Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου

#1

: Μέγιστο εμβαδόν τριγωνικού τμήματος.png (12.46 KiB) Προβλήθηκε 1126 φορές

Στο σχήμα

.

Δείξετε ότι η μέγιστη τιμή του εμβαδού (DEC)

είναι

Ν.

ealexiou · #2

Καλημέρα Νίκο

: Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου.png (24.61 KiB) Προβλήθηκε 1103 φορές

Το

γίνεται μέγιστο όταν το ύψος του

γίνει μέγιστο ( CD=7.5

),
το οποίο γίνεται μέγιστο όταν το $\triangle BAC$ γίνει ορθογώνιο.

Οπότε $BC=\sqrt{9^2+13.5^2}=\dfrac{9\sqrt{13}}{2}$ και $BD=BE=\sqrt{9^2+6^2}=3\sqrt{13}$
και $EC=BC-BE=\dfrac{3\sqrt{13}}{2}$

$\triangle EKC\sim \triangle BAC \Rightarrow$ $EK=EC\cdot \dfrac{AB}{BC}=$ $\dfrac{3\sqrt{13}}{2}\cdot \dfrac{9}{\frac{9\sqrt{13}}{2}} \Rightarrow \boxed{EK=3}$ ,

άρα $\boxed{(DEC)_{max}=\dfrac{7.5\cdot 3}{2}=11.25}$ , που είναι το ζητούμενο.

manousos · #3

ealexiou έγραψε:Καλημέρα Νίκο

Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου.png
Το γίνεται μέγιστο όταν το ύψος του γίνει μέγιστο (),
το οποίο γίνεται μέγιστο όταν το $\triangle BAC$ γίνει ορθογώνιο.

Οπότε $BC=\sqrt{9^2+13.5^2}=\dfrac{9\sqrt{13}}{2}$ και $BD=BE=\sqrt{9^2+6^2}=3\sqrt{13}$
και $EC=BC-BE=\dfrac{3\sqrt{13}}{2}$

$\triangle EKC\sim \triangle BAC \Rightarrow$ $EK=EC\cdot \dfrac{AB}{BC}=$ $\dfrac{3\sqrt{13}}{2}\cdot \dfrac{9}{\frac{9\sqrt{13}}{2}} \Rightarrow \boxed{EK=3}$ ,

άρα $\boxed{(DEC)_{max}=\dfrac{7.5\cdot 3}{2}=11.25}$ , που είναι το ζητούμενο.

Μπορεί κανείς να μου εξηγήσει ή να με παραπέμψει κάπου, σχετικά με τον λόγο που το μέγιστο ύψος ισοδυναμεί με ABC ορθογώνιο;
Ευχαριστώ.

#4

manousos έγραψε: Μπορεί κανείς να μου εξηγήσει ή να με παραπέμψει κάπου, σχετικά με τον λόγο που το μέγιστο ύψος ισοδυναμεί με ABC ορθογώνιο;
Ευχαριστώ.

Με δεδομένες τις πλευρές $\displaystyle{}$ $b\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,c$ τριγώνου ABC

το εμβαδόν του είναι :

$(ABC) = \dfrac{1}{2}bc\sin A$ και επειδή $\sin A \leqslant 1$ με το ίσον να ισχύει όταν $A = 90^\circ$ , το εμβαδόν γίνεται μέγιστο αν το τρίγωνο έχει ορθή την γωνία

.

Από την άλλη μεριά αν ένα τρίγωνο έχει σταθερή βάση το εμβαδόν του γίνεται μέγιστο αν το ύψος προς αυτή γίνει μέγιστο.

Πάντως η λύση δεν είναι λάθος ίσως όμως χρειάζεται περαιτέρω διευκρινήσεις. Έχει κι άλλη λύση , αν δεν αναρτηθεί θα την βάλω.

Ν.

Ιστοσελίδα · #5

Doloros έγραψε:
Στο σχήμα .

Δείξετε ότι η μέγιστη τιμή του εμβαδού είναι

Ν.

Καλημέρα και χρόνια πολλά.

: Μέγιστο-εμβαδόν-τριγώνου.png (33.65 KiB) Προβλήθηκε 993 φορές

Το

θα γίνει μέγιστο, όταν το (DBC) = (ABC) - (ABD)

γίνει μέγιστο. Αυτό θα συμβεί όταν (όπως είπε και ο φίλος Νίκος) $\widehat A = {90^ \circ }$ .

Έτσι, από Πυθαγόρειο στα $\triangleleft ABD,\, \triangleleft ABC$ παίρνουμε $BD = BE = 3\sqrt {13} ,\,BC = \dfrac{{9\sqrt {13} }}{2}$ , οπότε $CE = BC - BE = \dfrac{{3\sqrt {13} }}{2}$ και ακόμη $\eta \mu \widehat C = \dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{2}{{\sqrt {13} }}$ .

Τέλος, θα ισχύει $(DEC) = \dfrac{{CD \cdot CE \cdot \eta \mu \widehat C}}{2} = 11,25\,\,\tau .\mu .$

Εναλλακτικά, βρίσκουμε $(ABC) = 60,75,\,(ABD) = 27$ , άρα . Αφού $\dfrac{{CE}}{{BE}} = \dfrac{1}{2}$ θα ισχύει $\dfrac{{(DEC)}}{{(DEB)}} = \dfrac{1}{2}$ , συνεπώς $(DEC) = \dfrac{{(DBC)}}{3} = 11,25\,\,\tau .\mu .$

Καλή χρονιά με υγεία!!!

#6

Doloros έγραψε:
Το συνημμένο Μέγιστο εμβαδόν τριγωνικού τμήματος.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στο σχήμα .

Δείξετε ότι η μέγιστη τιμή του εμβαδού είναι

Ν.

Καλημέρα και Χρόνια Πολλά!

: Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου.png (10.84 KiB) Προβλήθηκε 963 φορές

Νόμος συνημιτόνων στα ABD, ABC

:
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} {x^2} = 117 - 108\cos A\\ 4{a^2} = 1053 - 972\cos A \end{array} \right. \Leftrightarrow }$ $\boxed{x = \frac{{2a}}{3}}$

$\displaystyle{\frac{{(DEC)}}{{(ABC)}} = \frac{{7,5 \cdot \frac{a}{3}}}{{13,5 \cdot a}} \Leftrightarrow (DEC) = \frac{5}{{27}}(ABC) = \frac{5}{{27}} \cdot \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 13,5\sin A \le 11,25 \Leftrightarrow }$

$\boxed{{(DEC)_{\max }} = 11,25}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

Doloros έγραψε:
Το συνημμένο Μέγιστο εμβαδόν τριγωνικού τμήματος.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στο σχήμα .

Δείξετε ότι η μέγιστη τιμή του εμβαδού είναι

Ν.

Ισχύει , $\displaystyle{A{B^2} = AD \cdot AC = 81 \Rightarrow AB}$ είναι εφαπτόμενη του περίκυκλου του $\displaystyle{\vartriangle BDC \Rightarrow \angle ABD = \angle C}$

και προφανώς $\displaystyle{\vartriangle ABC \simeq \vartriangle ADB \Rightarrow \frac{x}{\alpha } = \frac{9}{6} \Rightarrow {\text{ }}\boxed{x = \frac{{2a}}{3}} \Rightarrow \boxed{EC = \frac{\alpha }{3}}}$

$\displaystyle{\frac{{\left( {DEC} \right)}}{{\left( {DBC} \right)}} = \frac{{EC}}{a} = \frac{1}{3} \Rightarrow \left( {DEC} \right) = \frac{1}{3}\left( {DBC} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{7.5}}{2}BZ}$

Αλλά το ύψος $\displaystyle{BZ}$ του $\displaystyle{\vartriangle DBC}$ γίνεται μέγιστο όταν $\displaystyle{Z \equiv A}$ δηλαδή όταν $\displaystyle{\angle A = {90^0}}$ και $\displaystyle{\boxed{{{\left( {DEC} \right)}_{\max }} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{7.5}}{2} \cdot 9 = 11.25}}$

: M.E.png (19.31 KiB) Προβλήθηκε 928 φορές

Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου

Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου

Re: Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου

Re: Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου

Re: Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου

Re: Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου

Re: Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου

Re: Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση