Ισότητα γωνιών

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλή Κυριακή σε όλους.

: Ισότητα γωνιών.PNG (7.9 KiB) Προβλήθηκε 1347 φορές

Στο τρίγωνο ABC

το

είναι ύψος με . Έστω M,N

τα μέσα των BC,AD

αντιστοίχως.

Η μεσοκάθετος του

τέμνει την

στο

. Να δειχθεί ότι $B\widehat{H}D=\widehat{C}$ . Ευχαριστώ , Γιώργος.

Δεκτή κάθε λύση , ακόμη και με ύλη Γυμνασίου!

angvl · #2

: isothtagvnivn.png (144.13 KiB) Προβλήθηκε 1294 φορές

Καλησπέρα. Μία λύση εκτός φακέλου με αναλυτική.

Εστω τρίγωνο $\displaystyle \triangle ABC$ με $\displaystyle A(6,0) , B(-2,0) , C(4,0)$ οπως στο παραπάνω σχήμα. Αρα $\displaystyle M(1,0)$ , $\displaystyle N(0,3)$ και

μέσο

αρα $\displaystyle F(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$

$\displaystyle \lambda_{MN} = \frac{3-0}{0-1} = -3 \wedge MN \perp HE \Rightarrow \lambda_{HE} = \frac{1}{3}$ αρα η

θα έχει τύπο

$\displaystyle HE : y - \frac{3}{2} = \frac{1}{3}(x-\frac{1}{2}) \Rightarrow y = \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$ οπότε για x= 0

το σημείο

θα έχει συν/νες $\displaystyle H(0,\frac{4}{3})$ . Συνεπώς

$\displaystyle \tan \theta =\frac{BD}{HD} = \frac{2}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{2} \wedge \tan \phi = \frac{AD}{CD} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \Rightarrow \theta = \phi$

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 29, 2019 12:55 am
Καλή Κυριακή σε όλους.
Ισότητα γωνιών.PNG
Στο τρίγωνο το είναι ύψος με . Έστω τα μέσα των αντιστοίχως.

Η μεσοκάθετος του τέμνει την στο . Να δειχθεί ότι $B\widehat{H}D=\widehat{C}$ . Ευχαριστώ , Γιώργος.

Δεκτή κάθε λύση , ακόμη και με ύλη Γυμνασίου!

Καλησπέρα σε όλους!

: Ισότητα γωνιών.Μ.png (10.4 KiB) Προβλήθηκε 1270 φορές

$\displaystyle HM = HN = ND - HD = \frac{a}{2} - HD$ και από θεώρημα διαμέσων στο BHC:

$\displaystyle B{H^2} + H{C^2} = 2{\left( {\frac{a}{2} - HD} \right)^2} + \frac{{{a^2}}}{2} \Leftrightarrow B{D^2} + H{D^2} + D{C^2} + H{D^2} = {a^2} - 2aHD + 2H{D^2} \Leftrightarrow$

$\displaystyle B{D^2} + D{C^2} + 2aHD = {a^2} = {(BD + DC)^2} \Leftrightarrow aHD = BD \cdot DC \Leftrightarrow \frac{{HD}}{{BD}} = \frac{{DC}}{{AD}}$

Άρα τα τρίγωνα BHD, CAD

είναι όμοια και το ζητούμενο έπεται.

#4

Και μία μόνο με ύλη Γ Γυμνασίου. Κρατάω το $\displaystyle HM = \frac{a}{2} - HD$ και εφαρμόζω Π. Θ στο HDM:

$\displaystyle {\left( {\frac{a}{2} - HD} \right)^2} = H{D^2} + {\left( {\frac{a}{2} - BD} \right)^2} \Leftrightarrow - aHD = - aBD + B{D^2} \Leftrightarrow aHD = BD \cdot DC,$ κλπ, όπως πριν.

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλή εβδομάδα σε όλους! Να ευχαριστήσω τον αγαπητό angvl για την ενασχόλησή του με το θέμα. Νομίζω όμως ότι πρέπει

να το αντιμετωπίσουμε και με τον λόγο $\dfrac{DC}{BD}$ ως τυχαίο-μεταβλητό... εδώ στη λύση είναι σταθερός (ως δοσμένη σχέση) : $\dfrac{DC}{BD}=2$ ...

Ένα ακόμη ευχαριστώ στον Γιώργο- ένα κατ' εξοχήν Σ.β.ρ. Γ.μ (*)- για τις ωραίες και εδώ επεμβάσεις του!

Να τονίσω πως ισοδύναμο ζητούμενο είναι: Να αποδειχθεί η καθετότητα των

και

..

(*) Εννοώ βεβαίως..

..Σοβαρό Γεωμέτρη!! Φιλικά πάντοτε, Γιώργος.

#6

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 30, 2019 12:47 am
Καλή εβδομάδα σε όλους!
Να τονίσω πως ισοδύναμο ζητούμενο είναι: Να αποδειχθεί η καθετότητα των και ..

Φιλικά πάντοτε, Γιώργος.

Καλή εβδομάδα!

Η πρώτη μου σκέψη ήταν να αποδείξω ότι το

είναι το ορθόκεντρο. Έχει ήδη αποδειχθεί ότι $AD\cdot HD=aHD=BD\cdot DC.$

: Ισότητα γωνιών.Μβ.png (15.28 KiB) Προβλήθηκε 1214 φορές

Έστω ότι το ύψος

επανατέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο

$BD\cdot DC=AD\cdot DE \Leftrightarrow AD\cdot HD=AD\cdot DE \Leftrightarrow HD=DE,$ που αποδεικνύει το ζητούμενο.

#7

Η άσκηση έχει κι άλλη φορά ανεβεί στο

Όμως δεν είμαι ο ειδήμων για να βρω πότε κι από ποιόν. Μια λύση τότε ήταν αυτή του Γιώργου Βισβίκη , αμέσως πιο πάνω.

Ισότητα γωνιών

Ισότητα γωνιών

Re: Ισότητα γωνιών

Re: Ισότητα γωνιών

Re: Ισότητα γωνιών

Re: Ισότητα γωνιών

Re: Ισότητα γωνιών

Re: Ισότητα γωνιών

Μέλη σε σύνδεση