Άσκηση σε ύλη συμπλήρωσης Α΄ Λυκείου

#1

Προτείνω την παρακάτω άσκηση στους συναδέλφους που διδάσκουν Γεωμετρία Β΄ Λυκείου και τέτοια εποχή συμπληρώνουν τις ενότητες που δεν διδάχτηκαν στην Α΄Λυκείου και δεν θέλουν απλά να διεκπεραιώνουν την "υποχρέωση" να βγουν γρήγορα-γρήγορα τα κεφάλαια 6, 7 και 8, για να μπουν στην ύλη της Β΄ Λυκείου.

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούμε σημείο Δ της υποτείνουσας ΒΓ τέτοιο ώστε ΓΔ = ΑΒ. Να δείξετε ότι στο τρίγωνο ΑΒΔ η διάμεσος από το Α, η διχοτόμος από το Β και το ύψος από το Δ συντρέχουν.

Πιθανόν να έχει ξανασυζητηθεί.
Μετά την ενασχόλησή σας, θα παραθέσω την πηγή και λίγες πληροφορίες ακόμα.

Γιώργος Ρίζος

#2

Γιώργο γειά σου. Δεν ξέρω τί ακριβώς θέλεις να συζητηθεί αλλά έτσι για να ανοίξω την κουβέντα σου στέλνω μια λύση:
Στο ορθογώνιο σχήμα(συνημμένο αρχείο) είναι ΓΔ=ΑΒ και ακόμα: η ΔΕ είναι ύψος, η ΑΖ διάμεσος και η ΒΘ διχοτόμος. Ζητείται να δειχθεί ότι οι ευθείες αυτές συντρέχουν.
Χρησιμοποιούμε το Θεώρημα του Ceva. Αρκεί λοιπόν να δειχθεί:
$\left(\frac{\Delta Z}{ZB} \right)\left(\frac{BE}{EA} \right)\left(\frac{A\Theta }{\Theta \Delta } \right)=1\Leftrightarrow \left(\frac{BE}{EA} \right)=\left(\frac{\Theta \Delta }{A\Theta } \right)$ (1)
Όμως: $\frac{\Theta \Delta }{A\Theta }= \frac{\Delta B}{BA}$ (2)
Αρκεί λοιπόν να είναι:
$\frac{BE}{EA}=\frac{\Delta B}{BA}\Leftrightarrow \frac{BE}{BE+EA}=\frac{\Delta B}{\Delta B+BA}\Leftrightarrow \frac{BE}{AB}=\frac{\Delta B}{B\Gamma }$ το οποίο ισχύει.

Συντρέχουσες ευθείες.fig: (2.64 KiB) Μεταφορτώθηκε 193 φορές

Κώστας

Ιστοσελίδα · #3

Καλημέρα.
Άλλη μια λύση στην όμορφη άσκηση του Γιώργου.

Από νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα ΑΕΔ, ΑΒΕ και ΑΒΔ έχω: $\displaystyle\frac{{\eta \mu \widehat {{\rm A}1}}}{{\eta \mu \widehat {{\rm A}2}}} = \displaystyle\frac{{\eta \mu \widehat \Delta }}{{\eta \mu \widehat {\rm B}}} = \displaystyle\frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm A}\Delta }}\,\,\,(1)$
Στα ορθογώνια τρίγωνα ΔΒΗ και ΔΑΗ ισχύει: $\eta \mu \widehat {\Delta 1} = \displaystyle\frac{{{\rm H}{\rm B}}}{{{\rm B}\Delta }}$ και $\eta \mu \widehat {\Delta 2} = \displaystyle\frac{{{\rm H}{\rm A}}}{{{\rm A}\Delta }}$ , οπότε: $\displaystyle\frac{{\eta \mu \widehat {\Delta 1}}}{{\eta \mu \widehat {\Delta 2}}} = \displaystyle\frac{{{\rm H}{\rm B} \cdot {\rm A}\Delta }}{{{\rm H}{\rm A} \cdot {\rm B}\Delta }}$
και από Θεώρημα Θαλή (ΔΗ//ΑΓ) και εκφώνηση θα έχω: $\displaystyle\frac{{\eta \mu \widehat {\Delta 1}}}{{\eta \mu \widehat {\Delta 2}}} = \displaystyle\frac{{{\rm B}\Delta \cdot {\rm A}\Delta }}{{\Delta \Gamma \cdot {\rm B}\Delta }} = \displaystyle\frac{{{\rm A}\Delta }}{{{\rm A}{\rm B}}}\,\,\,(2)$
Από τις σχέσεις (1), (2) και από τη διχοτόμο ΒΖ ισχύει στο τρίγωνο ΑΒΔ το αντίστροφο του τριγωνομετρικού θεωρήματος Ceva, επομένως η διάμεσος από το Α, η διχοτόμος από το Β και το ύψος από το Δ συντρέχουν.

: sintrexouses.jpg (56.76 KiB) Προβλήθηκε 4679 φορές

hsiodos · #4

Μια λύση ακόμα στην άσκηση που πρότεινε ο Γιώργος.

Έστω ΑΖ διχότόμος και ΔΕ ύψος στο τρίγωνο ΒΑΔ με Κ το σημείο τομής τους. Η ΑΚ τέμνει την ΒΔ στο Θ. Θα δείξουμε ότι το Θ είναι το μέσο του ΒΔ .

Παίρνουμε $\displaystyle{ {\rm K}{\rm M} = {\rm K}\Delta \,\,\,(1)}$

Επειδή $\displaystyle{ {\rm E}\Delta //{\rm A}\Gamma \Rightarrow \,\,\frac{{{\rm E}{\rm B}}}{{{\rm E}{\rm A}}} = \frac{{{\rm B}\Delta }}{{\Gamma \Delta }}\,\,\,\,(2)\,\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\frac{{{\rm B}\Delta }}{{{\rm B}{\rm E}}} = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{{{\rm B}{\rm A}}} \Rightarrow \,\frac{{{\rm B}\Delta }}{{{\rm B}{\rm E}}} = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{{\Delta \Gamma }}\,\,\,\,(3)}$

Στο τρίγωνο ΒΕΔ η ΑΚ είναι διχοτόμος και από το αντίστοιχο θεώρημα έχουμε:

$\displaystyle{ \frac{{{\rm K}\Delta }}{{{\rm K}{\rm E}}} = \frac{{{\rm B}\Delta }}{{{\rm B}{\rm E}}}\mathop \Rightarrow \limits^{(1),(3)} \,\,\,\frac{{{\rm K}{\rm M}}}{{{\rm K}{\rm E}}} = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{{\Delta \Gamma }} \Rightarrow \frac{{{\rm K}{\rm M} - {\rm K}{\rm E}}}{{{\rm K}{\rm E}}} = \frac{{{\rm B}\Gamma - \Delta \Gamma }}{{\Delta \Gamma }} \Rightarrow \frac{{{\rm M}{\rm E}}}{{{\rm K}{\rm E}}} = \frac{{\Delta {\rm B}}}{{\Delta \Gamma }}\mathop \Rightarrow \limits^{(2)} \,\,\,\frac{{{\rm M}{\rm E}}}{{{\rm K}{\rm E}}} = \frac{{{\rm E}{\rm B}}}{{{\rm E}{\rm A}}} \Rightarrow {\rm M}{\rm B}//{\rm A}{\rm K}}$

Τώρα στο τρίγωνο ΜΒΔ είναι Κ το μέσο της πλευράς ΜΔ και ΚΘ//ΜΒ άρα το Θ είναι το μέσο του ΒΔ .

Γιώργος

: Rigio.png (13.04 KiB) Προβλήθηκε 4591 φορές

#5

Κατ' αρχήν να καλωσορίσω κι εγώ τον αγαπητό Κώστα Δόρτσιο, σχολικό Σύμβουλο Μαθηματικών από τα Γρεβενά.
Ενδιαφέροντα κείμενα του Κώστα θα βρείτε στην ιστοσελίδα του παραρτήματος KOZANHΣ της EME.
Και μια διαφορετική πλευρά του ταλέντου του Κώστα εδώ!

Ευχαριστώ για την ενασχόλησή σας και τις νέες διαστάσεις που δώσατε στην όμορφη άσκηση (που δεν ήταν... του Γιώργου). Ήταν από το βιβλίο: Η διδακτική της Ευκλείδειας Γεωμετρίας των Γιάννη Θωμαΐδη και Ανδρέα Πούλου . Ένα βιβλίο πολύτιμος βοηθός για τη σωστή διδασκαλία της Γεωμετρίας σε Α΄ και Β΄ Λυκείου, αλλά χρήσιμο και σε κάθε μαθητή που θέλει κάτι παραπάνω: (Ιστορικές αναφορές, σχολιασμούς γνωστών προτάσεων κ.α. καθώς και πλουσιότατες βιβλιογραφικές αναφορές).

Ήθελα απλά να δώσω ένα συνδυαστικό θέμα (Θ. Διχοτόμων και Θ. Θαλή), γιατί με στεναχωρεί η απαξίωση αυτών των θεμάτων που "χάνονται" στο στρίμωγμα της ύλης μεταξύ Α΄ και Β΄ Λυκείου. Με χαρά είδα τις προεκτάσεις που δώσατε. Φαντάζομαι με την ίδια χαρά θα τις δουν και οι συγγραφείς του βιβλίου.

Χρησιμοποιώ το σχήμα που ο Μιχάλης σχεδίασε (μάλλον στο παρκέ του δωματίου του

)

: 16-10-2010 Geometry.png (256.72 KiB) Προβλήθηκε 4500 φορές

Έστω ΑΕ διάμεσος και ΒΖ διχοτόμος στο ΑΒΔ, που τέμνονται στο Θ. Φέρνουμε τη ΔΘ. Η προέκτασή της τέμνει την ΑΒ στο Η.
Στο τρίγωνο ΒΕΑ από Θ. Διχοτόμων είναι $\displaystyle \frac{{{\rm E}\Theta }}{{\Theta {\rm A}}} = \frac{{{\rm B}{\rm E}}}{{{\rm B}{\rm A}}} = \frac{{\frac{{\alpha - \gamma }}{2}}}{\gamma } = \frac{{{\rm E}\Delta }}{{\Delta \Gamma }}$ .

Οπότε, από αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή είναι: ΔΘ // ΑΓ άρα ΔΗ ύψος στο ΑΔΒ.

Γιώργος Ρίζος

Και μια προέκταση, αφιερωμένη στον Νίκο Κυριαζή:

Σε χρυσό(*) ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γων.Α = 1 ορθή και ΑΓ > ΑΒ), έστω ΑΔ το ύψος του στην υποτείνουσα ΒΓ. Να δείξετε ότι στο τρίγωνο ΑΒΔ η διάμεσος από το Α, η διχοτόμος από το Β και το ύψος από το Δ συντρέχουν.

(*) Αν κάποιος δεν έχει παρακολουθήσει το σχετικό θέμα, ας δει εδώ.

Α.Κυριακόπουλος · #6

KDORTSI έγραψε:Γιώργο γειά σου. Δεν ξέρω τί ακριβώς θέλεις να συζητηθεί αλλά έτσι για να ανοίξω την κουβέντα σου στέλνω μια λύση:
Στο ορθογώνιο σχήμα(συνημμένο αρχείο) είναι ΓΔ=ΑΒ και ακόμα: η ΔΕ είναι ύψος, η ΑΖ διάμεσος και η ΒΘ διχοτόμος. Ζητείται να δειχθεί ότι οι ευθείες αυτές συντρέχουν.
Χρησιμοποιούμε το Θεώρημα του Ceva. Αρκεί λοιπόν να δειχθεί:
$\left(\frac{\Delta Z}{ZB} \right)\left(\frac{BE}{EA} \right)\left(\frac{A\Theta }{\Theta \Delta } \right)=1\Leftrightarrow \left(\frac{BE}{EA} \right)=\left(\frac{\Theta \Delta }{A\Theta } \right)$ (1)
Όμως: $\frac{\Theta \Delta }{A\Theta }= \frac{\Delta B}{BA}$ (2)
Αρκεί λοιπόν να είναι:
$\frac{BE}{EA}=\frac{\Delta B}{BA}\Leftrightarrow \frac{BE}{BE+EA}=\frac{\Delta B}{\Delta B+BA}\Leftrightarrow \frac{BE}{AB}=\frac{\Delta B}{B\Gamma }$ το οποίο ισχύει.
Συντρέχουσες ευθείες.fig
Κώστας

Αγαπητέ Κώστα.
Ξεκινάς ωραία την απόδειξη και λες: « Αρκεί να αποδείξουμε ότι:…». Θα περίμενε κανένας, όπως είναι το σωστό, να συνεχίσεις και να τελειώσεις με αυτό που ξεκίνησες, δηλαδή με το «αρκεί» (φθάνοντας σε μια αληθή πρόταση). Εσύ όμως συνεχίζεις με ισοδυναμίες, Μετά ξαναλές «αρκεί» και μετά πάλι με ισοδυναμίες!!!
Θα μου επιτρέψεις να σου πω ότι στη λύση σου, από τις ισοδυναμίες που γράφεις χρειάζονται, μόνον οι αριστερές συνεπαγωγές,( $\displaystyle{ \Leftarrow }$ , δηλαδή το « αρκεί»). Οι δεξιά συνεπαγωγές ( $\displaystyle{ \Rightarrow }$ ) δεν έχουν καμία σχέση με την απόδειξη που κάνεις. Αν τις έχεις γράψει μόνο και μόνο επειδή ισχύουν, τότε θα έπρεπε να γράψεις και το θεώρημα του Πυθαγόρα ( και όχι μόνο), γιατί η σχέση του με την απόδειξη που κάνεις δεν διαφέρει από εκείνη των δεξιά συνεπαγωγών( και στις δύο περιπτώσεις ισχύουν, αλλά δεν χρησιμοποιούνται στην απόδειξη). Βλ. και εδώ:
viewtopic.php?f=67&t=1492 ,παράγραφος 2,4, σελ.5.

Φιλικά.

#7

Αγαπητέ Αντώνη γεια σου.
Χαίρομαι που διάβασες τη λύση που έστειλα στην άσκηση του Γιώργου και ευχαριστώ για τις παρατηρήσεις σου. Θα πρέπει να πω ότι διάβασα την εργασία στην οποία παραπέμπεις όπου ασχολείσαι με ένα τόσο σοβαρό θέμα που άπτεται των μαθηματικών και μάλιστα του τρόπου διδαχής στα δημόσια σχολεία και όχι μόνον.
Γνωρίζεις πως στα σχολεία η χρήση των μαθηματικών συμβόλων έχει περιοριστεί τις τελευταίες δεκαετίες. Η εποχή που δουλεύαμε στα λεγόμενα «Πρακτικά»(1) με αυξημένες προσδοκίες έχει δώσει τη θέση της στη σημερινή κατάσταση. Δε θα τοποθετηθώ, είναι μεγάλο θέμα. Εκείνο πάντως που μου έμεινε ως ανάμνηση από την εποχή εκείνη είναι ένας σχολαστικισμός και ένας φορμαλισμός που ήθελε καλά «μυημένους» τους ασχολούμενους μ’ αυτά. Εξάλλου η αποδεικτική μέθοδος είναι από τις πλέον δύσκολες ενασχολήσεις του ανθρώπου.(2)
Ειδικότερα για την άσκηση που έστειλα μπορώ να πω ότι έστειλα μια ιδέα γραμμένη πρόχειρα και με σύντομη διατύπωση. Οι τρεις ισοδυναμίες εξάλλου που χρησιμοποιώ δηλώνουν κάτι που συνήθως γίνεται, δηλαδή «ανάλυση» και στη συνέχεια «σύνθεση». Συμφωνώ μαζί σας ότι μια συνθετική επεξεργασία θα ήταν εκείνη που θα είχε ανάγκη μόνον «συνεπαγωγές», όμως πολλές φορές δημιουργεί στον αναγνώστη και κυρίως στο μαθητή δυσκολίες στην κατανόηση και την εκλαμβάνει ως αυθαίρετη.
Αν θεωρείς πλεονασμό τις τρεις ισοδυναμίες μου τότε τι θα έλεγες για πολλούς άλλους που χρησιμοποιούμε όλοι μας ηθελημένα ή άθελα. Για παράδειγμα στη εκφώνηση του θεωρήματος της Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού που στην υπόθεσή του λέμε για τη συνάρτηση f ότι αν είναι:
• συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β]
• παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α,β)
τότε κλπ…
αφού εκεί όπου είναι παραγωγίσιμη θα είναι και συνεχής;(κλπ)
Πάντως να πω και κάτι ακόμα: μου αρέσει ο διάλογος γιατί ο διάλογος οδηγεί "στην αλήθεια εκείνη που πλέον δεν θίγει και προάγει τη γνώση και την επιστήμη". Η άσκηση του Γιώργου μας έδωσε μια τέτοια ευκαιρία.

Φιλικά Κώστας.

(1) Μαθηματικά Δ΄Γυμνασίου(Θετικής Κατ/νσης) τόμος πρώτος. Θ. Βαβαλέτσκου- Γ. Μπούσγου. Κεφ. Ι Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής. ΟΕΔΒ 1971
(2) Αριστοτέλης: "Πρῶτον εἰπεῖν περί καί τίνος ἐστίν ἡ σκέψις ὅτι περί ἀπόδειξιν καί ἐπιστήμης ἀποδεικτικῆς". Αναλυτικά Πρότερα 24a

#8

Rigio έγραψε:Κατ' αρχήν να καλωσορίσω κι εγώ τον αγαπητό Κώστα Δόρτσιο, σχολικό Σύμβουλο Μαθηματικών από τα Γρεβενά.
Ενδιαφέροντα κείμενα του Κώστα θα βρείτε στην ιστοσελίδα του παραρτήματος KOZANHΣ της EME.
Και μια διαφορετική πλευρά του ταλέντου του Κώστα εδώ!

Ευχαριστώ για την ενασχόλησή σας και τις νέες διαστάσεις που δώσατε στην όμορφη άσκηση (που δεν ήταν... του Γιώργου). Ήταν από το βιβλίο: Η διδακτική της Ευκλείδειας Γεωμετρίας των Γιάννη Θωμαΐδη και Ανδρέα Πούλου . Ένα βιβλίο πολύτιμος βοηθός για τη σωστή διδασκαλία της Γεωμετρίας σε Α΄ και Β΄ Λυκείου, αλλά χρήσιμο και σε κάθε μαθητή που θέλει κάτι παραπάνω: (Ιστορικές αναφορές, σχολιασμούς γνωστών προτάσεων κ.α. καθώς και πλουσιότατες βιβλιογραφικές αναφορές).

Ήθελα απλά να δώσω ένα συνδυαστικό θέμα (Θ. Διχοτόμων και Θ. Θαλή), γιατί με στεναχωρεί η απαξίωση αυτών των θεμάτων που "χάνονται" στο στρίμωγμα της ύλης μεταξύ Α΄ και Β΄ Λυκείου. Με χαρά είδα τις προεκτάσεις που δώσατε. Φαντάζομαι με την ίδια χαρά θα τις δουν και οι συγγραφείς του βιβλίου.

Χρησιμοποιώ το σχήμα που ο Μιχάλης σχεδίασε (μάλλον στο παρκέ του δωματίου του )
16-10-2010 Geometry.png
Έστω ΑΕ διάμεσος και ΒΖ διχοτόμος στο ΑΒΔ, που τέμνονται στο Θ. Φέρνουμε τη ΔΘ. Η προέκτασή της τέμνει την ΑΒ στο Η.
Στο τρίγωνο ΒΕΑ από Θ. Διχοτόμων είναι $\displaystyle \frac{{{\rm E}\Theta }}{{\Theta {\rm A}}} = \frac{{{\rm B}{\rm E}}}{{{\rm B}{\rm A}}} = \frac{{\frac{{\alpha - \gamma }}{2}}}{\gamma } = \frac{{{\rm E}\Delta }}{{\Delta \Gamma }}$ .

Οπότε, από αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή είναι: ΔΘ // ΑΓ άρα ΔΗ ύψος στο ΑΔΒ.

Γιώργος Ρίζος

Και μια προέκταση, αφιερωμένη στον Νίκο Κυριαζή:

Σε χρυσό(*) ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γων.Α = 1 ορθή και ΑΓ > ΑΒ), έστω ΑΔ το ύψος του στην υποτείνουσα ΒΓ. Να δείξετε ότι στο τρίγωνο ΑΒΔ η διάμεσος από το Α, η διχοτόμος από το Β και το ύψος από το Δ συντρέχουν.

(*) Αν κάποιος δεν έχει παρακολουθήσει το σχετικό θέμα, ας δει εδώ.

Φίλε Γιώργο,
Σε ευχαριστώ πολύ για την αφιέρωση σε μένα της παραπάνω άσκησής σου.
Στο βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», υπάρχουν πολλές σχετικές Προτάσεις, που έχω κατασκευάσει με τα αντίστροφά τους, επεκτάσεις, γενικεύσεις και κατασκευές, όπως π.χ. τις Προτάσεις 7ι(40)-7ι(46), 7ι(134), 9ι(126), 9ι(177), κτλ., πολλές από τις οποίες έχω αναρτήσει σε διάφορες διευθύνσεις του mathematica.gr.
Μια απόδειξη της παραπάνω άσκησής σου είναι και η παρακάτω, που βασίζεται στην Πρότασή μου 7ι(134) και είναι απλή εφαρμογή της Πρότασής μου 7ι(41):

«Επειδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι χρυσό, χρυσό θα είναι και το όμοιό του τρίγωνο ΔΒΑ [Λήμμα 1, Πρόταση 7ι(134)], οπότε σύμφωνα με το Κριτήριο 5 [Πρόταση 7ι(41)], θα αληθεύει η άσκησή σου».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Α.Κυριακόπουλος · #9

KDORTSI έγραψε:Αγαπητέ Αντώνη γεια σου.
Χαίρομαι που διάβασες τη λύση που έστειλα στην άσκηση του Γιώργου και ευχαριστώ για τις παρατηρήσεις σου. Θα πρέπει να πω ότι διάβασα την εργασία στην οποία παραπέμπεις όπου ασχολείσαι με ένα τόσο σοβαρό θέμα που άπτεται των μαθηματικών και μάλιστα του τρόπου διδαχής στα δημόσια σχολεία και όχι μόνον.

Αγαπητέ Κώστα.
• Η έκφραση «άπτεται των μαθηματικών» νομίζω ότι είναι ατυχής. Και δεν πρόκειται για τα «δημόσια σχολεία και όχι μόνο», όπως γράφεις. Αλλά για τα ίδια τα μαθηματικά . Γιατί αυτά που γράφω εκεί είναι η καρδιά των μαθηματικών.
• Για σκέψου, σε όλα τα μαθηματικά από το δημοτικό μέχρι το Πανεπιστήμιο και πέρα από αυτό, τι ζητάμε κάθε φορά; Ή να αποδείξουμε μια πρόταση ή να βρούμε ένα μαθηματικό αντικείμενο (αριθμό, διάνυσμα, συνάρτηση κτλ.). Αλίμονο αν δεν ξέρουμε τι είναι απόδειξη και κάθε φορά πώς θα εργαστούμε.
• Αυτά δεν είναι ανάγκη να είναι γραμμένα σε κανένα σχολικό βιβλίο. Εμείς οι δάσκαλοι πρέπει να κατέχουμε πλήρως, οπότε θα τα περάσουμε εύκολα και στους μαθητές μας.

KDORTSI έγραψε:Γνωρίζεις πως στα σχολεία η χρήση των μαθηματικών συμβόλων έχει περιοριστεί τις τελευταίες δεκαετίες. Η εποχή που δουλεύαμε στα λεγόμενα «Πρακτικά»(1) με αυξημένες προσδοκίες έχει δώσει τη θέση της στη σημερινή κατάσταση. Δε θα τοποθετηθώ, είναι μεγάλο θέμα. Εκείνο πάντως που μου έμεινε ως ανάμνηση από την εποχή εκείνη είναι ένας σχολαστικισμός και ένας φορμαλισμός που ήθελε καλά «μυημένους» τους ασχολούμενους μ’ αυτά. Εξάλλου η αποδεικτική μέθοδος είναι από τις πλέον δύσκολες ενασχολήσεις του ανθρώπου.(2)

• Δεν μιλάμε για τα σύμβολα. Τα σύμβολα τα χρησιμοποιούμε για να διευκολυνθούμε στην σαφή διατύπωση των μαθηματικών εννοιών. Αν θέλουμε δεν τα χρησιμοποιούμε. Αλλά τις ίδιες τις έννοιες δεν μπορούμε να τις βγάλουμε από τα μαθηματικά. Γιατί, τότε, αυτό που θα μείνει δεν θα είναι μαθηματικά.
• Επειδή το σχολικό βιβλίο δεν χρησιμοποιεί ,για παράδειγμα ,το συμβόλαιο του « για κάθε», δυστυχώς, μερικοί συνάδελφοί νομίζουν ότι, έχουν βγάλει από τα μαθηματικά την έννοια του «για κάθε»!!! Τα μαθηματικά είναι αυτό που είναι και οι έννοιες τους δεν μπαίνουν και βγαίνουν με διαταγές!!!
• Η Μαθηματική Λογική που πρέπει να ξέρει ένας μαθηματικός δεν είναι αυτή που είχε κάποτε ένα σχολικό βιβλίο της Δ΄ Γυμνασίου ή της Α΄ τάξης του Λυκείου. Ούτε φυσικά αυτά που γράφουν τώρα στο αναμορφωμένο βιβλίο της τάξης αυτής. Η Μαθηματική Λογική δεν είναι η «συνεπαγωγή» και η «ισοδυναμία», όπως νομίζουν μερικοί. Αυτά είναι μόνο τα αρχικά. Είναι όπως στην Άλγεβρα οι πράξεις μεταξύ των αριθμών. Η ουσία είναι παρακάτω. Επειδή για το θέμα αυτό έχω γράψει πάρα πολλές φορές, δεν θα ήθελα να επανέλθω. Σε παραπέμπω όμως εδώ: viewtopic.php?f=29&t=9695
• Θα μου επιτρέψεις να σου πω ότι αυτά δεν είναι φορμαλισμός, όπως λες. Πρόκειται για δύο-τρία σύμβολα, τα οποία μας διευκολύνουν στην σαφή διατύπωση των μαθηματικών εννοιών, όπως είπα και παραπάνω. Αν κάποιος θέλει να μάθει τι είναι φορμαλισμός ας ανοίξει ένα βιβλίο των BOURBAKI. Εξάλλου η γνώμη μου είναι ότι «ο φορμαλισμός απευθύνεται στις μηχανές και όχι στους ανθρώπους». Εκείνο που λέω εγώ είναι ότι στα μαθηματικά πρώτα εμείς οι δάσκαλοι πρέπει να σκεφτόμαστε αυστηρά με τους νόμους της Μαθηματικής Λογικής, γιατί έτσι μόνο τα μαθηματικά γίνονται απλούστερα και κατανοούνται καλύτερα από τους μαθητές.
• Η αποδεικτική μέθοδος, όταν δεν την έχουμε διδάξει σωστά στους μαθητές, όχι σαν ξεχωριστό μάθημα, αλλά μέσω των αποδείξεων των θεωρημάτων και των ασκήσεων (με τον τρόπο μας) και βέβαια είναι πολύ δύσκολη υπόθεση.

KDORTSI έγραψε:Ειδικότερα για την άσκηση που έστειλα μπορώ να πω ότι έστειλα μια ιδέα γραμμένη πρόχειρα και με σύντομη διατύπωση. Οι τρεις ισοδυναμίες εξάλλου που χρησιμοποιώ δηλώνουν κάτι που συνήθως γίνεται, δηλαδή «ανάλυση» και στη συνέχεια «σύνθεση». Συμφωνώ μαζί σας ότι μια συνθετική επεξεργασία θα ήταν εκείνη που θα είχε ανάγκη μόνον «συνεπαγωγές», όμως πολλές φορές δημιουργεί στον αναγνώστη και κυρίως στο μαθητή δυσκολίες στην κατανόηση και την εκλαμβάνει ως αυθαίρετη.

• Εδώ δεν πρόκειται για «ανάλυση» και «σύνθεση». Πρόκειται για τον τρόπο απόδειξη μιας πρότασης. Αν τα έχουμε διδάξει σωστά, ούτε δύσκολα στην κατανόηση είναι, ούτε θα τα εκλαμβάνουν ως αυθαίρετα.

KDORTSI έγραψε:Αν θεωρείς πλεονασμό τις τρεις ισοδυναμίες μου τότε τι θα έλεγες για πολλούς άλλους που χρησιμοποιούμε όλοι μας ηθελημένα ή άθελα. Για παράδειγμα στη εκφώνηση του θεωρήματος της Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού που στην υπόθεσή του λέμε για τη συνάρτηση f ότι αν είναι:
• συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β]
• παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α,β)
τότε κλπ…
αφού εκεί όπου είναι παραγωγίσιμη θα είναι και συνεχής;(κλπ)

• Θα μου επιτρέψει να σου πω ότι το παράδειγμά σου είναι και πάλι ατυχές, γιατί εδώ δεν πρόκειται για απόδειξη πρότασης. Πρόειται για διατύπωση πρότασης. Εξάλλου, το παραπάνω θεώρημα αν το διατυπώσουμε διαφορετικά, αλλά σωστά θα πούμε πολύ περισσότερα λόγια. Στην απόδειξη όμως, που συζητάμε, με τις ισοδυναμίες, διπλασιάζουμε την εργασία. Το σπουδαιότερο όμως είναι, αν κάποια από τις συνεπαγωγές, από τα αριστερά προς τα δεξιά, δεν ισχύει και τον μαθητή τον έχουμε συνηθίσει να εργάζεται με ισοδυναμίες, τι θα γίνει; Δεν θα κάνει την απόδειξη, γιατί δεν θα ισχύει κάτι που δεν του χρειάζεται στην απόδειξη αυτή. Δεν είναι κρίμα!!!

KDORTSI έγραψε:Πάντως να πω και κάτι ακόμα: μου αρέσει ο διάλογος γιατί ο διάλογος οδηγεί "στην αλήθεια εκείνη που πλέον δεν θίγει και προάγει τη γνώση και την επιστήμη". Η άσκηση του Γιώργου μας έδωσε μια τέτοια ευκαιρία.
Φιλικά Κώστας.
(1) Μαθηματικά Δ΄Γυμνασίου(Θετικής Κατ/νσης) τόμος πρώτος. Θ. Βαβαλέτσκου- Γ. Μπούσγου. Κεφ. Ι Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής. ΟΕΔΒ 1971
(2) Αριστοτέλης: "Πρῶτον εἰπεῖν περί καί τίνος ἐστίν ἡ σκέψις ὅτι περί ἀπόδειξιν καί ἐπιστήμης ἀποδεικτικῆς". Αναλυτικά Πρότερα 24a

• Επειδή σου αρέσει ο διάλογος, όπως λες, γι' αυτό και σου απαντώ.
• Καμιά αλήθεια δεν θίγει και ιδιαίτερα στα μαθηματικά.
• Η ηθική των μαθηματικών είναι η αλήθεια.
Φιλικά.

lonis · #10

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:
KDORTSI έγραψε:Αγαπητέ Αντώνη γεια σου.
Χαίρομαι που διάβασες τη λύση που έστειλα στην άσκηση του Γιώργου και ευχαριστώ για τις παρατηρήσεις σου. Θα πρέπει να πω ότι διάβασα την εργασία στην οποία παραπέμπεις όπου ασχολείσαι με ένα τόσο σοβαρό θέμα που άπτεται των μαθηματικών και μάλιστα του τρόπου διδαχής στα δημόσια σχολεία και όχι μόνον.
Αγαπητέ Κώστα.
• Η έκφραση «άπτεται των μαθηματικών» νομίζω ότι είναι ατυχής. Και δεν πρόκειται για τα «δημόσια σχολεία και όχι μόνο», όπως γράφεις. Αλλά για τα ίδια τα μαθηματικά . Γιατί αυτά που γράφω εκεί είναι η καρδιά των μαθηματικών.
• Για σκέψου, σε όλα τα μαθηματικά από το δημοτικό μέχρι το Πανεπιστήμιο και πέρα από αυτό, τι ζητάμε κάθε φορά; Ή να αποδείξουμε μια πρόταση ή να βρούμε ένα μαθηματικό αντικείμενο (αριθμό, διάνυσμα, συνάρτηση κτλ.). Αλίμονο αν δεν ξέρουμε τι είναι απόδειξη και κάθε φορά πώς θα εργαστούμε.
• Αυτά δεν είναι ανάγκη να είναι γραμμένα σε κανένα σχολικό βιβλίο. Εμείς οι δάσκαλοι πρέπει να κατέχουμε πλήρως, οπότε θα τα περάσουμε εύκολα και στους μαθητές μας.
KDORTSI έγραψε:Γνωρίζεις πως στα σχολεία η χρήση των μαθηματικών συμβόλων έχει περιοριστεί τις τελευταίες δεκαετίες. Η εποχή που δουλεύαμε στα λεγόμενα «Πρακτικά»(1) με αυξημένες προσδοκίες έχει δώσει τη θέση της στη σημερινή κατάσταση. Δε θα τοποθετηθώ, είναι μεγάλο θέμα. Εκείνο πάντως που μου έμεινε ως ανάμνηση από την εποχή εκείνη είναι ένας σχολαστικισμός και ένας φορμαλισμός που ήθελε καλά «μυημένους» τους ασχολούμενους μ’ αυτά. Εξάλλου η αποδεικτική μέθοδος είναι από τις πλέον δύσκολες ενασχολήσεις του ανθρώπου.(2)
• Δεν μιλάμε για τα σύμβολα. Τα σύμβολα τα χρησιμοποιούμε για να διευκολυνθούμε στην σαφή διατύπωση των μαθηματικών εννοιών. Αν θέλουμε δεν τα χρησιμοποιούμε. Αλλά τις ίδιες τις έννοιες δεν μπορούμε να τις βγάλουμε από τα μαθηματικά. Γιατί, τότε, αυτό που θα μείνει δεν θα είναι μαθηματικά.
• Επειδή το σχολικό βιβλίο δεν χρησιμοποιεί ,για παράδειγμα ,το συμβόλαιο του « για κάθε», δυστυχώς, μερικοί συνάδελφοί νομίζουν ότι, έχουν βγάλει από τα μαθηματικά την έννοια του «για κάθε»!!! Τα μαθηματικά είναι αυτό που είναι και οι έννοιες τους δεν μπαίνουν και βγαίνουν με διαταγές!!!
• Η Μαθηματική Λογική που πρέπει να ξέρει ένας μαθηματικός δεν είναι αυτή που είχε κάποτε ένα σχολικό βιβλίο της Δ΄ Γυμνασίου ή της Α΄ τάξης του Λυκείου. Ούτε φυσικά αυτά που γράφουν τώρα στο αναμορφωμένο βιβλίο της τάξης αυτής. Η Μαθηματική Λογική δεν είναι η «συνεπαγωγή» και η «ισοδυναμία», όπως νομίζουν μερικοί. Αυτά είναι μόνο τα αρχικά. Είναι όπως στην Άλγεβρα οι πράξεις μεταξύ των αριθμών. Η ουσία είναι παρακάτω. Επειδή για το θέμα αυτό έχω γράψει πάρα πολλές φορές, δεν θα ήθελα να επανέλθω. Σε παραπέμπω όμως εδώ: viewtopic.php?f=29&t=9695
• Θα μου επιτρέψεις να σου πω ότι αυτά δεν είναι φορμαλισμός, όπως λες. Πρόκειται για δύο-τρία σύμβολα, τα οποία μας διευκολύνουν στην σαφή διατύπωση των μαθηματικών εννοιών, όπως είπα και παραπάνω. Αν κάποιος θέλει να μάθει τι είναι φορμαλισμός ας ανοίξει ένα βιβλίο των BOURBAKI. Εξάλλου η γνώμη μου είναι ότι «ο φορμαλισμός απευθύνεται στις μηχανές και όχι στους ανθρώπους». Εκείνο που λέω εγώ είναι ότι στα μαθηματικά πρώτα εμείς οι δάσκαλοι πρέπει να σκεφτόμαστε αυστηρά με τους νόμους της Μαθηματικής Λογικής, γιατί έτσι μόνο τα μαθηματικά γίνονται απλούστερα και κατανοούνται καλύτερα από τους μαθητές.
• Η αποδεικτική μέθοδος, όταν δεν την έχουμε διδάξει σωστά στους μαθητές, όχι σαν ξεχωριστό μάθημα, αλλά μέσω των αποδείξεων των θεωρημάτων και των ασκήσεων (με τον τρόπο μας) και βέβαια είναι πολύ δύσκολη υπόθεση.
KDORTSI έγραψε:Ειδικότερα για την άσκηση που έστειλα μπορώ να πω ότι έστειλα μια ιδέα γραμμένη πρόχειρα και με σύντομη διατύπωση. Οι τρεις ισοδυναμίες εξάλλου που χρησιμοποιώ δηλώνουν κάτι που συνήθως γίνεται, δηλαδή «ανάλυση» και στη συνέχεια «σύνθεση». Συμφωνώ μαζί σας ότι μια συνθετική επεξεργασία θα ήταν εκείνη που θα είχε ανάγκη μόνον «συνεπαγωγές», όμως πολλές φορές δημιουργεί στον αναγνώστη και κυρίως στο μαθητή δυσκολίες στην κατανόηση και την εκλαμβάνει ως αυθαίρετη.
• Εδώ δεν πρόκειται για «ανάλυση» και «σύνθεση». Πρόκειται για τον τρόπο απόδειξη μιας πρότασης. Αν τα έχουμε διδάξει σωστά, ούτε δύσκολα στην κατανόηση είναι, ούτε θα τα εκλαμβάνουν ως αυθαίρετα.
KDORTSI έγραψε:Αν θεωρείς πλεονασμό τις τρεις ισοδυναμίες μου τότε τι θα έλεγες για πολλούς άλλους που χρησιμοποιούμε όλοι μας ηθελημένα ή άθελα. Για παράδειγμα στη εκφώνηση του θεωρήματος της Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού που στην υπόθεσή του λέμε για τη συνάρτηση f ότι αν είναι:
• συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β]
• παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α,β)
τότε κλπ…
αφού εκεί όπου είναι παραγωγίσιμη θα είναι και συνεχής;(κλπ)
• Θα μου επιτρέψει να σου πω ότι το παράδειγμά σου είναι και πάλι ατυχές, γιατί εδώ δεν πρόκειται για απόδειξη πρότασης. Πρόειται για διατύπωση πρότασης. Εξάλλου, το παραπάνω θεώρημα αν το διατυπώσουμε διαφορετικά, αλλά σωστά θα πούμε πολύ περισσότερα λόγια. Στην απόδειξη όμως, που συζητάμε, με τις ισοδυναμίες, διπλασιάζουμε την εργασία. Το σπουδαιότερο όμως είναι, αν κάποια από τις συνεπαγωγές, από τα αριστερά προς τα δεξιά, δεν ισχύει και τον μαθητή τον έχουμε συνηθίσει να εργάζεται με ισοδυναμίες, τι θα γίνει; Δεν θα κάνει την απόδειξη, γιατί δεν θα ισχύει κάτι που δεν του χρειάζεται στην απόδειξη αυτή. Δεν είναι κρίμα!!!
KDORTSI έγραψε:Πάντως να πω και κάτι ακόμα: μου αρέσει ο διάλογος γιατί ο διάλογος οδηγεί "στην αλήθεια εκείνη που πλέον δεν θίγει και προάγει τη γνώση και την επιστήμη". Η άσκηση του Γιώργου μας έδωσε μια τέτοια ευκαιρία.
Φιλικά Κώστας.
(1) Μαθηματικά Δ΄Γυμνασίου(Θετικής Κατ/νσης) τόμος πρώτος. Θ. Βαβαλέτσκου- Γ. Μπούσγου. Κεφ. Ι Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής. ΟΕΔΒ 1971
(2) Αριστοτέλης: "Πρῶτον εἰπεῖν περί καί τίνος ἐστίν ἡ σκέψις ὅτι περί ἀπόδειξιν καί ἐπιστήμης ἀποδεικτικῆς". Αναλυτικά Πρότερα 24a
• Επειδή σου αρέσει ο διάλογος, όπως λες, γι' αυτό και σου απαντώ.
• Καμιά αλήθεια δεν θίγει και ιδιαίτερα στα μαθηματικά.
• Η ηθική των μαθηματικών είναι η αλήθεια.
Φιλικά.

Αντώνη,

Σε Ευχαριστούμε που ακόμη μια φορά μας Διδσάσκεις εμάς τους Ταπεινούς να ξεχωρίζουμε την συνεπαγωγή από την ισοδυναμία. Αν κάποιοι από μας επιμένουμε να βάζουμε ισοδυναμία εκεί που θα αρκούσε η συνεπαγωγή, (παρά το ότι δεν υπάρχει κανένα μαθηματικό λάθος σε αυτή την ανόητη προσθήκη) συγχώρεσέ μας!

Πριν συνεχίσω, να θυμίσω το Πυθαγόρειο Θεώρημα: "Το τετράγωνο της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών".

Σε ευχαριστούμε, ώ Δάσκαλε, που βρήκες αφορμή τον Κύριο Κώστα Δόρτσιο, χρόνια μάχιμο δάσκαλο σε δημόσια σχολεία και επί σειρά ετών σχολικό σύμβουλο - "από τους καλούς" που λέμε στην πιάτσα - να μας επαναλάβεις για πολλοστή φορά τις απόψεις σου για τους νόμιμους τρόπους απόδειξης. Γιατί λέω "απόψεις"; Το συζητάμε άλλη φορά.

ΥΣΤΕΡΟΓΡΑΦΑ

1. Δεν είδα να απάντησες επαρκώς στους ισχυρισμούς του Κυρίου Δόρτσιου για το θεώρημα Μέσης Τιμής.
2. Τα "Αγαπητέ", να τα εννοούμε και καμιά φορά στις τόσες. Αλλιώς επιφέρουμε στην προσωπική και δημόσια ζωή μας μεγαλύτερο κακό απ ό,τι στα μαθηματικά.
3. Δεν ξέρω αν θεωρείς ότι με την "Μαθηματική Λογική" που επικαλείσαι, μας προσφέρεις έστω και ένα χιλιοστόγραμμο παραπάνω από τις γνώσεις που είχαν τα σχολικά βιβλία την δεκαετία του '70. Αν δεν υπάρχει πρόβλημα πνευματικών δικαιωμάτων, ευχαριστως να ανεβάσω μερικές σελίδες εδώ.

Λεωνίδας Θαρραλίδης

Α.Κυριακόπουλος · #11

lonis έγραψε:Αντώνη,
Σε Ευχαριστούμε που ακόμη μια φορά μας Διδσάσκεις εμάς τους Ταπεινούς να ξεχωρίζουμε την συνεπαγωγή από την ισοδυναμία. Αν κάποιοι από μας επιμένουμε να βάζουμε ισοδυναμία εκεί που θα αρκούσε η συνεπαγωγή, (παρά το ότι δεν υπάρχει κανένα μαθηματικό λάθος σε αυτή την ανόητη προσθήκη) συγχώρεσέ μας!
Πριν συνεχίσω, να θυμίσω το Πυθαγόρειο Θεώρημα: "Το τετράγωνο της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών".
Σε ευχαριστούμε, ώ Δάσκαλε, που βρήκες αφορμή τον Κύριο Κώστα Δόρτσιο, χρόνια μάχιμο δάσκαλο σε δημόσια σχολεία και επί σειρά ετών σχολικό σύμβουλο - "από τους καλούς" που λέμε στην πιάτσα - να μας επαναλάβεις για πολλοστή φορά τις απόψεις σου για τους νόμιμους τρόπους απόδειξης. Γιατί λέω "απόψεις"; Το συζητάμε άλλη φορά.

ΥΣΤΕΡΟΓΡΑΦΑ

1. Δεν είδα να απάντησες επαρκώς στους ισχυρισμούς του Κυρίου Δόρτσιου για το θεώρημα Μέσης Τιμής.
2. Τα "Αγαπητέ", να τα εννοούμε και καμιά φορά στις τόσες. Αλλιώς επιφέρουμε στην προσωπική και δημόσια ζωή μας μεγαλύτερο κακό απ ό,τι στα μαθηματικά.
3. Δεν ξέρω αν θεωρείς ότι με την "Μαθηματική Λογική" που επικαλείσαι, μας προσφέρεις έστω και ένα χιλιοστόγραμμο παραπάνω από τις γνώσεις που είχαν τα σχολικά βιβλία την δεκαετία του '70. Αν δεν υπάρχει πρόβλημα πνευματικών δικαιωμάτων, ευχαριστως να ανεβάσω μερικές σελίδες εδώ.
Λεωνίδας Θαρραλίδης

Λεωνίδα.
• Δεν ξέρω ποια είναι τα κίνητρα σου που απαντάς για λογαριασμό του κ. Κώστα Δόρτσιου. Για να το κάνεις όμως κάτι θα έχεις υπόψη σου. Δεν νομίζεις όμως ότι με το να απαντάς για λογαριασμό του, τον προσβάλλεις; Δηλαδή, δεν τον θεωρείς ικανό να απαντήσει σε αυτά που του έγραψα; Και που ξέρεις αν συμφωνεί με αυτά που του έγραψα . Εγώ πιστεύω ότι μπορεί να απαντήσει ο ίδιος και μάλιστα καλύτερα από τον καθέναν.
• Τον κ. Κώστα Δόρτσιο τον γνωρίζω από πολλά χρόνια. Τον εκτιμώ απεριόριστα σαν άνθρωπο, αλλά και σαν μαθηματικό. Γνωρίζω το έργο του και τον θαυμάζω. Αλλά, θα μου επιτρέψεις να σου πω ότι μπερδεύεις ορισμένα πράγματα. Δεν θα προχωρήσω άλλο, γιατί είναι η δεύτερη φορά που συμβαίνει αυτό.
• Αυτά που γράφεις τα αντιπαρέρχομαι ως ανάξια σχολιασμού. Το μόνο που θέλω να πω είναι ότι, επειδή τα μαθηματικά δεν είναι ιδιοκτησία κανενός, κάθε φορά που πέφτει στην αντίληψή μου κάτι που δεν είναι σωστό στα μαθηματικά , όποιος και αν το έχει γράψει, θα επεμβαίνω , όπως έκανα μέχρι τώρα. Και αν κάπου κάνω λάθος, γιατί κανένας δεν είναι αλάνθαστος, είμαι πρόθυμος να το παραδεχτώ. Και δεν θα με πείραζε καθόλου αν εσύ έβρισκες ευκαιρία, όπως τώρα, να γράψεις μερικές «κακιούλες». Οι συνάδελφοι δεν είναι ανόητοι. Καταλαβαίνουν.

mathxl · #12

[quote="Α.Κυριακόπουλος

KDORTSI έγραψε: • Θα μου επιτρέψει να σου πω ότι το παράδειγμά σου είναι και πάλι ατυχές, γιατί εδώ δεν πρόκειται για απόδειξη πρότασης. Πρόειται για διατύπωση πρότασης. Εξάλλου, το παραπάνω θεώρημα αν το διατυπώσουμε διαφορετικά, αλλά σωστά θα πούμε πολύ περισσότερα λόγια. .

Καλό μεσημέρι

Τελικά πως πρέπει να το διατυπώσουμε; Όπως αρκεί ή να κάνουμε οικονομία στα λόγια και ας διπλασιάζουμε την πληροφορία; Τι συμβαίνει τότε με την μαθηματική γλώσσα; δεν "φλυαρούμε"; Αυτό σημαίνει ότι δεν έχουμε κατανοήσει την έννοια της παραγωγισιμότητας σε ανοικτό διάστημα;

Κύριε Αντώνη οι περισσότερες παρεμβάσεις σου είναι εύστοχες και χρήσιμες, τούτη νομίζω πως όχι!

Με την σειρά μου ως ένα από τα διευθύνοντα μέλη, να καλωσορίσω τον κύριο Δόρτσιο.

Μαυροφρύδης Βασίλης

lonis · #13

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:
lonis έγραψε:Αντώνη,
Σε Ευχαριστούμε που ακόμη μια φορά μας Διδσάσκεις εμάς τους Ταπεινούς να ξεχωρίζουμε την συνεπαγωγή από την ισοδυναμία. Αν κάποιοι από μας επιμένουμε να βάζουμε ισοδυναμία εκεί που θα αρκούσε η συνεπαγωγή, (παρά το ότι δεν υπάρχει κανένα μαθηματικό λάθος σε αυτή την ανόητη προσθήκη) συγχώρεσέ μας!
Πριν συνεχίσω, να θυμίσω το Πυθαγόρειο Θεώρημα: "Το τετράγωνο της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών".
Σε ευχαριστούμε, ώ Δάσκαλε, που βρήκες αφορμή τον Κύριο Κώστα Δόρτσιο, χρόνια μάχιμο δάσκαλο σε δημόσια σχολεία και επί σειρά ετών σχολικό σύμβουλο - "από τους καλούς" που λέμε στην πιάτσα - να μας επαναλάβεις για πολλοστή φορά τις απόψεις σου για τους νόμιμους τρόπους απόδειξης. Γιατί λέω "απόψεις"; Το συζητάμε άλλη φορά.

ΥΣΤΕΡΟΓΡΑΦΑ

1. Δεν είδα να απάντησες επαρκώς στους ισχυρισμούς του Κυρίου Δόρτσιου για το θεώρημα Μέσης Τιμής.
2. Τα "Αγαπητέ", να τα εννοούμε και καμιά φορά στις τόσες. Αλλιώς επιφέρουμε στην προσωπική και δημόσια ζωή μας μεγαλύτερο κακό απ ό,τι στα μαθηματικά.
3. Δεν ξέρω αν θεωρείς ότι με την "Μαθηματική Λογική" που επικαλείσαι, μας προσφέρεις έστω και ένα χιλιοστόγραμμο παραπάνω από τις γνώσεις που είχαν τα σχολικά βιβλία την δεκαετία του '70. Αν δεν υπάρχει πρόβλημα πνευματικών δικαιωμάτων, ευχαριστως να ανεβάσω μερικές σελίδες εδώ.
Λεωνίδας Θαρραλίδης
Λεωνίδα.
• Δεν ξέρω ποια είναι τα κίνητρα σου που απαντάς για λογαριασμό του κ. Κώστα Δόρτσιου. Για να το κάνεις όμως κάτι θα έχεις υπόψη σου. Δεν νομίζεις όμως ότι με το να απαντάς για λογαριασμό του, τον προσβάλλεις; Δηλαδή, δεν τον θεωρείς ικανό να απαντήσει σε αυτά που του έγραψα; Και που ξέρεις αν συμφωνεί με αυτά που του έγραψα . Εγώ πιστεύω ότι μπορεί να απαντήσει ο ίδιος και μάλιστα καλύτερα από τον καθέναν.
• Τον κ. Κώστα Δόρτσιο τον γνωρίζω από πολλά χρόνια. Τον εκτιμώ απεριόριστα σαν άνθρωπο, αλλά και σαν μαθηματικό. Γνωρίζω το έργο του και τον θαυμάζω. Αλλά, θα μου επιτρέψεις να σου πω ότι μπερδεύεις ορισμένα πράγματα. Δεν θα προχωρήσω άλλο, γιατί είναι η δεύτερη φορά που συμβαίνει αυτό.
• Αυτά που γράφεις τα αντιπαρέρχομαι ως ανάξια σχολιασμού. Το μόνο που θέλω να πω είναι ότι, επειδή τα μαθηματικά δεν είναι ιδιοκτησία κανενός, κάθε φορά που πέφτει στην αντίληψή μου κάτι που δεν είναι σωστό στα μαθηματικά , όποιος και αν το έχει γράψει, θα επεμβαίνω , όπως έκανα μέχρι τώρα. Και αν κάπου κάνω λάθος, γιατί κανένας δεν είναι αλάνθαστος, είμαι πρόθυμος να το παραδεχτώ. Και δεν θα με πείραζε καθόλου αν εσύ έβρισκες ευκαιρία, όπως τώρα, να γράψεις μερικές «κακιούλες». Οι συνάδελφοι δεν είναι ανόητοι. Καταλαβαίνουν.

Αντώνη

Το κίνητρό μου να σου απαντήσω ήταν ένα: υπερασπίζομαι τους φίλους μου όταν δέχονται επιθέσεις και μάλιστα άδικες. Και τον κύριο Κώστα τον θεωρώ φίλο μου.

Ο Κώστας Δόρτσιος, λοιπόν, ήταν επί σειρά ετών σχολικός σύμβουλος Δυτικής Μακεδονίας (Κοζάνη, Καστοριά, Γρεβενά, Φλώρινα) και πρόεδρος του βαθμολογικού κέντρου Κοζάνης. Τον γνώρισα μέσα από αυτούς τους ρόλους του και τον εκτίμησα βαθύτατα. Άριστος μαθηματικός, με την περιέργεια νέου παιδιού, ακούραστος, βαθύτατα μορφωμένος (όχι μόνο στα μαθηματικά), υπομονετικός με τους συναδέλφους, άκρως διδακτικός στις παρεμβάσεις του, πρόθυμος να βοηθήσει, ενεργός, με πρωτοβουλίες κινητοποίησης των μαθηματικών του χώρου εποπτείας του να δημιουργήσουν και να παρουσιάζουν στους υπόλοιπους από μας τις εργασίες τους. Ως πρόεδρος του βαθμολογικού κέντρου είχε παρόμοια συμπεριφορά. Προσθέτω την ευαισθησία του να μας ωθεί να ανιχνεύσουμε θραύσματα ορθής μαθηματικής σκέψης στα γραπτά των μαθητών (προς βαθμολογικό όφελός τους, βέβαια) και την επιμονή του να αναζητεί διαφορετικές λύσεις πριν τη συζήτηση των βαθμολογητών. Ενδεικτικά: στο 3ο θέμα του 2006, βρεθήκαμε να συζητάμε 11 διαφορετικούς τρόπους λύσης!

Ως άνθρωπος είναι ιδιαίτερα ευαίσθητος, σεμνός και αθόρυβος (σταματάω την «αγιογραφία» γιατί ξέρω ότι ντρέπεται). Είναι τιμή για μένα να με θεωρεί φίλο του.

Είναι ο κύριος Κώστας που «ζωντάνεψε» ένα άρθρο μου πάνω στη σύγχυση φράγματος-ακροτάτου στα μέτρα μιγαδικών μέσα από τη δυναμική του Cabri. Παρουσιάσαμε την κοινή εργασία σε ημερίδες στη Βέροια, την Κοζάνη, τις Σέρρες και σε δύο καλοκαιρινά σχολεία στη Νάουσα, πέρσι και φέτος. Πάνω σε τέτοιες συναντήσεις μας, του μίλησα για το mathematica, προφανώς με κολακευτικά λόγια.

Φέτος το καλοκαίρι συνταξιοδοτήθηκε αλλά δεν παραιτήθηκε από τα μαθηματικά. Αποφάσισε να ασχοληθεί ενεργά μέσα από το forum αυτό, για το οποίο μου μίλησε με ενθουσιασμό. Το προηγούμενο δεκαήμερο μου τηλεφωνούσε δις ημερησίως για να του δώσω κάποιες τεχνικές λεπτομέρειες, όσες μπορούσα βέβαια.

Συνοπτικά: πρόκειται για έναν ποιοτικό, μορφωμένο και μερακλή άνθρωπο, που πολλά έχει να προσφέρει αλλά και να πάρει από δω. Και για του οποίου την «εμπλοκή» εδώ, αισθάνομαι συνυπεύθυνος.

Σε διαβάζω, λοιπόν, έκπληκτος να παραδίδεις μαθήματα μαθηματικής λογικής στον Κώστα Δόρτσιο, σα να απευθύνεσαι σε κανένα μαθητούδι ή νεόκοπο καθηγητή που μπήκε φορτσάτος να περιαυτολογήσει.

Και με τι αφορμή; Την τοποθέτηση του συμβόλου της ισοδυναμίας εκεί που αρκεί το «αρκεί». Επιμένεις – λανθασμένα - ότι είναι λάθος αυτό ενώ είναι απλά περιττό.

Και με ποια επιχειρήματα; Τα γνωστά και χιλιοειπωμένα που βρίσκονται σε πολλές συζητήσεις του forum. Υποψιάζομαι ότι έχεις ενεργοποιήσει κάποια συντόμευση, ώστε πατώντας πχ. Cntrl + p, να εμφανίζεται όλη η παράγραφος για τον Πυθαγόρα! Αλήθεια πιστεύεις ότι η διαρκής επανάληψη του ίδιου επιχειρήματος λειτουργεί προσθετικά στην υπεράσπιση της αλήθειας σου; Ξέρεις τι σκέφτονται οι συνάδελφοι (που «δεν είναι ανόητοι. Καταλαβαίνουν»;) όταν διαβάζουν τα ίδια και τα ίδια;

Και με τι αποτέλεσμα; Κατά την προσφιλή σου τακτική, να μετατοπίζεται το επίκεντρο του ενδιαφέροντος από το θέμα που έχει ανοίξει και στο οποίο οι συμμετέχοντες καταθέτουν μεράκι, χρόνο και δημιουργική χαρά (όπως ήταν αυτό πριν επέμβεις) στο πεδίο ενός μονολόγου, βαρετού και συχνά – όπως τώρα – ανούσιου. Δεν ξέρω γιατί το κάνεις κι ούτε θέλω να μάθω. Πάντως το επιχείρημα «κάνετε λογικά λάθη και σας τα επισημαίνω» δεν μετράει πια για μένα. Έχεις καταστρέψει με αυτό τον τρόπο αρκετές συζητήσεις (ενδεικτικά βάζω το σύνδεσμο για την «πρώτη φορά που συνέβη αυτό» με μένα) και, υποθέτω βάσιμα (γνωρίζω και περίπτωση εκτός της δικής μου, μετά από κείνη την πρώτη μας φορά) ότι απομακρύνεις φιλότιμο κόσμο από το forum. Μαθητές και καθηγητές.

Δεν μπορώ να κάνω, πλέον, υπομονή. Και δεν θα κάνω.

Πάμε στο μήνυμά σου τώρα:

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Δεν ξέρω ποια είναι τα κίνητρα σου που απαντάς για λογαριασμό του κ. Κώστα Δόρτσιου. Για να το κάνεις όμως κάτι θα έχεις υπόψη σου.

Για το κίνητρο μίλησα από την αρχή. Δεν έχω τίποτα άλλο υπόψη μου.

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Δεν νομίζεις όμως ότι με το να απαντάς για λογαριασμό του, τον προσβάλλεις;

Δε νομίζω ότι τον προσβάλλω γιατί απαντάω για λογαριασμό μου κι όχι για δικό του. Εσύ τον προσέβαλλες.

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Δηλαδή, δεν τον θεωρείς ικανό να απαντήσει σε αυτά που του έγραψα; Και που ξέρεις αν συμφωνεί με αυτά που του έγραψα . Εγώ πιστεύω ότι μπορεί να απαντήσει ο ίδιος και μάλιστα καλύτερα από τον καθέναν.

Φυσικά και μπορεί να απαντήσει κι ο ίδιος. Δεν είμαι δικηγόρος ούτε εξουσιοδοτημένος να μιλάω εξ ονόματος κανενός.

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Τον κ. Κώστα Δόρτσιο τον γνωρίζω από πολλά χρόνια. Τον εκτιμώ απεριόριστα σαν άνθρωπο, αλλά και σαν μαθηματικό. Γνωρίζω το έργο του και τον θαυμάζω. Αλλά, θα μου επιτρέψεις να σου πω ότι μπερδεύεις ορισμένα πράγματα.

Δεν ξέρω τι εννοείς ότι μπερδεύω, ίσως την φιλία με τη μαθηματική αλήθεια. Δε συμβαίνει αυτό αλλά δεν θα επιμείνω στο να σε πείσω.

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Δεν θα προχωρήσω άλλο, γιατί είναι η δεύτερη φορά που συμβαίνει αυτό.

Για την πρώτη φορά, ίσως να μάντεψα σωστά παραπάνω, ίσως και όχι.

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Αυτά που γράφεις τα αντιπαρέρχομαι ως ανάξια σχολιασμού.

Μπορείς να σχολιάζεις ό,τι θέλεις αλλά δεν είσαι υπεράνω κριτικής όπως κανένας μας εδώ μέσα. Επειδή όμως μας βλέπουν κι άλλα μάτια (παιδιών, καθηγητών, φίλων και ανθρώπων που στεναχωρούμε αυτή την ώρα) οφείλω μερικές εξηγήσεις: Κατ’ αρχήν η ειρωνεία, την οποία χρησιμοποίησα, δεν είναι προσβολή: προσθέτει μια παραπάνω πινελιά στις απόψεις («χωρίς την ειρωνεία, οι θεοί είναι απόντες» έλεγε ο Νόρμαν Μαίηλερ, αν δε με απατά η μνήμη μου). Δεν υπάρχει πουθενά η παραμικρή απόπειρα να «μειωθεί» το αναμφισβήτητο μαθηματικό σου κύρος – αντίθετα με τη δική σου συμπεριφορά, άσχετα αν το συνειδητοποιείς ή όχι. Πρέπει να το συνειδητοποιήσεις κάποτε αυτό. Για την ακρίβεια, έπρεπε ήδη. Αλλά ούτε σε αυτό θα σε πείσω. Δεν κατάλαβα επίσης γιατί δεν απάντησες στα υστερόγραφα. Ίσως να θίχτηκες από το ύφος του υπόλοιπου κειμένου. Δικαίωμά σου - αλλά και αρκετοί άλλοι εδώ μέσα θίγονται από το δικό σου.

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Το μόνο που θέλω να πω είναι ότι, επειδή τα μαθηματικά δεν είναι ιδιοκτησία κανενός,

Συμφωνώ απολύτως.

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Και αν κάπου κάνω λάθος, γιατί κανένας δεν είναι αλάνθαστος, είμαι πρόθυμος να το παραδεχτώ.

Ωραίο να το λες, δύσκολο να το εφαρμόζεις. Εδώ ξεσήκωσες τον τόπο μέσα στις εξετάσεις, αναστάτωσες μαθητές και καθηγητές και ζήτησες συγγνώμη μόνο από τον Αλέξανδρο! Εδώ πάλι, εν μέσω ευχών στο Στέλιο Μαρίνη, τον υποχρέωσες να σου ζητήσει δημόσια συγγνώμη τη μέρα της γιορτής του! Σταματάω τις αναφορές γιατί, αντί να κατηγορηθείς εσύ για τη συμπεριφορά σου, θα την πληρώσω εγώ.

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Και δεν θα με πείραζε καθόλου αν εσύ έβρισκες ευκαιρία, όπως τώρα, να γράψεις μερικές «κακιούλες».

Δεν τα’ λεγα μόλις τώρα;

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Οι συνάδελφοι δεν είναι ανόητοι. Καταλαβαίνουν.

Αμήν!

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:κάθε φορά που πέφτει στην αντίληψή μου κάτι που δεν είναι σωστό στα μαθηματικά , όποιος και αν το έχει γράψει, θα επεμβαίνω , όπως έκανα μέχρι τώρα.

Δυστυχώς, είμαι σίγουρος! Σχετικά έχω να παρατηρήσω ότι νιώθω πολύ περίεργα που αντιδρώ όπως αντιδρώ μόνο εγώ. Ίσως να είμαι υπερευαίσθητος, δεν ξέρω. Δεν είδα όμως κάποια αντίδραση από τους Γενικούς Συντονιστές, που είναι και οι τελικοί υπεύθυνοι για τη λειτουργία του forum. Με δεδομένο, λοιπόν, ότι η απουσία μου από δω δεν θα δημιουργήσει αίσθηση (τον τελευταίο χρόνο απλώς παρίσταμαι, λόγω κάποιων οικογενειακών προβλημάτων ενώ και τα καθήκοντά μου ως επιμελητή τα εκτελώ πλημμελώς - για την ακρίβεια μετακινώ τα προκλητικώς τοποθετημένα σε λάθος φάκελο μηνύματα του ioakim!), αποχωρώ από το mathematica. Χρωστάω όμως κάποια κείμενα για τον Θόδωρο Ν. Καζαντζή και τον Χάρη Βαφειάδη. Πολύ ευχάριστο χρέος, στ’ αλήθεια!

Ευχαριστώ πολύ για την παρέα,

Λεωνίδας Θαρραλίδης

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #14

Λεωνίδα,
Με τις τελευταίες σου λέξεις:
“Χρωστάω όμως κάποια κείμενα για τον Θόδωρο Ν. Καζαντζή και τον Χάρη Βαφειάδη. Πολύ ευχάριστο χρέος, στ’ αλήθεια!”
Και με τις αρχικές σου:
“Τι ποιο ωραίο από το να υπερασπιζόμαστε φίλους”
και γνωρίζοντας την ιδιαίτερη ευαισθησία σου αλλά και τη ποιότητά σου σαν άνθρωπο,

αφενός:
σέβομαι τις αποφάσεις σου,
και να σε ευχαριστήσω και γω με τη σειρά μου για την εξαιρετική παρέα,

αφετέρου:

να καταθέσω ότι τη συντροφιά σου
τη χρειαζόμαστε,
την απολαμβάνουμε
και σε θέλουμε βρε φίλε πολύ.

Είμαι σίγουρος ότι σε λίγο καιρό θα τα ξαναπούμε από το χώρο αυτό.

Έχεις να σκεφτείς και να φροντίσεις πολλά αυτή τη περίοδο, πέρα και πάνω από το mathematica,
όλα τα άλλα τακτοποιούνται και βρίσκονται με λίγη μεγαλοθυμία από τη πολύ που διαθέτεις.

Ο φίλος σου

Θωμάς Ραϊκόφτσαλης

S.E.Louridas · #15

Φίλε Λεωνίδα,
Θά σε παρακαλέσω λιτά αλλά αληθινά στο όνομα της αναγκαιότητας τών καιρών
να μήν επιλέξεις τον εύκολο δρόμο της αποχώρησης και μας στερήσεις τον Λεωνίδα.
Όλοι καταλαβαίνουμε κάποια πράγματα γενικώτερα στην ζωή αλλά η δύναμη της ευγένειας και της υποχώρησης όπου βέβαια χρειάζεται υπερισχύει.
Προσωπικά περιμένω το επόμενο άρθρο σου.

Σωτήρης

Α.Κυριακόπουλος · #16

mathxl έγραψε:[quote="Α.Κυριακόπουλος
KDORTSI έγραψε: • Θα μου επιτρέψει να σου πω ότι το παράδειγμά σου είναι και πάλι ατυχές, γιατί εδώ δεν πρόκειται για απόδειξη πρότασης. Πρόειται για διατύπωση πρότασης. Εξάλλου, το παραπάνω θεώρημα αν το διατυπώσουμε διαφορετικά, αλλά σωστά θα πούμε πολύ περισσότερα λόγια. .
Καλό μεσημέρι
Τελικά πως πρέπει να το διατυπώσουμε; Όπως αρκεί ή να κάνουμε οικονομία στα λόγια και ας διπλασιάζουμε την πληροφορία; Τι συμβαίνει τότε με την μαθηματική γλώσσα; δεν "φλυαρούμε"; Αυτό σημαίνει ότι δεν έχουμε κατανοήσει την έννοια της παραγωγισιμότητας σε ανοικτό διάστημα;
Κύριε Αντώνη οι περισσότερες παρεμβάσεις σου είναι εύστοχες και χρήσιμες, τούτη νομίζω πως όχι!
Με την σειρά μου ως ένα από τα διευθύνοντα μέλη, να καλωσορίσω τον κύριο Δόρτσιο.
Μαυροφρύδης Βασίλης

Βασίλη.
Δεν καταλαβαίνω τι θέλεις να πεις. Για ποια άστοχη παρέμβασή μου μιλάς. Εκείνο που λέω είναι ότι το θέμα μας είναι οι κανόνες που ισχύουν όταν θέλουμε να αποδείξουμε μια πρόταση. Η διατύπωση μιας πρότασης είναι άλλο θέμα. Που κάνω λάθος;

#17

lonis έγραψε:Ίσως να είμαι υπερευαίσθητος, δεν ξέρω. Δεν είδα όμως κάποια αντίδραση από τους Γενικούς Συντονιστές, που είναι και οι τελικοί υπεύθυνοι για τη λειτουργία του forum. Με δεδομένο, λοιπόν, ότι η απουσία μου από δω δεν θα δημιουργήσει αίσθηση (τον τελευταίο χρόνο απλώς παρίσταμαι, λόγω κάποιων οικογενειακών προβλημάτων ενώ και τα καθήκοντά μου ως επιμελητή τα εκτελώ πλημμελώς - για την ακρίβεια μετακινώ τα προκλητικώς τοποθετημένα σε λάθος φάκελο μηνύματα του ioakim!), αποχωρώ από το mathematica.

Φίλε Λεωνίδα
Προτιμώ να γράψω δυο λέξεις ως φυσικό πρόσωπο και όχι υπό άλλη ιδιότητα μιας εν τέλει ο καθένας μας μόνο ως πρόσωπο νοείται. Στο mathematica έχουν γραφτεί κοντά 3000 ψυχές χώρια οι περαστικοί. Από το mathematica έχουν κατά καιρούς περάσει καλοί και κακοί, άνθρωποι και ανθρωπάκια, εγγράμματοι και λιγότερο κατατοπισμένοι, ευγενείς και αγενείς, σοβαροί και φαιδροί, προσεκτικοί και τσαπατσούληδες, προσηνείς και απόμακροι, γενναιόδωροι και παρτάκηδες, σεμνοί και φιγουρατζήδες. Καλώς ή κακώς (κατά την γνώμη μου καλώς) όλοι έχουν δικαίωμα λόγου. Απεριόριστο; Όχι: 'Εως του σημείου να μην παραβιάζουν τον κανονισμό. Οι παραβιάσεις όσων ρητώς αναφέρονται στον κανονισμό είναι πράγματι λόγος επέμβασης των Γενικών Συντονιστών. 'Αντε να επέμβουν και σε μερικές περιπτώσεις που στον διάλογο το πράγμα χοντραίνει. Και ως εκεί. Δυστυχώς κανένας κανονισμός από μόνος του δε μπορεί να κάνει τους ανθρώπους καλλίτερους, ιδίως αν νοιώθουν αυτάρκεις, και αυτό είναι κάτι που πρέπει να το αποδεχθούμε αν θέλουμε να είμαστε ρεαλιστές. Αυτά επί του γενικού.
Επι του ειδικού και μείζονος τώρα δηλαδή της αποχώρησης σου από το mathematica. Ελπίζω (motto μου εξάλλου είναι η πίστη στην ελπίδα) να είναι μια κίνηση τσαντίλας: Φεύγεις και χτυπάς πίσω σου την πόρτα. Όλοι ξέρουμε ότι αν το κάνουμε με ανθρώπους που αγαπούμε και μας αγαπούν μπορούμε να επιστρέψουμε ξανανοίγοντας την πόρτα χωρίς να δώσουμε ή να μας ζητηθεί καμμία εξήγηση. 'Ετσι απλά φίλε μας Λεωνίδα.
Επί του ειδικού και ελάσσονος ότι γράφεις είναι υπεραρκετό:

lonis έγραψε:Και δεν θα με πείραζε καθόλου αν εσύ έβρισκες ευκαιρία, όπως τώρα, να γράψεις μερικές «κακιούλες». Οι συνάδελφοι δεν είναι ανόητοι. Καταλαβαίνουν.

Τελειώνοντας θα ήθελα να καλωσορίσω και εγώ τον συνάδελφο Κώστα Δόρτσιο. Ελπίζω στο μέλλον να μας δοθεί η δυνατότητα να ανταλλάξουμε γνώμες και ιδέες.
Μαυρογιάννης

Α.Κυριακόπουλος · #18

Λεωνίδα (Θαρραλίδη).
• Ανέλαβες να υπερασπίσεις το φίλους σου, όπως λες, για ποια υπόθεση; Για τη συζήτηση που είχε μαζί μου; Τόσο πολύ κινδύνευε; Πάντως, δεν θεωρώ ότι έθιξα κανέναν. Ούτε προσπαθώ να διδάξω κανέναν. Επιστημονικές συζητήσεις κάνουμε. Απόψεις ανταλλάσσουμε. Και μέσα από όλες αυτές τις συζητήσεις προσπαθούμε να γίνουμε καλύτεροι. Αυτός δεν είναι ο σκοπός του mathematica;
Όποιες θίγεται κάνοντας επιστημονικές συζητήσεις κάτι άλλο θέλει να κρύψει.
Εξάλλου, δεν σκέφτηκες ότι οι υπερασπίσεις αυτού του είδους σε επιστημονικά θέματα θίγουν αυτόν που πάς να υπερασπίσεις, γιατί υπονοείς ότι δεν είναι σε θέση να απαντήσει ο ίδιος;
• Τον κ. Κώστα Δόρτσιο τον γνωρίζω πολλά χρόνια. Πράγματι είναι αυτός που λές. Μου έκανε εντύπωση η ευαισθησία του όταν, πριν μερικά χρόνια, ήθελε να χρησιμοποιήσει κάτι από ένα άρθρο μου, που με πήρε τηλέφωνο να ζητήσει την άδειά μου. Σου επαναλαμβάνω τον κ. Κώστα Δόρτσιο τον εκτιμώ και τον σέβομαι απεριόριστα και σαν άνθρωπο και σαν μαθηματικό και είμαι σίγουρος ότι έχει να προσφέρει πολλά στο χώρα μας αυτό. Με το να συζητάμε όμως και ίσως να έχουμε και διαφορετικές απόψεις, δεν σημαίνει ότι ο ένας δεν σέβεται και δεν εκτιμά τον άλλον.
• Με τα υπόλοιπα που γράφεις, όταν τα ξαναδιαβάσεις είναι σίγουρο ότι ούτε εσύ θα συμφωνείς.

#19

Γειά σας.
Η ώρα είναι περασμένες δυόμιση μετά τα μεσάνυχτα κι αντί να σκεφτόμαστε τα όμορφα μαθηματικά ανταλλάσσουμε μηνύματα που αν μή τι άλλο μας στενοχωρούν πιστεύω όλους. Δεν ξέρω τι να πω. Δε θέλω να μιλώ ούτε και να γίνομαι η κάποια αιτία. Θα ήθελα ένα απλό να δηλώσω. Ήρθα στο χώρο σας, τώρα που βγήκα στη σύνταξη. Θέλοντας να αποφύγω τη "σιωπή" της τρίτης ηλικίας, γράφηκα στο mathematica. Επιθυμώ να "κοινωνήσω" μαζί σας και ιδιαίτερα με τους νέους μέσα από αυτό που για χρόνια και με πολλά λάθη υπηρέτησα:Τα μαθηματικά!!!. Πήρα κι εγώ το μάθημά μου... Ας είναι τούτο το μήνυμα το τελευταίο για την κουβέντα που έγινε. Δεν ωφελεί πια η συνέχεια. Θέλω να γυρίσουμε όλοι στο όμορφο περιβάλλον που μας κρατά στις αϋπνίες και μας δίνει ζωή.
Καληνύχτα....

mathxl · #20

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:
mathxl έγραψε:[quote="Α.Κυριακόπουλος
KDORTSI έγραψε: • Θα μου επιτρέψει να σου πω ότι το παράδειγμά σου είναι και πάλι ατυχές, γιατί εδώ δεν πρόκειται για απόδειξη πρότασης. Πρόειται για διατύπωση πρότασης. Εξάλλου, το παραπάνω θεώρημα αν το διατυπώσουμε διαφορετικά, αλλά σωστά θα πούμε πολύ περισσότερα λόγια. .
Καλό μεσημέρι
Τελικά πως πρέπει να το διατυπώσουμε; Όπως αρκεί ή να κάνουμε οικονομία στα λόγια και ας διπλασιάζουμε την πληροφορία; Τι συμβαίνει τότε με την μαθηματική γλώσσα; δεν "φλυαρούμε"; Αυτό σημαίνει ότι δεν έχουμε κατανοήσει την έννοια της παραγωγισιμότητας σε ανοικτό διάστημα;
Κύριε Αντώνη οι περισσότερες παρεμβάσεις σου είναι εύστοχες και χρήσιμες, τούτη νομίζω πως όχι!
Με την σειρά μου ως ένα από τα διευθύνοντα μέλη, να καλωσορίσω τον κύριο Δόρτσιο.
Μαυροφρύδης Βασίλης
Βασίλη.
Δεν καταλαβαίνω τι θέλεις να πεις. Για ποια άστοχη παρέμβασή μου μιλάς. Εκείνο που λέω είναι ότι το θέμα μας είναι οι κανόνες που ισχύουν όταν θέλουμε να αποδείξουμε μια πρόταση. Η διατύπωση μιας πρότασης είναι άλλο θέμα. Που κάνω λάθος;

Κύριε Αντώνη καλημέρα
Δεν λέω ότι κάνεις λάθος! Μίλησα για άστοχη παρέμβαση που έγκειται σε δύο πράγματα :
- υπόδειξη σε νέο μέλος για πλεονασμό και όχι λάθος
- υπόδειξη σε πολύ καλό έμπειρο συνάδελφο για πράγματα που ήδη γνωρίζει αλλά ακολουθεί τους κανόνες διδασκαλίας που έχουμε και στο σχολικό α΄λυκείου (ισοδυναμίες αντί για αρκεί). Το οποίο αναμένουν να κάνουμε οι του ΠΙ

Δηλαδή η παρέμβαση είναι άστοχη γιατί δεν ενθαρύνει νέο μέλος αλλά ούτε το βοηθά να συνηδειτοποιήσει ένα λάθος και να βελτιωθεί ως μαθηματικός(ήδη τα ξέρει) . Ως προς τον "τρίτο" αναγνώστη το θέμα έχει συζητηθεί υπεραρκετά σε πολλά τόπικ και αν έχει απορίες μπορεί να ψάξει και να βρει. Άλλωστε έχεις βάλει και ένα πολύ καλό αρχείο πο τα εξηγείς αυτά.

Προσωπικά λοιπόν αν ήθελα να κάνω τέτοιου είδους παρέμβαση θα ακολουθούσα προσέγγιση με pm.

Επίσης δεν καλύφθηκα και εγώ περί της διατύπωσης ΘΜΤ. Αλλού πρέπει να ακριβολογούμε και αλλού όχι χάριν οικονομίας; Τα μαθηματικά με ποια κριτήρια γίνονται αυστηρά (αρκεί αντί για την ισοδυναμία) και πότε επιτρέπεται να μην ακριβολογούν (διπλή πληροφορία της συνέχεια στο ανοικτό);Προς χάριν ποιων;

Λεωνίδα θα ήθελα να το ξανασκεφτείς. Η οξυδέρκεια σου, μας είναι απαραίτητη.

Άσκηση σε ύλη συμπλήρωσης Α΄ Λυκείου

Άσκηση σε ύλη συμπλήρωσης Α΄ Λυκείου

Re: Άσκηση σε ύλη συμπλήρωσης Α΄ Λυκείου

Re: Άσκηση σε ύλη συμπλήρωσης Α΄ Λυκείου

Re: Άσκηση σε ύλη συμπλήρωσης Α΄ Λυκείου

Re: Άσκηση σε ύλη συμπλήρωσης Α΄ Λυκείου

Re: Άσκηση σε ύλη συμπλήρωσης Α΄ Λυκείου

Re: Άσκηση σε ύλη συμπλήρωσης Α΄ Λυκείου

Re: Άσκηση σε ύλη συμπλήρωσης Α΄ Λυκείου

Re: Άσκηση σε ύλη συμπλήρωσης Α΄ Λυκείου

Re: Άσκηση σε ύλη συμπλήρωσης Α΄ Λυκείου

Re: Άσκηση σε ύλη συμπλήρωσης Α΄ Λυκείου

Re: Άσκηση σε ύλη συμπλήρωσης Α΄ Λυκείου

Re: Άσκηση σε ύλη συμπλήρωσης Α΄ Λυκείου

Re: Άσκηση σε ύλη συμπλήρωσης Α΄ Λυκείου

Re: Άσκηση σε ύλη συμπλήρωσης Α΄ Λυκείου

Re: Άσκηση σε ύλη συμπλήρωσης Α΄ Λυκείου

Re: Άσκηση σε ύλη συμπλήρωσης Α΄ Λυκείου

Re: Άσκηση σε ύλη συμπλήρωσης Α΄ Λυκείου

Re: Άσκηση σε ύλη συμπλήρωσης Α΄ Λυκείου

Re: Άσκηση σε ύλη συμπλήρωσης Α΄ Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση