ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΜΑ+2ΜΒ

#1

Τα σημεία Α και Β, κείνται εκατέρωθεν ευθείας ε. Να προσδιορίστεί το σημείο Μ της ευθείας ε για το οποίο το άθροισμα ΜΑ+2ΜΒ γίνεται ελάχιστο.

#2

Αν απαντήσουμε στο παραπάνω ερώτημα, θα έχουμε βρεί και την απάντηση στοviewtopic.php?f=50&t=7866

mixtzo · #3

Αγαπητέ rek2

Το πρόβλημά σου προέρχεται από την αρχή του Fermat, η οποία λέει
ότι "το φλως διαδίδεται από ένα σημείο σ' ένα άλλο ακολουθώντας
μια τροχιά, που για να τη διανύσει ο χρόνος που χρειάζεται είναι
ελάχιστος".

: fig1.jpg (21.51 KiB) Προβλήθηκε 1429 φορές

Όταν λοιπόν το φως ακολουθεί τη διαδρομή ΑΟΒ και στο πρώτο μέσο
η ταχύτητα είναι u1 (=1/2) ενώ στο δεύτερο μέσο είναι u2 (=1),
τότε ισχύει ο νόμος της διάθλασης, γνωστός ως νόμος του Snell,
δηλαδή ο λόγος των ταχυτήτων είναι ίσος με το λόγο των ημιτόνων
των γωνιών πρόσπτωσης και διάθλασης.

Περισσότερα κάποιος μπορεί να διαβάσει στο:
"G.B. Tomas and R.L. Finney, Απειροστικός Λογισμός,
Τόμος Α', Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης, 1993", σελ. 162-164.

Μιας και μιλάμε για βιβλία, κάντε μια προσπάθεια ώστε να αρχίσουν
να εμπλουτίζονται οι Βιβλιοθήκες των Σχολείων μας, από τη σχολική
επιτροπή (το κόστος είναι γενικά μικρό, αν κάθε χρόνο βάζουμε σ'
αυτή 1-2 βιβλία), με κλασσικά βιβλία, όπως είναι το παραπάνω ή
το αντίστοιχο του Michael Spivak κλπ.

Φιλικά

Μιχάλης Τζούμας

#4

Για τους μαθητές της Γ Λυκείου κοιτάξτε και εδώ 9Β3 σελίδα 145-146

Μάκης Χατζόπουλος · #5

mixtzo έγραψε:Αγαπητέ rek2

Το πρόβλημά σου προέρχεται από την αρχή του Fermat, η οποία λέει
ότι "το φλως διαδίδεται από ένα σημείο σ' ένα άλλο ακολουθώντας
μια τροχιά, που για να τη διανύσει ο χρόνος που χρειάζεται είναι
ελάχιστος".
fig1.jpg
Όταν λοιπόν το φως ακολουθεί τη διαδρομή ΑΟΒ και στο πρώτο μέσο
η ταχύτητα είναι u1 (=1/2) ενώ στο δεύτερο μέσο είναι u2 (=1),
τότε ισχύει ο νόμος της διάθλασης, γνωστός ως νόμος του Snell,
δηλαδή ο λόγος των ταχυτήτων είναι ίσος με το λόγο των ημιτόνων
των γωνιών πρόσπτωσης και διάθλασης.

Περισσότερα κάποιος μπορεί να διαβάσει στο:
"G.B. Tomas and R.L. Finney, Απειροστικός Λογισμός,
Τόμος Α', Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης, 1993", σελ. 162-164.

Μιας και μιλάμε για βιβλία, κάντε μια προσπάθεια ώστε να αρχίσουν
να εμπλουτίζονται οι Βιβλιοθήκες των Σχολείων μας, από τη σχολική
επιτροπή (το κόστος είναι γενικά μικρό, αν κάθε χρόνο βάζουμε σ'
αυτή 1-2 βιβλία), με κλασσικά βιβλία, όπως είναι το παραπάνω ή
το αντίστοιχο του Michael Spivak κλπ.

Φιλικά

Μιχάλης Τζούμας

Έχω την εντύπωση ότι αυτά διδάσκονται στους μαθητές της Γ Γυμνασίου στην φυσική, στο κεφάλαιο Κύματα...

#6

Για το όμορφο αυτό πρόβλημα, μία γραφική ( προσεγγιστική ) λύση μπόρεσα μόνο να σκεφτώ.

$\bullet$ Για κάθε σημείο

επί της δοσμένης ευθείας (e),

το συμμετρικό του $K^{\prime}$ ως προς το δοσμένο σημείο

ανήκει στην ευθεία (f),

συμμετρική της (e)

ως προς το

Αν τώρα με κέντρο το

και ακτίνα $KK^{\prime}$ γράψουμε το τόξο του κύκλου (K)

που τέμνει την ευθεία AK,

στο σημείο έστω $K^{\prime}^{\prime},$ ισχύει προφανώς $AK^{\prime}^{\prime} = AK + 2KB$ ,(1)

όπου

είναι το άλλο δοσμένο επίσης σημείο.

Καθώς το

διατρέχει την ευθεία (e),

το $K^{\prime}^{\prime}$ διαγράφει μία ασυνήθιστη καμπύλη (g)

και το πρόβλημα ανάγεται στον προσδιορισμό του σημείου $M^{\prime}^{\prime}$ επί της (g)

, το οποίο να απέχει από το

την ελάχιστη δυνατή απόσταση.

$\bullet$ Μακάρι να μπορούσα να εκφράσω αλγεβρικά την καμπύλη (g)

και να προσδιορίσω επί αυτής το σημείο $M^{\prime}^{\prime}$ , ώστε να είναι $AM^{\prime}^{\prime} = min$ .

Κώστας Βήττας.

#7

Μια προσέγγιση εντελώς εκτός ύλης (μιας και είμαστε στην Β΄ Λυκείου) με απειροστικό λογισμό:

Ας δούμε ένα κάπως πιο γενικό πρόβλημα ζητώντας το

ώστε το άθροισμα pMA+qMB

να είναι ελάχιστο ( p,q

σταθεροί). Θεωρούμε στις προεκτάσεις των

,

τα σημεία $A_{1},B_{1}$ έτσι ώστε
$MA_{1}=pMA,MB_{1}=pMB$ . Προφανώς τα $A_{1},B_{1}$ θα ανήκουν σε σταθερές ευθείες $\zeta ,\eta$ παραλληλες της $\varepsilon$ .

: minl.png (8.63 KiB) Προβλήθηκε 1248 φορές

Το πρόβλημα μας ανάγεται στο ακόλουθο:
Να βρεθεί η θέση του

ώστε το $MA_{1}+MB_{1}$ να είναι ελάχιστο.
Φέρνουμε τις κατάλληλες προβολές (βλέπε σχήμα) και ονομάζουμε
$AA_{2}=a,A_{1}A_{3}=a^{\prime }$
$BB_{2}=b,B_{1}B_{3}=b^{\prime }$
σημειώνουμε με

το μέσο του $A_{2}B_{2}$ και θέτουμε $A_{2}B_{2}=2r,M\Gamma =x$
Eίναι
$MA=\sqrt{\left( x-r\right) ^{2}+a^{2}}$
$MB=\sqrt{\left( x+r\right) ^{2}+b^{2}}$
$MA_{1}=\frac{a^{\prime }}{a}\sqrt{\left( x-r\right) ^{2}+a^{2}}$

$MB_{1}=\frac{b^{\prime }}{b}\sqrt{\left( x+r\right) ^{2}+b^{2}}$
Επομένως
$MA_{1}+MB_{1}=\frac{a^{\prime }}{a}\sqrt{\left( x-r\right) ^{2}+a^{2}}+\frac{b^{\prime }}{b}\sqrt{\left( x+r\right) ^{2}+b^{2}}$
Ζητάμε το ελάχιστο της
$f\left( x\right) =\frac{a^{\prime }}{a}\sqrt{\left( x-r\right) ^{2}+a^{2}}+\frac{b^{\prime }}{b}\sqrt{\left( x+r\right) ^{2}+b^{2}}$ ορισμένη στο $\mathbb{R}$ (αρνητικές τιμές του

σημαίνουν ότι το

βρίσκεται προς το άλλο μέρος του $\Gamma$ )

Οι συναρτήσεις
$\frac{a^{\prime }}{a}\sqrt{\left( x-r\right) ^{2}+a^{2}}$
και
$\frac{b^{\prime }}{b}\sqrt{\left( x+r\right) ^{2}+b^{2}}$
είναι γνησίως φθίνουσες στα $\left( -\infty ,r\right) ,\left( -\infty ,-r\right)$ και γνησίως αύξουσες στα $\left( r,+\infty \right) ,\left( -r,+\infty \right)$ και επομένως η f(x)

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\left( -\infty ,-r\right)$ και γνησίως αύξουσα στο $\left( r,+\infty \right)$
Στο [-r,r]

ως συνεχής θα παρουσιάζει ελάχιστο που θα είναι η ελάχιστη τιμή της f(x)

και θα είναι ρίζα της παραγώγου της.
Μάλιστα επειδή οι $\frac{a^{\prime }}{a}\sqrt{\left( x-r\right) ^{2}+a^{2}},\frac{b^{\prime }}{b}\sqrt{\left( x+r\right) ^{2}+b^{2}}$
είναι κυρτές το αυτό θα ισχύει και για το άθροισμα τους. Επομένως η παράγωγος της f(x)

είναι γνησίως αύξουσα και η f(x)

θα έχει μόνο μία θέση ελαχίστου.
Επομένως αρκεί να βρούμε τις ρίζες της παραγώγου της f(x)

και με δοκιμές να βρούμε ποια μας οδηγεί σε ελάχιστη τιμή. Οι ρίζες της
$f^{\prime }\left( x\right) =\allowbreak \frac{1}{2b}\frac{b^{\prime }}{\sqrt{\left( r+x\right) ^{2}+b^{2}}}\left( 2r+2x\right) -\frac{1}{2a}\frac{a^{\prime }}{\sqrt{\left( r-x\right) ^{2}+a^{2}}}\allowbreak \left( 2r-2x\right)$ είναι ρίζες της τεταρτοβάθμιας εξίσωσης
$px^{4}+q\allowbreak x^{2}+sx+t\allowbreak =0$ όπου
$p=a^{2}(b^{\prime })^{2}-b^{2}(a^{\prime })^{2}$
$q=(b^{\prime })^{2}-2a^{2}r^{2}(b^{\prime })^{2}-b^{4}(a^{\prime })^{2}+2b^{2}r^{2}(a^{\prime })^{2}$
$s=2ra^{4}(b^{\prime })^{2}+2rb^{4}(a^{\prime })^{2}$
$t=a^{4}r^{2}(b^{\prime })^{2}+a^{2}r^{4}(b^{\prime })^{2}-b^{4}r^{2}(a^{\prime })^{2}-b^{2}r^{4}(a^{\prime })^{2}$
Οι ρίζες αυτές τυπικά βρίσκονται (μια κουβέντα είναι βέβαια) με τον τρόπο του Ferrari.
Δυστυχώς δεν έχω καλλίτερη λύση και θα χαρώ να δω κάποια.
Μαυρογιάννης

ΥΓ Προσπάθησα και εγώ όπως ο Κώστας Βήττας να δουλέψω με γεωμετρικούς τόπους. Εκτός από την δική του προσέγγιση δοκίμασα κατασκευάζοντας ένα τρίγωνο με μία σταθερή πλευρά και τις άλλες δύο ίσες με $MA_{1},,MB_{1}$ και να αναζητήσω το ελάχιστο άθροισμα τους. Τα παράτησα όμως γιατί ο τόπος ήταν κάπως έτσι:

: minl1.png (10.52 KiB) Προβλήθηκε 1248 φορές

ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΜΑ+2ΜΒ

ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΜΑ+2ΜΒ

Re: ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΜΑ+2ΜΒ

Re: ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΜΑ+2ΜΒ

Re: ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΜΑ+2ΜΒ

Re: ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΜΑ+2ΜΒ

Re: ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΜΑ+2ΜΒ

Re: ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΜΑ+2ΜΒ

Μέλη σε σύνδεση