Απολλώνιο ημικύκλιο

KARKAR · #1

: Απολλώνιο ημικύκλιο.png (11.26 KiB) Προβλήθηκε 713 φορές

Σε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με c<b

, γράψαμε το Απολλώνιο ημικύκλιο διαμέτρου

.

Φέρουμε το εφαπτόμενο προς το ημικύκλιο τμήμα

. Δείξτε ότι $SB \perp BC$ .

#2

KARKAR έγραψε:
Απολλώνιο ημικύκλιο.png
Σε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με , γράψαμε το Απολλώνιο ημικύκλιο διαμέτρου .

Φέρουμε το εφαπτόμενο προς το ημικύκλιο τμήμα . Δείξτε ότι $SB \perp BC$ .

Καλημέρα Θανάση . Μου αρέσει.

Φιλικά Νίκος

raf616 · #3

Καλημέρα! Μία αντιμετώπιση εκτός φακέλου:

Συμπληρώνουμε τον κύκλο και έστω

η άλλη εφαπτόμενη από το

. Αν $B' \equiv ST \cap DC$ τότε είναι $SB' \perp DC$ ενώ είναι γνωστό ότι (C, B', E, D) = -1

.

Είναι όμως (C, B, E, D) = -1

και άρα $B' \equiv B$ που δίνει το ζητούμενο.

#4

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Απολλώνιο ημικύκλιο.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με , γράψαμε το Απολλώνιο ημικύκλιο διαμέτρου .

Φέρουμε το εφαπτόμενο προς το ημικύκλιο τμήμα . Δείξτε ότι $SB \perp BC$ .

Καλή Ανάσταση σε όλους!

: Απολλώνιο ημικύκλιο.png (13.63 KiB) Προβλήθηκε 654 φορές

Ξεκινάω ανάποδα. Φέρνω από το

κάθετο στην

που τέμνει το ημικύκλιο στο

. Θα δείξω ότι το

είναι εφαπτόμενο τμήμα.

$\displaystyle{S{B^2} = EB \cdot BD = \frac{{ac}}{{b - c}} \cdot \frac{{ac}}{{b + c}} = \frac{{{a^2}{c^2}}}{{{b^2} - {c^2}}} \Leftrightarrow S{B^2} + {a^2} = \frac{{{a^2}{b^2}}}{{{b^2} - {c^2}}} \Leftrightarrow S{C^2} = \frac{{ab}}{{b + c}} \cdot \frac{{ab}}{{b - c}} = CD \cdot CE}$

και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

#5

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Απολλώνιο ημικύκλιο.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με , γράψαμε το Απολλώνιο ημικύκλιο διαμέτρου .

Φέρουμε το εφαπτόμενο προς το ημικύκλιο τμήμα . Δείξτε ότι $SB \perp BC$ .

Γεια σε όλους.

: Απολλώνιο ημικύκλιο.png (50.24 KiB) Προβλήθηκε 624 φορές

Ας ξεκινήσουμε ντρέτα (ίσια) .

Επειδή $\dfrac{{SB}}{{SC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{{EB}}{{EC}}$ , η

είναι διχοτόμος στο τρίγωνο SBC

( και η

στο

) .

Επειδή δε η

εφάπτεται του ημικυκλίου . θα ισχύουν : $\left\{ \begin{gathered} \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\, \hfill \\ \widehat {{\theta _1}} = \widehat {\rm E} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Άρα $\widehat {{\theta _2}} = \widehat E \Rightarrow \widehat \omega + \widehat {{\theta _2}} = \widehat \omega + \widehat E \Rightarrow 90^\circ = \widehat \omega + \widehat E$ , συνεπώς $SB \bot EC$

Φιλικά Νίκος

S.E.Louridas · #6

Αν

είναι το μέσο της

και επειδή τα σημεία B,C

είναι αρμονικά συζυγή των E,D,

θα έχουμε $M{S^2} = M{D^2} = MB \cdot MC$ (Βασική ιδιότητα των αρμονικών τετράδων).

Απολλώνιο ημικύκλιο

Απολλώνιο ημικύκλιο

Re: Απολλώνιο ημικύκλιο

Re: Απολλώνιο ημικύκλιο

Re: Απολλώνιο ημικύκλιο

Re: Απολλώνιο ημικύκλιο

Re: Απολλώνιο ημικύκλιο

Μέλη σε σύνδεση