Λόγος εμβαδών

Ιστοσελίδα · #1

: area-ratio.png (12.53 KiB) Προβλήθηκε 1443 φορές

Βρείτε το λόγο των εμβαδών AIB,ABC

(

έγκεντρο).

#2

Καλησπέρα σε όλους!

Κρατώντας το ωραίο σχήμα του Μιχάλη

Το

ισαπέχει από τις πλευρές του ABC

, έστω

η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου, οπότε $\displaystyle \frac{{6r}}{2} + \frac{{7r}}{2} + \frac{{8r}}{2} = \left( {ABC} \right) \Leftrightarrow \left( {ABC} \right) = \frac{{21r}}{2}$

Είναι $\displaystyle \frac{{\left( {AIB} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} = \frac{{\frac{{6r}}{2}}}{{\frac{{21r}}{2}}} = \frac{2}{7}$

margavare · #3

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλημέρα σε όλους... Μια παραλλαγή :
Τα 3 επιμέρους τρίγωνα έχουν ίσα ύψη ( την ακτίνα $\rho$ ), συνεπώς ισχύει :

$\dfrac{\left(AIB \right)}{6 }=\dfrac{\left( BIC\right)}{7}=\dfrac{\left(CIA \right)}{8}=\dfrac{\left(BAC \right)}{21}$

άρα $\dfrac{\left(AIB \right)}{\left(BAC \right)}=\dfrac{6}{21}=\dfrac{2}{7}$ .

Aς υποβάλω στην συνέχεια μια σκέψη -προέκταση που έκανα.. παρόλο που θεωρώ ''σχεδόν σίγουρο''
ότι είναι αποθηκευμένο κάπου .. ίσως με

βοηθούς να το έβρησκα ..

Ας θεωρήσουμε τρίγωνο ABC

και

το έγκεντρον αυτού . Αν είναι $BC =\alpha ..AC =\beta ..AB=\gamma$

όπου $\alpha ,\beta ,\gamma$ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε

Να δειχθεί ότι είναι $\left(BAC \right)=3\left(CIA \right)$

: Λόγος εμβαδών.PNG (7.52 KiB) Προβλήθηκε 1367 φορές

Πράγματι : $\dfrac{\left(BIC \right)}{\alpha }=\dfrac{(CIA)}{\beta }=\dfrac{\left(AIB \right)}{\gamma }=\dfrac{(BAC)}{\alpha +\beta +\gamma }$ και εφόσον έχουμε $\alpha +\gamma =2\beta$ , προκύπτει

$\dfrac{(CIA)}{\beta }=\dfrac{\left(BAC \right)}{3\beta }\Leftrightarrow \left(BAC \right)=3\left(CIA \right)$

Φιλικά Γιώργος.

#5

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Το συνημμένο area-ratio.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Βρείτε το λόγο των εμβαδών ( έγκεντρο).

Καλημέρα.

: Λόγος εμβαδών α.png (10.06 KiB) Προβλήθηκε 1328 φορές

$\displaystyle{\frac{{(AIB)}}{{(ABC)}} = \frac{{ID}}{{CH}} = \frac{{EI}}{{EC}}}$ (1)

$\displaystyle{AE = \frac{{6 \cdot 8}}{{7 + 8}} = \frac{{16}}{5}}$ και $\displaystyle{\frac{{EI}}{{IC}} = \frac{{\frac{{16}}{5}}}{8} = \frac{2}{5} \Leftrightarrow \frac{{EI}}{{EI + IC}} = \frac{2}{7} \Leftrightarrow \frac{{EI}}{{EC}} = \frac{2}{7}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} }$ $\boxed{\frac{{(AIB)}}{{(ABC)}} = \frac{2}{7}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Το συνημμένο area-ratio.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Βρείτε το λόγο των εμβαδών ( έγκεντρο).

Χρόνια πολλά...

$\displaystyle{\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{6}{8} \Rightarrow \boxed{{S_2} = \frac{4}{3}{S_1}}}$ και $\displaystyle{\frac{{{S_1}}}{{{S_3}}} = \frac{{AZ}}{{ZC}} = \frac{6}{7} \Rightarrow \boxed{{S_3} = \frac{7}{6}{S_1}}}$

$\displaystyle{\left( {ABC} \right) = {S_1} + \frac{4}{3}{S_1} + \frac{7}{6}{S_1} \Rightarrow \boxed{\frac{{{S_1}}}{{\left( {ABC} \right)}} = \frac{2}{7}}}$

: λ.ε.png (11.93 KiB) Προβλήθηκε 1307 φορές

Λόγος εμβαδών

Λόγος εμβαδών

Re: Λόγος εμβαδών

Re: Λόγος εμβαδών

Re: Λόγος εμβαδών

Re: Λόγος εμβαδών

Re: Λόγος εμβαδών

Μέλη σε σύνδεση