Άσκηση με έκκεντρο

NickSpanoudis · #1

Δίνεται ABC και I το έκκεντρο. Από Ι φέρνουμε παράλληλη στην ΑC η οποία τέμνει την AB στο M και την BC στο Ν.
Νδο: ΜΝ= $\frac{b\left ( a+c \right ) }{a+b+c}$ , όπου a είναι η BC, b η AC, και c η AB.

STOPJOHN · #2

NickSpanoudis έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 05, 2022 8:18 pm
Δίνεται ABC και I το έκκεντρο. Από Ι φέρνουμε παράλληλη στην ΑC η οποία τέμνει την AB στο M και την BC στο Ν.
Νδο: ΜΝ= $\frac{b\left ( a+c \right ) }{a+b+c}$ , όπου a είναι η BC, b η AC, και c η AB.

Είναι $MN//AC\Rightarrow \hat{MIA}=\hat{IAT}=\hat{MAI}\Rightarrow AM=MI$ και ομοίως

IN=NC

$MN//AC\Rightarrow MB=\dfrac{c}{b}MN,(2),BN=\dfrac{a}{b}MN,(1), MN=AM+NC=a+c-(MB+NB),(3), (1),(2),(3)\Rightarrow MN.\dfrac{a+c+b}{b}=a+c\Leftrightarrow MN=\dfrac{b(a+c)}{a+b+c}$

#3

NickSpanoudis έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 05, 2022 8:18 pm
Δίνεται ABC και I το έκκεντρο. Από Ι φέρνουμε παράλληλη στην ΑC η οποία τέμνει την AB στο M και την BC στο Ν.
Νδο: ΜΝ= $\frac{b\left ( a+c \right ) }{a+b+c}$ , όπου a είναι η BC, b η AC, και c η AB.

Παρεμφερώς με το Γιάννη ,αλλά και τις αλγεβρικές πράξεις αφού ο θεματοδότης είναι μαθητής .

Είναι , $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ γιατί MN//BC

και $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_3}}$ λόγω διχοτόμου , οπότε : $\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} \Leftrightarrow MA = MI = x$ και ομοίως NC = NI = y

.

Επειδή MN//BC

θα ισχύει: $\dfrac{{MN}}{{AC}} = \dfrac{{BN}}{{BC}} = \dfrac{{BM}}{{BA}}$ , δηλαδή :

$\dfrac{{x + y}}{b} = \dfrac{{a - y}}{a} = \dfrac{{c - x}}{c} = \dfrac{{a + c - \left( {x + y} \right)}}{{a + c}}$ .

: Ασκηση με έγκεντρο.png (15.53 KiB) Προβλήθηκε 723 φορές

Από την ισότητα του πρώτου λόγου με του τελευταίου θεωρώ το x + y = MN

ως άγνωστο, έχω :

$\left( {a + c} \right)\left( {x + y} \right) = b\left( {a + c} \right) - b\left( {x + y} \right) \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {x + y} \right) = b\left( {a + c} \right)$ δηλαδή :

$\boxed{MN = x + y = \dfrac{{b\left( {a + c} \right)}}{{a + b + c}}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

NickSpanoudis έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 05, 2022 8:18 pm
Δίνεται ABC και I το έκκεντρο. Από Ι φέρνουμε παράλληλη στην ΑC η οποία τέμνει την AB στο M και την BC στο Ν.
Νδο: ΜΝ= $\frac{b\left ( a+c \right ) }{a+b+c}$ , όπου a είναι η BC, b η AC, και c η AB.

Προφανώς τα τρίγωνα MIA,INC

είναι ισοσκελή και με ID//AB,IE//AC

τα

είναι ρόμβοι

$\triangle IDE \simeq \triangle ABC \Rightarrow \dfrac{z}{b}= \dfrac{x}{c} = \dfrac{y}{a}= \dfrac{x+y+z}{a+b+c} = \dfrac{b}{a+b+c}$

Άρα $x = \dfrac{bc}{a+b+c} ,y=\dfrac{ba}{a+b+c} \Rightarrow MN=x+y=\dfrac{b(a+c)}{a+b+c}$

: έκκεντρο.png (11.08 KiB) Προβλήθηκε 714 φορές

#5

NickSpanoudis έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 05, 2022 8:18 pm
Δίνεται ABC και I το έκκεντρο. Από Ι φέρνουμε παράλληλη στην ΑC η οποία τέμνει την AB στο M και την BC στο Ν.
Νδο: ΜΝ= $\frac{b\left ( a+c \right ) }{a+b+c}$ , όπου a είναι η BC, b η AC, και c η AB.

: Άσκηση με έκκεντρο.png (10.1 KiB) Προβλήθηκε 677 φορές

$\displaystyle \frac{{BI}}{{ID}} = \frac{c}{{AD}} = \frac{a}{{DC}} = \frac{{a + c}}{b} \Leftrightarrow \frac{{BI}}{{BD}} = \frac{{a + c}}{{a + b + c}} \Leftrightarrow \frac{{MN}}{b} = \frac{{a + c}}{{a + b + c}} \Leftrightarrow$ $\boxed{MN=\frac{b(a+c)}{a+b+c}}$

Άσκηση με έκκεντρο

Άσκηση με έκκεντρο

Re: Άσκηση με έκκεντρο

Re: Άσκηση με έκκεντρο

Re: Άσκηση με έκκεντρο

Re: Άσκηση με έκκεντρο

Μέλη σε σύνδεση