Πρόοδος στη Γεωμετρία

KARKAR · #1

: Πρόοδος στη Γεωμετρία.png (10.63 KiB) Προβλήθηκε 417 φορές

Επί των πλευρών CD,BC

, τετραγώνου ABCD

, παίρνω σημεία S,T

αντίστοιχα , ώστε CS=x , BT=2x

.

Οι

τέμνουν τη διαγώνιο

στα σημεία P,Q

αντίστοιχα . Πως πρέπει να επιλεγεί το

, ώστε τα μήκη

των BP,PQ,QD

, να αποτελούν - μ' αυτή τη σειρά - διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου ; Εξετάστε επίσης ,

αν υπάρχει θέση του

, ώστε τα μήκη αυτά , να είναι - με την ίδια σειρά - διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου .

kostaskyritsis · #2

Το

και

είναι διχοτόμοι των αντίστοιχων ορθογωνίων τριγώνων.
Η διχοτόμος τριγώνου υπολογίζεται από τον τύπο: $\displaystyle d_a=\frac{2}{b+c}\sqrt{bc\tau(\(\tau-a)}$ που στο ορθογώνιο τρίγωνο παίρνει τη μορφή: $\displaystyle d_a=\frac{\sqrt{2}bc}{b+c}$

Έτσι $\displaystyle BP=\frac{2\sqrt{2}ax}{2x+a}$ και $\displaystyle DQ=\frac{\sqrt{2}a(a-x)}{2a-x}$

Για να αποτελούν αριθμητική πρόοδο αρκει BP+DQ=2(BD-(BP+DQ))

άρα $\displaystyle BP+DQ=\frac{2}{3} BD=\frac{2a\sqrt{2}}{3}$

Με αντικατάσταση οδηγούμαστε στην εξίσωση 8x^2-9ax+a^2=0

και αποδεκτή λύση η $\displaystyle x=\frac{a}{8}$

Χρόνια Πολλά σε όλους

#3

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Πρόοδος στη Γεωμετρία.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Επί των πλευρών , τετραγώνου , παίρνω σημεία αντίστοιχα , ώστε .

Οι τέμνουν τη διαγώνιο στα σημεία αντίστοιχα . Πως πρέπει να επιλεγεί το , ώστε τα μήκη

των , να αποτελούν - μ' αυτή τη σειρά - διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου ; Εξετάστε επίσης ,

αν υπάρχει θέση του , ώστε τα μήκη αυτά , να είναι - με την ίδια σειρά - διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου .

: geom_Art.png (182.43 KiB) Προβλήθηκε 351 φορές

Στην προέκταση της

έστω σημείο

για το οποίο TB - BZ = 2x

.
Έστω ακόμη $\boxed{BP = m = t - w\,,\,PQ = t,\,QD = n = t + w\,}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,t > w > 0\,\,\,(*)$ . Ας πούμε και το μέτρο της πλευράς $AB = a = 8k,\,k > 0$ . Επειδή $m + t + n = a\sqrt 2 \Rightarrow \boxed{t = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}}\,\,(1)$
Από την ομοιότητα των τριγώνων ABP,AZT

έχουμε : $\boxed{m = \dfrac{{2\sqrt 2 ax}}{{a + 2x}}}\,\,(2)$ και ομοίως εργαζόμενοι : $\boxed{n = \dfrac{{a(a - x)\sqrt 2 }}{{2a - x}}}\,\,(3)$
Από την εξίσωση : m + n = 2t

έχουμε : $\boxed{x = \dfrac{a}{8} = k}$ .

Στην περίπτωση της γεωμετρικής προόδου ισχύουν πάλι οι $(2)\,\kappa \alpha \iota \,\,(3)$ αλλά όχι η (1)

και οι μετασχηματισμοί (*)

.Τώρα όμως $\boxed{mn = {{(a\sqrt 2 - m - n)}^2}}$ που δίδει δεκτή λύση :

$\boxed{x = \dfrac{{2\sqrt {21} \cos [\frac{{ATAN(\dfrac{{5\sqrt {111} }}{{117}})}}{3} + \dfrac{\pi }{3}]}}{3} - a}$ π.χ. αν a = 8

έχουμε : $\boxed{x \simeq 1,123985163}$

: Γεωμετρική σε Γεωμετρία.png (21.35 KiB) Προβλήθηκε 351 φορές

Φιλικά Νίκος

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Πρόοδος στη Γεωμετρία.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Επί των πλευρών , τετραγώνου , παίρνω σημεία αντίστοιχα , ώστε .

Οι τέμνουν τη διαγώνιο στα σημεία αντίστοιχα . Πως πρέπει να επιλεγεί το , ώστε τα μήκη

των , να αποτελούν - μ' αυτή τη σειρά - διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου ; Εξετάστε επίσης ,

αν υπάρχει θέση του , ώστε τα μήκη αυτά , να είναι - με την ίδια σειρά - διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου .

Έστω $\displaystyle{PB = m,PQ = l,DQ = k}$ και $\displaystyle{\omega }$ η διαφορά της προόδου .Τότε, $\displaystyle{PQ = m + \omega ,DQ = m + 2\omega }$
$\displaystyle{DA//TB \Rightarrow } \displaystyle{\frac{{2x}}{\alpha } = \frac{m}{{k + l}} \Rightarrow \frac{x}{\alpha } = \frac{m}{{2(2m + 3\omega }}(1)}$ , $\displaystyle{DS//AB \Rightarrow \frac{{\alpha - x}}{\alpha } = \frac{k}{{l + m}} \Rightarrow ...\frac{x}{\alpha } = \frac{{m - \omega }}{{2m + \omega }}(2)}$
Από $\displaystyle{(1),(2) \Rightarrow }$ $\displaystyle{\frac{m}{{2(2m + 3\omega )}} = \frac{{m - \omega }}{{2m + \omega }} \Leftrightarrow ...2{m^2} + m\omega - 6{\omega ^2} = 0}$
Η τελευταία εξίσωση έχει λύσεις $\displaystyle{m = \frac{{3\omega }}{2},m = - 2\omega }$ με δεκτή λύση $\displaystyle{m = \frac{{3\omega }}{2}}$ .Τότε , εύκολα παίρνουμε από την $\displaystyle{(1)}$ $\displaystyle{\boxed{x = \frac{\alpha }{8}}}$
Αν τώρα τα ίδια τμήματα αποτελούσαν δ.ο.γ.προόδου ,με λόγο $\displaystyle{s > 0}$ θα είναι $\displaystyle{\frac{k}{m} = {s^2},\frac{l}{m} = s}$ και από τις παραπάνω σχέσεις έχουμε
$\displaystyle{\frac{{2x}}{\alpha } = \frac{m}{{k + l}} \Rightarrow \frac{x}{\alpha } = \frac{m}{{2(k + l)}} \Rightarrow \frac{x}{\alpha } = \frac{1}{{2({s^2} + s)}}}$ $\displaystyle{(3)}$ , $\displaystyle{\frac{x}{\alpha } = 1 - \frac{{{s^2}}}{{s + 1}}$ $\displaystyle{(4)}$
Από $\displaystyle{(3),(4) \Rightarrow \frac{1}{{2({s^2} + s)}} = 1 - \frac{{{s^2}}}{{s + 1}} \Leftrightarrow 2{s^3} - 2{s^2} - 2s + 1 = 0}$ με δεκτή λύση $\displaystyle{s = 1.45}$ .Για την τιμή αυτή του $\displaystyle{s}$ βρίσκουμε εύκολα, $\displaystyle{\boxed{x = \frac{\alpha }{{7.105}}}}$

Πρόοδος στη Γεωμετρία

Πρόοδος στη Γεωμετρία

Re: Πρόοδος στη Γεωμετρία

Re: Πρόοδος στη Γεωμετρία

Re: Πρόοδος στη Γεωμετρία

Μέλη σε σύνδεση