ZEC=\angle ZCE \Rightarrow 3x=90°-6x \Rightarrow \boxed{x=10°}$

$\left(\boxed{\widehat{A} =20°},\ \boxed{\widehat{B}=80°},\ \widehat{C}=90°-4\cdot 10°+90°-6\cdot 10°\Rightarrow \boxed{\widehat{C}=80°} \right)$

edit: Εκ των υστέρων είδα ότι είναι ίδια σχεδόν λύση με του θεματαθέτη:

Δημήτρης Μυρογιάννης έγραψε:
έχω (μία) λύση την οποία (αν χρειαστεί) θα περάσω και εδώ.

Την αφήνω, όχι τόσο για τον κόπο, αλλά επειδή δεν μπορώ ή δεν ξέρω να την διαγράψω. Μένει το σχέδιο...

thanasis.a · #4

Δημήτρης Μυρογιάννης έγραψε:Έστω τρίγωνο με τη γωνία του .

Επί της λαμβάνουμε σημείο τέτοιο ώστε οι γωνίες να έχουν μέτρο αντίστοιχα.

Αν ισχύει επίσης ότι , βρείτε την τιμή του .

Στόχος: περισσότερες της μίας λύσεις... έχω (μία) λύση την οποία (αν χρειαστεί) θα περάσω και εδώ.

Το συνημμένο ΓΕΩΜΕΤΡΕΙΝ 99.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο

: draw1.png (31.78 KiB) Προβλήθηκε 1079 φορές

..καλό μεσημέρι..

έστω $E\in BC:AB$ διχοτόμος της $\hat{CAE}$ . Επίσης έστω $F\in AC:BF$ διχοτόμος της $\hat{CBA}$ . Εύκολα φαίνεται λοιπόν ότι:

$\hat{BAE}=2x,\,\,\,\,\hat{CBF}=4x,\,\,\,\hat{DBF}=3x,\,\,\,\,\hat{FDB}=3x$ . Βλέπουμε λοιπόν ότι: $\displaystyle\bigtriangleup FCB\approx \bigtriangleup ACE\Rightarrow \frac{FB}{AE}=\frac{FC}{CE}=\frac{CB}{AC},\,\,\,(1)$

Από θ. διχοτόμου στο $\displaystyle\bigtriangleup ACE:\frac{AC}{AE}=\frac{CB}{BE}\,\,\,(2)$ . Από (1),(2) έχουμε: $FB=BE\,\,\,(3)$

Κατά συνέπεια $\displaystyle\hat{BEF}=\hat{BFE}=\frac{\hat{CBF}}{2}=2x$ \displaystyle{\Rightarrow \hat{FEA}=6x-2x=4x} $\Rightarrow FE=AF=AD+DF=CB+BE=CE$

$\Rightarrow \hat{FCE}=\hat{CFE}=6x+2x=8x$ . Τελειώνοντας στο $\bigtriangleup ABC\Rightarrow \hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^{\circ} \Rightarrow 2x+8x+8x=180^{\circ} \Rightarrow ....\boxed{x=10^{\circ} }$

#5

Δημήτρης Μυρογιάννης έγραψε:Έστω τρίγωνο με τη γωνία του .

Επί της λαμβάνουμε σημείο τέτοιο ώστε οι γωνίες να έχουν μέτρο αντίστοιχα.

Αν ισχύει επίσης ότι , βρείτε την τιμή του .

Στόχος: περισσότερες της μίας λύσεις... έχω (μία) λύση την οποία (αν χρειαστεί) θα περάσω και εδώ.

Το συνημμένο ΓΕΩΜΕΤΡΕΙΝ 99.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο

Καλησπέρα.
Κάτι παρόμοιο με του Ευθύμη.

: Γεωμετρείν 99.png (18.3 KiB) Προβλήθηκε 1032 φορές

Έστω

σημείο της

ώστε

.
$\displaystyle{D\widehat EA = E\widehat DB + x \Leftrightarrow E\widehat DB = x \Leftrightarrow EB = ED = d}$
Η μεσοκάθετη της

τέμνει την

στο

. Οπότε είναι DH=HB

και η

είναι διχοτόμος της $\hat{DHB}$ και επειδή η

είναι διχοτόμος του τριγώνου ABC

, θα διχοτομεί και τη γωνία $\hat{EHC}$ .

Άρα: $\displaystyle{D\widehat HE = E\widehat HB = B\widehat HC = 6x \Leftrightarrow 18x = {180^0} \Leftrightarrow }$ $\boxed{x=10^0}$

Δημήτρης Μυρογιάννης · #6

thanasis.a έγραψε: ..καλό μεσημέρι..

έστω $E\in BC:AB$ διχοτόμος της $\hat{CAE}$ . Επίσης έστω $F\in AC:BF$ διχοτόμος της $\hat{CBA}$ ....

Θανάση τώρα μελέτησα τη λύση σου. Εντυπωσιακή... και νομίζω ότι δεν υπερβάλλω.

Γεωμετρείν 99

Γεωμετρείν 99

Re: Γεωμετρείν 99

Re: Γεωμετρείν 99

Re: Γεωμετρείν 99

Re: Γεωμετρείν 99

Re: Γεωμετρείν 99

Μέλη σε σύνδεση