Εμβαδόν τριγώνου

Ιστοσελίδα · #1

: shape.png (26.07 KiB) Προβλήθηκε 1589 φορές

Δίνεται τετράγωνο ABCD

πλευράς

και ο εγγεγραμμένος του κύκλος. Από τυχαίο σημείο

, του τρίτου τεταρτοκυκλίου, φέρνουμε εφαπτομένη στον κύκλο, που τέμνει τις AB,AD

στα σημεία S,T

αντίστοιχα. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου CTS

συναρτήσει της πλευράς

.

#2

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Κυρ Οκτ 04, 2020 7:06 am shape.pngΔίνεται τετράγωνο πλευράς και ο εγγεγραμμένος του κύκλος. Από τυχαίο σημείο , του τρίτου τεταρτοκυκλίου, φέρνουμε εφαπτομένη στον κύκλο, που τέμνει τις στα σημεία αντίστοιχα. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει της πλευράς .

Καλημέρα!

Ο κύκλος είναι ο

παρεγγεγραμμένος του τριγώνου ATS.

Οπότε με τους συμβολισμούς του σχήματος, αν

είναι η

ημιπερίμετρος του τριγώνου, τότε $\displaystyle s = \frac{a}{2}$ και TS=a-x-y.

: Εμβαδόν τριγώνου.ΜΝ.png (17.98 KiB) Προβλήθηκε 1560 φορές

Άρα, $\displaystyle (ATS) = (s - TS)\frac{a}{2} = \left( {x + y - \frac{a}{2}} \right)\frac{a}{2} = \frac{{a(x + y)}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}$

$\displaystyle (ATS) + (DTC) + (BSC) = \frac{{a(x + y)}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{a(a - x)}}{2} + \frac{{a(a - y)}}{2} = \frac{{{3a^2}}}{4}$

Επομένως, $\boxed{(CTS)=\dfrac{a^2}{4}}$

#3

Ας είναι $M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N$ τα μέσα των $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD$ . Θέτω: $SM = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NT = y$ .

Ας είναι ακόμα για ευκολία πράξεων : $\left( {AST} \right) = X\,\,,\,\,\left( {BCS} \right) = Y\,\,,\,\left( {DTC} \right)\, = Z\,$ .

Το εμβαδόν που ζητάμε είναι : $\left( {TSC} \right) = {a^2} - \left( {X + Y + Z} \right)\,\,\,\left( 1 \right)$ . Αλλά ισχύουν :

: Εμβαδόν τριγώνου Nannos_4_10_20_oritzin_1.png (27.82 KiB) Προβλήθηκε 1544 φορές

$\left\{ \begin{gathered} 2X = \left( {\frac{a}{2} - x} \right)\left( {\frac{a}{2} - y} \right) \hfill \\ 2Y = a\left( {\frac{a}{2} + x} \right) \hfill \\ 2Z = a\left( {\frac{a}{2} + y} \right) \hfill \\ {\left( {x + y} \right)^2} = {\left( {\frac{a}{2} - x} \right)^2} + {\left( {\frac{a}{2} - y} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Κάνω τις απλές πράξεις και η $\left( 1 \right)$ δίδει : $\boxed{\left( {TSC} \right) = \frac{{{a^2}}}{4}}$

Θα ψάξω για πιο κομψή λύση με λιγότερες αλγεβρικές σχέσεις .

Με πρόλαβε Ο Γιώργος . Ίδια σκέψη πιο λίγες πράξεις από μένα .

#4

Θέτω : $AS = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AT = y$

Στο τρίγωνο ATS

ο κύκλος είναι παρεγγεγραμμένος στην πλευρά

.

Αλλά η περίμετρος του τριγώνου αυτού είναι:

$TA + AS + ST = y + x + \left( {\dfrac{a}{2} - x} \right) + \left( {\dfrac{a}{2} - y} \right) = a$ , Δηλαδή , $\boxed{x + y + TS = a}$

: Εμβαδόν τριγώνου Nannos_4_10_20_oritzin_2.png (23.03 KiB) Προβλήθηκε 1519 φορές

άρα έχει εμβαδόν : $\boxed{\left( {ATS} \right) = \dfrac{a}{2}\left( {\dfrac{a}{2} - TS} \right)}\,\,\,\left( 1 \right)$ .

( Από τον τύπο , $\left( {ABC} \right) = {r_a}\left( {s - a} \right)\,\,\mu \varepsilon \,\,2s = a + b + c$ )

Εξ άλλου: $\left( {TSC} \right) = \left( {ATC} \right) + \left( {ASC} \right) - \left( {TAS} \right) = \dfrac{1}{2}ya + \dfrac{1}{2}xa - \dfrac{a}{2}\left( {\dfrac{a}{2} - TS} \right)$ δηλαδή:

$\left( {TSC} \right) = \dfrac{1}{2}a(x + y) - \dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{a}{2}TS = \dfrac{1}{2}a(a - TS) - \dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{a}{2}TS = \dfrac{{{a^2}}}{4}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Κυρ Οκτ 04, 2020 7:06 am shape.pngΔίνεται τετράγωνο πλευράς και ο εγγεγραμμένος του κύκλος. Από τυχαίο σημείο , του τρίτου τεταρτοκυκλίου, φέρνουμε εφαπτομένη στον κύκλο, που τέμνει τις στα σημεία αντίστοιχα. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει της πλευράς .

Έστω

οπότε

.Ακόμη $OC= \dfrac{a \sqrt{2} }{2}$

Με $TZ,SI \bot AC \Rightarrow TZ= \dfrac{( \dfrac{a}{2}-x) }{2} \sqrt{2} ,SI=\dfrac{( \dfrac{a}{2}-y) }{2} \sqrt{2}$ και

$4(TSC)=4(OTS)+4(OTC)+4(OCS)=...(x+y)a +a( \dfrac{a}{2}-x ) + a( \dfrac{a}{2}-y ) =a^2 \Rightarrow (TSC)= \dfrac{a^2}{4}$

: Εμβαδόν.png (18.42 KiB) Προβλήθηκε 1510 φορές

#6

Ας είναι

τα μέσα των AB,BC,DA

και

το σημείο τομής των $LS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DA$ .

Αν $AS = x\,\,,\,\,AT = y\,\,,\,\,AH = k$ θα έχω: x + y + TS = a

και από το Π. Θ. στο $\vartriangle TAS$

${x^2} + {y^2} = T{S^2} = {\left( {a - \left( {x + y} \right)} \right)^2}$ απ’ όπου:

$y = \dfrac{{a\left( {a - 2x} \right)}}{{2\left( {a - x} \right)}} \Rightarrow \boxed{NT = \frac{a}{2} - y = \frac{{ax}}{{2\left( {a - x} \right)}}}\,\,\left( 1 \right)$ .

: Εμβαδόν τριγώνου Nannos_4_10_20_oritzin_3.png (27.23 KiB) Προβλήθηκε 1454 φορές

Από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων $ASH\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MSL\,\,$ έχω :

$\dfrac{x}{{a - x}} = \dfrac{k}{{\dfrac{a}{2}}} \Rightarrow k = \dfrac{{ax}}{{2\left( {a - x} \right)}}$ και λόγω της $\left( 1 \right)$ $AH = NT \Rightarrow TH = TA + AH = TA + NT = AN = CL$

και άρα το τετράπλευρο , THLC

είναι παραλληλόγραμμο .

Το εμβαδόν $Q = \left( {TSC} \right)$ είναι ίσο με το μισό του παραλληλογράμμου THLC

δηλαδή :

$\left( {TSC} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {THLC} \right) = \dfrac{1}{2}CL \cdot DC = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{a}{2} \cdot a = \dfrac{{{a^2}}}{4}$

p_gianno · #7

: Στιγμιότυπο οθόνης 2020-10-04 234408.png (41.9 KiB) Προβλήθηκε 1441 φορές

Διαγράφεται η απάντηση ως λανθασμένη

#8

άκυρο

Μιχάλης Τσουρακάκης · #9

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Κυρ Οκτ 04, 2020 7:06 am shape.pngΔίνεται τετράγωνο πλευράς και ο εγγεγραμμένος του κύκλος. Από τυχαίο σημείο , του τρίτου τεταρτοκυκλίου, φέρνουμε εφαπτομένη στον κύκλο, που τέμνει τις στα σημεία αντίστοιχα. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει της πλευράς .

Επειδή

θα είναι

και

.

Ακόμη, (TOS)=(OTE)+(OES=(OPT)+(OSQ)

Έτσι $(CTS)=(OTA)+(OAS)+(OPT)+(OSQ)=(POQA)= \dfrac{a^2}{4}$

: Εύρεση εμβαδού.png (17.75 KiB) Προβλήθηκε 1421 φορές

Εμβαδόν τριγώνου

Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση