Εμβαδόν κυκλικού τμήματος

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1255
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Εμβαδόν κυκλικού τμήματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Μάιος 28, 2018 11:47 am

Τραπέζιο με βάση \sqrt{8} και ύψος \sqrt{3}+\sqrt{2} είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας \sqrt{5}. Ο καθένας από τους τέσσερις κυκλικούς τομείς που αποκόβει κάθε πλευρά του, αντανακλάται συμμετρικά ως προς την εκάστοτε πλευρά, στο εσωτερικό του τραπεζίου. Να βρείτε το εμβαδόν του σχήματος, που αποτελείται από εκείνα τα σημεία του τραπεζίου, τα οποία δεν ανήκουν σε κανένα από τους κυκλικούς τομείς που έχουν αντανακλαστεί.


Θέμα 5ο των εισαγωγικών εξετάσεων του τμήματος Υπολογιστικών Μαθηματικών & Κυβερνητικής του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας, 2001.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Παρ Μάιος 03, 2019 10:51 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 352
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Εμβαδόν κυκλικού τμήματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Τετ Μάιος 30, 2018 5:42 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Δευ Μάιος 28, 2018 11:47 am
Τραπέζιο με βάση \sqrt{8} και ύψος \sqrt{3}+\sqrt{2} είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας \sqrt{5}. Ο καθένας από τους τέσσερις κυκλικούς τομείς που αποκόβει κάθε πλευρά του, αντανακλάται συμμετρικά ως προς την εκάστοτε πλευρά, στο εσωτερικό του τραπεζίου. Να βρείτε το εμβαδόν του σχήματος, που αποτελείται από εκείνα τα σημεία του τραπεζίου, τα οποία δεν ανήκουν σε κανένα από τους κυκλικούς τομείς που έχουν αντανακλαστεί.
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια, ελπίζοντας ότι δεν έχω κάνει παρανόηση...
Εμβαδόν κυκλικού τμήματος.png
Εμβαδόν κυκλικού τμήματος.png (27.54 KiB) Προβλήθηκε 590 φορές
Αφού BC=\sqrt{8} είναι HC=\sqrt{2} .
Από Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο KHC έχουμε KH=\sqrt{3} .
Άρα KM=\sqrt{2} .
Από Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο KMD έχουμε MD=\sqrt{3} .
Τώρα το εμβαδόν του τραπεζίου είναι : (ABCD)= \left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right )^{2} .
Το εμβαδόν του κύκλου είναι :E_{\kappa \upsilon \kappa .}= 5\pi .
Άρα το εμβαδόν των τεσσάρων κυκλικών τμημάτων είναι :E_{\kappa \upsilon \kappa . \tau\mu\eta\mu. }= 5\pi -\left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right )^{2} .
Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι : E=(ABCD) - E_{\kappa \upsilon \kappa . \tau\mu\eta\mu. }= 2\left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right )^{2}-5\pi .
Ελπίζω να μην ... κατέστρεψα την ωραία άσκηση.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1255
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Εμβαδόν κυκλικού τμήματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Μάιος 31, 2018 9:06 pm

Να σημειώσουμε ότι στην παραπάνω λύση (ωραία σκέψη) υποτίθεται ότι οι κυκλικοί τομείς δεν επικαλύπτονται. Ισχύει όμως κάτι τέτοιο; Αν ναι ή όχι, γιατί;


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1255
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Εμβαδόν κυκλικού τμήματος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Μάιος 03, 2019 10:47 pm

Επαναφορά. Νομίζω το πρόβλημα είναι αρκετά διδακτικό.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης