Χρυσή παραλληλία

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9589
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Χρυσή παραλληλία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιουν 30, 2019 11:13 am

Χρυσή παραλληλία..png
Χρυσή παραλληλία..png (12.35 KiB) Προβλήθηκε 389 φορές
Από το μέσο M της πλευράς BC ισοπλεύρου τριγώνου ABC φέρνω παράλληλη στην AB

που τέμνει το μικρό τόξο \overset\frown{BC} του περιγεγραμμένου κύκλου στο K. Να βρείτε το λόγο \dfrac{KC}{KB}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 776
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Χρυσή παραλληλία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Ιουν 30, 2019 12:05 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Ιουν 30, 2019 11:13 am
Χρυσή παραλληλία..png
Από το μέσο M της πλευράς BC ισοπλεύρου τριγώνου ABC φέρνω παράλληλη στην AB

που τέμνει το μικρό τόξο \overset\frown{BC} του περιγεγραμμένου κύκλου στο K. Να βρείτε το λόγο \dfrac{KC}{KB}.
Καλημέρα!
Έστω a η πλευρά του ισοπλεύρου.
Είναι \widehat{BKC}=120^{\circ} και \widehat{BMK}=60^{\circ}. Έτσι \overset{\Delta }{KBC}\sim \overset{\Delta }{MKC}\Rightarrow \dfrac{KC}{a}=\dfrac{a}{2KC}\Leftrightarrow KC^2=\dfrac{a^2}{2}
Από νόμο συνημιτόνων στο KBC είναι KB^2+KC^2+KB\cdot KC=a^2=2KC^2\Leftrightarrow KB^2+KB\cdot KC-KC^2=0\Leftrightarrow \boxed{\dfrac{KC}{KB}=\phi }


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1859
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Χρυσή παραλληλία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Ιουν 30, 2019 4:03 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Ιουν 30, 2019 11:13 am
Χρυσή παραλληλία..png
Από το μέσο M της πλευράς BC ισοπλεύρου τριγώνου ABC φέρνω παράλληλη στην AB

που τέμνει το μικρό τόξο \overset\frown{BC} του περιγεγραμμένου κύκλου στο K. Να βρείτε το λόγο \dfrac{KC}{KB}.

Η ισότητα των πράσινων και κόκκινων γωνιών είναι προφανής.

Έτσι , \displaystyle {x^2} = CM \cdot CB = \frac{{{a^2}}}{2} κι αν η παράλληλη από το \displaystyle C προς την \displaystyle AK τέμνει την \displaystyle BK στο \displaystyle P,το

\displaystyle \vartriangle KCP είναι ισόπλευρο και \displaystyle MKPC είναι εγγράψιμο άρα \displaystyle y\left( {x + y} \right) = \frac{{{a^2}}}{2}

Επομένως, \displaystyle y\left( {x + y} \right) = {x^2} \Rightarrow {\left( {\frac{x}{y}} \right)^2} - \frac{x}{y} - 1 = 0 \Rightarrow \boxed{\frac{x}{y} = \varphi }
χρυσή παραλληλία.png
χρυσή παραλληλία.png (26.72 KiB) Προβλήθηκε 346 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7353
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Χρυσή παραλληλία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιουν 30, 2019 5:28 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Ιουν 30, 2019 11:13 am
Χρυσή παραλληλία..png
Από το μέσο M της πλευράς BC ισοπλεύρου τριγώνου ABC φέρνω παράλληλη στην AB

που τέμνει το μικρό τόξο \overset\frown{BC} του περιγεγραμμένου κύκλου στο K. Να βρείτε το λόγο \dfrac{KC}{KB}.
Ας είναι R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του \vartriangle ABC και T η προβολή του K στη πλευρά BC = a.Θέτω : KC = x,\,\,KB = y\,\,,\,\,KM = m

Από το 2ο θεώρημα διαμέσων στο \vartriangle KBC και τη γνωστή σχέση \boxed{\beta \gamma  = 2R{\upsilon _\alpha }} έχω:

\left\{ \begin{gathered} 
  {x^2} - {y^2} = 2aTM = 2a\frac{m}{2} = am \hfill \\ 
  xy = 2RTK = 2R\frac{{m\sqrt 3 }}{2} = R\sqrt 3 m = am \hfill \\  
\end{gathered}  \right.
Χρυσή παραλληλία_1.png
Χρυσή παραλληλία_1.png (36.36 KiB) Προβλήθηκε 330 φορές

Άρα: {x^2} - {y^2} - xy = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  k = \frac{x}{y} \hfill \\ 
  {k^2} - k - 1 = 0 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{k = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} = \varphi }


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1292
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Χρυσή παραλληλία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Ιουν 30, 2019 11:34 pm

Καλό βράδυ!
Χρυσή παραλληλία.PNG
Χρυσή παραλληλία.PNG (10.43 KiB) Προβλήθηκε 295 φορές
Στο σχήμα το τρίγωνο MNC είναι ισόπλευρο ενώ τα BKM,ANE είναι ίσα. Ας είναι BM=MC=MN=1 και KM=EN=x.

Τότε KM\cdot ME=BM\cdot MC\Rightarrow x\left ( x+1 \right )=1 \Leftrightarrow x^{2}+x-1=0\Rightarrow KM=x=\dfrac{1}{\Phi }

Από την ομοιότητα των BKC,KMC παίρνουμε \dfrac{KC}{MC}=\dfrac{BK}{KM}\Rightarrow \dfrac{KC}{BK}=\dfrac{1}{KM}=\Phi ... \Phiιλικά , Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης