Εύρεση γωνιών

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαιρετώ.
Για την δημιουργία του παρόντος , αφορμή κι΄ αιτία είναι το θέμα τούτο

: 3-8 Εύρεση γωνιών.png (15.63 KiB) Προβλήθηκε 249 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει

\widehat A=96^o

και η

διχοτόμος του. Τα $M \in AB$ και $N \in AC$ ώστε

MN \parallel BC

Το

F \in MN

ώστε

FN=NC=\lambda BM

. Η

τέμνει την

στο

.

Αν ισχύουν :

MN=\left ( \lambda +2 \right )BM

και

LC=\left ( \lambda -1 \right )BC

τότε : Να βρεθούν οι γωνίες και του τριγώνου

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Δευ Αύγ 03, 2026 7:47 pm Χαιρετώ.
Για την δημιουργία του παρόντος , αφορμή κι΄ αιτία είναι το θέμα τούτο

3-8 Εύρεση γωνιών.png
Το τρίγωνο έχει $\widehat A=96^o$ και η διχοτόμος του. Τα $M \in AB$ και $N \in AC$ ώστε $MN \parallel BC$

Το $F \in MN$ ώστε $FN=NC=\lambda BM$ . Η τέμνει την στο .

Αν ισχύουν : $MN=\left ( \lambda +2 \right )BM$ και $LC=\left ( \lambda -1 \right )BC$ τότε : Να βρεθούν οι γωνίες και του τριγώνου

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Θέτω

MB=x

και λόγω της διχοτόμου είναι MP=x.

Επειδή όμως

MN=(\lambda+2)x

και

FN=CN=\lambda x,

θα είναι και

PF=x.

Αλλά,

LC=(\lambda -1)a,

άρα

BL=(2-\lambda)a.

: Εύρεση γωνιών.ΓΜ.png (17.85 KiB) Προβλήθηκε 163 φορές

MN||BC \Leftrightarrow \dfrac{{PF}}{{FN}} = \dfrac{{BL}}{{LC}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{\lambda } = \dfrac{{2 - \lambda }}{{\lambda - 1}} \Leftrightarrow

\boxed{\lambda=\frac{\sqrt 5+1}{2}=\Phi}

Νόμος ημιτόνων στο ABC:

\dfrac{b}{c} = \dfrac{{\sin B}}{{\sin C}} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 5 + 1}}{2} = \dfrac{{\sin (84^\circ - C)}}{{\sin C}} \Leftrightarrow 2\sin 54^\circ \sin C = \sin (84^\circ - C) \Leftrightarrow

2\sin (84^\circ - 30^\circ )\sin C = \sin (84^\circ - C) \Leftrightarrow \sin 84^\circ \sqrt 3 \sin C = \sin 84^\circ \cos C \Leftrightarrow

\tan C = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow

$\boxed{\widehat C=30^\circ}$ και

\boxed{\widehat B=54^\circ}

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλό μήνα σε όλους!

Γιώργο , με την συμπλήρωση χρόνων παρουσίας και ..πασίδηλης προσφοράς σου στο
σου εύχομαι να είσαι υγιής και παραγωγικός δρέποντας πάντοτε την ικανοποίηση της κάθε προσπάθειας ..

Στο παρόν θέμα μετά την απόδειξη ότι

\lambda=\Phi

, ας δούμε και την ακόλουθη συνέχεια:

Έχουμε

\dfrac {sinB}{sinC}=\dfrac {NC}{BM}=\Phi=\dfrac {sin54^o}{sin30^o}

και

\widehat B+\widehat C =84^ο

οπότε από το Γνωστό λήμμα προκύπτει

\widehat B=54^o

και $\widehat C=30^o$ .

#4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Κυρ Νοέμ 01, 2026 8:14 am Γιώργο , με την συμπλήρωση χρόνων παρουσίας και ..πασίδηλης προσφοράς σου στο
σου εύχομαι να είσαι υγιής και παραγωγικός δρέποντας πάντοτε την ικανοποίηση της κάθε προσπάθειας ..

.
Επικροτώ και επαυξάνω.

#5

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Κυρ Νοέμ 01, 2026 8:14 am Καλό μήνα σε όλους!

Γιώργο , με την συμπλήρωση χρόνων παρουσίας και ..πασίδηλης προσφοράς σου στο
σου εύχομαι να είσαι υγιής και παραγωγικός δρέποντας πάντοτε την ικανοποίηση της κάθε προσπάθειας ..

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Νοέμ 01, 2026 8:29 am
Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Κυρ Νοέμ 01, 2026 8:14 am Γιώργο , με την συμπλήρωση χρόνων παρουσίας και ..πασίδηλης προσφοράς σου στο
σου εύχομαι να είσαι υγιής και παραγωγικός δρέποντας πάντοτε την ικανοποίηση της κάθε προσπάθειας ..
.
Επικροτώ και επαυξάνω.

Καλημέρα και Καλό μήνα σε όλους!

Σας ευχαριστώ πολύ για τα καλά σας λόγια και ανταποδίδω τις ευχές!

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Κυρ Νοέμ 01, 2026 8:14 am Στο παρόν θέμα μετά την απόδειξη ότι $\lambda=\Phi$ , ας δούμε και την ακόλουθη συνέχεια:

Έχουμε $\dfrac {sinB}{sinC}=\dfrac {NC}{BM}=\Phi=\dfrac {sin54^o}{sin30^o}$ και $\widehat B+\widehat C =84^ο$

οπότε από το Γνωστό λήμμα προκύπτει $\widehat B=54^o$ και $\widehat C=30^o$ .

Το είχα ξεχάσει τελείως το λήμμα

Εύρεση γωνιών

Εύρεση γωνιών

Re: Εύρεση γωνιών

Re: Εύρεση γωνιών

Re: Εύρεση γωνιών

Re: Εύρεση γωνιών

Μέλη σε σύνδεση