Κατασκευή τετραγώνου εγγεγραμμένου σε τρίγωνο

[Ανδρέας Πούλος]

Δίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Να κατασκευαστεί τετράγωνο του οποίου οι κορυφές είναι σημεία του τριγώνου ΑΒΓ.
(Εγγεγραμμένο τετράγωνο σε τρίγωνο).

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

[Mihalis_Lambrou]

Την επαναφέρω: Το mathematica έχει μεγαλώσει τόόόόόσο πολύ που ασκήσεις που δόθηκαν πριν από 24 ώρες χάνονται στα βάθη.

Παροτρύνω τους νέους να ασχοληθούν με αυτή την άσκηση. Κάποτε ήταν στάνταρ γεωμετρική κατασκευή στο Λύκειο, την εποχή που διδασκόταν Ευκλείδια σε βάθος (*).

Όταν την πρωτοείδα ως μαθητής, με εντυπωσίασε γιατί η κατασκευή (κάνει χρήση ομοιοθεσίας) είναι σχετικά απλή και κομψή, αλλά κατά βάθος όχι τόσο εύκολη να την σκεφτείς μόνος σου.

Αξίζει!

Φιλικά,

Μιχάλης

(*) ο Ανδρέας και ΄γω, συνομήλικοι, βγάλαμε το Λύκειο πριν από πολλά χρόνια. Πόσα;;; Χμμμ. Ας το θέσω έτσι: και τα παιδιά μας βγάλανε το Λύκειο αλλά

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

και το Πανεπιστήμιο.

[Νίκος Ζαφειρόπουλος]

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρνω προς το μέρος του Α ευθεία Βχ κάθετη στην ΒΓ στο σημείο Β και από το Α κάθετη στην Βχ που την τέμνει στο Δ. Φέρνω ΔΓ και την διχοτόμο της ορθής γωνίας ΔΒΓ που τέμει την ΔΓ στο Ε. Από το Ε Φέρνω παράλληλη στην ΒΓ που τέμνει τις ΒΔ, ΒΑ και ΓΑ στα σημεία Ζ, Η και Θ αντίστοιχα. Το τριγ. ΒΖΕ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές (γων.ΖΒΕ=45)
Είναι ΖΗ=ΕΘ, γιατί ΖΗ/ΔΑ=ΒΗ/ΒΑ=ΓΘ/ΓΑ=ΘΕ/ΔΑ. Φέρνω ΗΚ, ΘΛ κάθετες στην ΒΓ. Το ΗΘΛΚ είναι τετράγωνο γιατί είναι ορθογώνιο και ΗΘ=ΖΕ=ΖΒ=ΗΚ.

TriangleNIZ.png (18.29 KiB) Προβλήθηκε 1775 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Αλλιώς:

Γράφουμε το τετράγωνο ΔΕΖΗ όπως στο σχήμα. Φέρνουμε την ΒΕ που τέμνει την ΑΓ στο Θ. Από το Θ φέρνουμε ΘΚ, ΘΜ παράλληλες στις πλευρές του μικρού τετραγώνου. Εύκολα τώρα βλέπουμε ότι το ΘΚΛΜ είναι το ζητούμενο τετράγωνο.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

[Μιχάλης Νάννος]

Καλημέρα και χρόνια πολλά.
Άλλη μια κατασκευή παρόμοια με του Μιχάλη:

Με πλευρά ΒΓ κατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου ΑΒΓ το τετράγωνο ΒΓΔΕ. Ενώνω το Α με τα σημεία Δ, Ε και έστω Κ, Λ αντίστοιχα τα σημεία τομής με την ΒΓ.

Από τα Κ, Λ φέρω τις κάθετες προς την ΒΓ και έστω Ν, Μ τα σημεία τομής με τις πλευρές ΑΓ, ΑΒ αντίστοιχα.

Από τα ζεύγη ομοίων τριγώνων (ΑΜΛ, ΑΒΕ), (ΑΛΚ, ΑΕΔ), (ΑΝΚ, ΑΓΔ) εύκολα προκύπτει ότι το ορθογώνιο ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο με τη ζητούμενη ιδιότητα.

Να αναφέρω ότι η κατασκευή ισχύει για Β, Γ: οξείες γωνίες ή για ορθή και οξεία. Σε περίπτωση αμβλυγώνιου τριγώνου η κατασκευή του εξωτερικού τετραγώνου πρέπει να γίνει στην πλευρά απέναντι από την αμβλεία γωνία (ισχύει εναλλακτικά και για την ορθή).

[ctheofi]

Το πρόβλημα θα μπορούσε και να γενικευτεί ως εξής:

Δίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Να κατασκευαστεί παραλληλόγραμο, όμοιο προς δοθέν και του οποίου οι κορυφές είναι σημεία του τριγώνου ΑΒΓ.
(Εγγεγραμμένο παραλληλόγραμο, όμοιο προς δοθέν, σε τρίγωνο).

Οι (γενικώς) τρεις λύσεις, κατασκευάζονται όπως και οι αντίστοιχες για την περίπτωση του τετραγώνου.

[nsmavrogiannis]

Καλημέρα και Χρόνια Πολλά
'Αλλη μία προσέγγιση. Χρησιμοποιώ τα όμοια τρίγωνα ΑΚΘ και ΑΒΓ στο σχήμα του Μιχάλη (ή τα ΑΗΘ,ΑΒΓ στο σχήμα του Νίκου). Αν είναι η πλευρά του τετραγώνου τότε και επομένως . Το κατασκευάζεται ως τέταρτη ανάλογος των και από αυτό και το τετράγωνο.
Μαυρογιάννης

[parmenides51]

ωραία λύση Μιχάλη Ν.

[Ανδρέας Πούλος]

Με την ευκαιρία της επαναφοράς του προβλήματος αυτού από τον υπερδραστήριο και άκρως δημιουργικό Parmenidis σημειώνω τα εξής.
Έχω μπροστά μου (επειδή ετοιμάζουμε μία εισήγηση για την κατασκευή μαθηματικών προβλημάτων στη Μαθηματική Εβδομάδα 2013 στη Θεσσαλονίκη), την πρώτη έκδοση στην ελληνική γλώσσα του βιβλίου του Τζωρτζ Πόλυα «Πώς να το λύσω». Είναι έκδοση του 1964 της Υπηρεσίας Μελετών και Συντονισμού του Υπουργείου Παιδείας σε μετάφραση Χαράλαμπου Σιαδήμα. Λοιπόν, στις σελίδες 40 και 41, ο Πόλυα θέτει αυτό το πρόβλημα και περιγράφει έναν τρόπο επίλυσης του. Χαρακτηριστικά αναφέρει, «αν δεν μπορείτε να επιλύσετε αυτό το πρόβλημα λύστε το σε απλούστερη μορφή» (τυπικό Πολυανό μότο, το οποίο έχει καταγωγή από τον «Λόγο περί της Μεθόδου» του Καρτέσιου λίγο πριν τα μέσα του 17ου αιώνα). Ο Πόλυα επιλύει το πρόβλημα της κατασκευής τετραγώνου, του οποίου μόνο οι τρεις κορυφές ανήκουν στις πλευρές του τριγώνου, πρόβλημα που μπορεί να επιλύσει ο καθένας και το οποίο φυσικά έχει άπειρες λύσεις. Στη συνέχεια, ωθεί με την μαιευτική μέθοδο τον λύτη στο τελικό βήμα, αυτό που παρουσιάζει ο Μιχάλης Λάμπρου, μία τεχνική που βασίζεται στα όμοια σχήματα, ή αν θέλετε από μία «ανώτερη σκοπιά» στο μετασχηματισμό της ομοιοθεσίας.
Φυσικά, και οι τρόποι που προτείνουν οι συνάδελφοι έχουν μεγάλο διδακτικό ενδιαφέρον, αλλά πίσω από αυτούς κρύβεται μεγάλη εμπειρία στην επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων, η οποία για τον αρχάριο φαίνεται σαν «κουνέλι που βγαίνει από το καπέλο του μάγου».
Η γενίκευση που προτείνει ο cftheofil είναι ακριβώς στο πνεύμα του Πόλυα. «Προσπαθήστε να γενικεύσετε το πρόβλημα που έχετε ήδη λύσει».
Καλή μέρα στους φίλους του Φόρουμ. Υποθέτω σε ενάμιση μήνα θα έχω αρκετό χρόνο για να συμμετέχω ενεργά στις συζητήσεις και στην επίλυση προβλημάτων.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

[parmenides51]

Σε απόδοση του Τάσου Πατρώνη το κείμενο του Polya στο οποίο αναφέρθηκε ο Ανδρέας παραπάνω και σχετίζεται με την δοθείσα κατασκευή
βρίσκεται στον Ευκλείδη Β', Μάρτιος Απρίλιος 1981 #4 δωρεάν εδώ (σελ.7 από 13)