σχέσεις εμβαδών

[mondo]

windows screenshot

Στο παραπάνω σχήμα έχω καταφέρει να δείξω ότι [ΑΟΠ]+[ΔΒΗ]+[ΙΓΡ]=3[ΑΒΓ] (1)
Έπειτα προσπάθησα να βρω τα εμβαδά τραπεζίων αλλά σταμάτησα αφού πρώτα θα πρέπει να δείξω ότι όντως είναι τραπέζια.
Γνωρίζω ότι πάντα υπάρχει κάποια σχέση ανάμεσα στο άθροισμα των εξωτερικών εμβαδών και του τριγώνου ΑΒΓ. Όπως στη σχέση (1)
Φαντάζομαι πως η διαδικασία μπορεί να συνεχιστεί έτσι ώστε να φτάσουμε στο σημείο να βρούμε κάποιο τύπο που να συνδέει τα προαναφερθέντα εμβαδά.
Έχω κάνει χρήση του τύπου του Ήρωνα και του νόμου συνημιτόνων για τρίγωνα για τη σχέση (1).Θα εκτιμούσα οποιαδήποτε βοήθεια σε αυτήν την αναζήτηση.Απολογούμαι για το πρόχειρο του σχήματος
Μια πρόχειρη σημείωση:το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο τρίγωνο,τα υπόλοιπα είναι τετράγωνα

[george visvikis]

Τι ζητάμε;

[mondo]

Τι ζητάμε;

1.Το πως αποδεικνύω ότι τα ΕΔΟΞ κτλπ είναι τραπέζια
2.Τη σχέση μεταξύ του αθροίσματος των εμβαδών αυτών των τραπεζίων με το εμβαδό του ΑΒΓ
3.Αν συνεχίσουμε να παραθέτουμε τετράγωνα(πχ το επόμενο βήμα στο σχήμα είναι τετράγωνα στις πλευρές ΞΕ,ΝΜ,ΛΖ) και ενώνουμε τις διαδοχικές τους ακμές τότε έχουμε επιπλέον τραπέζια των οποίων το άθροισμα των εμβαδών τους πιθανόν να έχει σχέση με το εμβαδόν του ΑΒΓ.Οπότε και θα μπορέσουμε να βρούμε μία ακολουθία ή κάποιο τύπο για τη σχέση του εμβαδού ΑΒΓ και του αθροίσματος των εμβαδων των τριγώνων(στο πρωτο βημα έχουμε ότι είναι ίσο με 3[ΑΒΓ]) η των τραπεζίων σε κάθε επόμενο βήμα.