Συναλλαγές σε χρυσό και με .. 18άρα !

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαιρετώ.

: 7-1 συναλλαγές σε χρυσό...png (95.82 KiB) Προβλήθηκε 655 φορές

Θεωρούμε τρίγωνο ABC

με $E \in BC$ ώστε να ισχύει $\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{CE}{BE}=\Phi$

όπου $\Phi$ ο χρυσός αριθμός βεβαίως. Ι) Να βρεθεί ο λόγος $\dfrac{AB}{BE}$

Αν επιλέον δοθεί $\widehat{BAE}=18^o$ τότε : ΙΙ) Να βρεθούν οι γωνίες του $\triangleleft ABC$

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

abgd · #2

: xrisos_arithmos.png (60.82 KiB) Προβλήθηκε 598 φορές

Φέρνουμε

και

. Για τον χρυσό αριθμό $\phi$ γνωρίζουμε ότι: $\bf{\phi^2=\phi+1}$

Είναι

$\frac{CE}{BE}=\phi \Rightarrow \frac{CE}{BE+CE}=\frac{\phi}{\phi+1} \Rightarrow \frac{CE}{CB}=\frac{1}{\phi}\Rightarrow \frac{CB}{CE}=\phi}$

$\frac{CA}{AE}=\phi$ και $\frac{CA}{AH}=\frac{CE}{BE} =\phi$ οπότε $\color{green}AH=AE$

$\frac{BH}{AE}=\phi \Rightarrow BH=\phi\cdot AE=\phi\cdot AH=\frac{CA}{AH}\cdot AH\Rightarrow \color{blue} BH=CA$

Έτσι, τα τρίγωνα $ABH, \ \ ECA$ είναι ίσα. Άρα $\color{red} AB=CE$ και $\boxed{\frac{AB}{BE}=\phi}$

Επίσης η γωνία

του τριγώνου ABC

θα είναι ίση με

.

Αν είναι x=18^o

τότε $sinx=\frac{1}{2\phi}$

Στο τρίγωνο ABE

είναι: $\frac{AB}{sin(x+\omega)}=\frac{BE}{sinx}$ .

Όμως $\frac{AB}{BE}=\phi$ και $sinx=\frac{1}{2\phi}$ και έτσι $sin(x+\omega)=\frac{1}{2}$

Άρα $x+\omega =30^o$ .

Δηλαδή η γωνία

του τριγώνου ABC

είναι

, η γωνία

και η γωνία B=132^o

Σημείωση: Δεν βλέπω να αποκλείεται η περίπτωση $x+\omega =150^o$ , εκτός αν θεωρήσουμε όπως στο σχήμα ότι η γωνία

είναι οξεία. Διαφορετικά η γωνία

του τριγώνου ABC

είναι

, η γωνία

και η γωνία B=12^o

vgreco · #3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 07, 2023 11:02 am
Θεωρούμε τρίγωνο με $E \in BC$ ώστε να ισχύει $\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{CE}{BE}=\Phi$

όπου $\Phi$ ο χρυσός αριθμός βεβαίως. Ι) Να βρεθεί ο λόγος $\dfrac{AB}{BE}$

Αν επιλέον δοθεί $\widehat{BAE}=18^o$ τότε : ΙΙ) Να βρεθούν οι γωνίες του $\triangleleft ABC$

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

: synallages_se_xryso.png (83.21 KiB) Προβλήθηκε 550 φορές

Μία μάλλον τετριμμένη λύση προκύπτει και από τη διαδικασία κατασκευής του σχήματος.

Γράφω τους κύκλους $\left( C, \dfrac{EC}{\Phi} \right)$ , $\left( E, \dfrac{EC}{\Phi - 1} \right)$ και $\left( E, \dfrac{EC}{\Phi} \right)$ .

Οι

,

είναι προφανώς η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος αντίστοιχα της γωνίας $\widehat{EAC}$ . Ο γ.τ. του

είναι ο κύκλος διαμέτρου

(

-απολλώνιος κύκλος του $\triangle ECA$ ). Δεν είναι δύσκολο να διαπιστώσουμε πως TB = BS = EC

, άρα το

είναι το κέντρο του κύκλου αυτού.

Τώρα:

α) $\dfrac{AB}{BE} = \dfrac{EC}{\dfrac{EC}{\Phi}} \Leftrightarrow \boxed{\dfrac{AB}{BE} = \Phi}$ .

β) Από γνωστή ιδιότητα, $\widehat{BAE} = \widehat{ECA} = 18^\circ$ , κλπ.

Συναλλαγές σε χρυσό και με .. 18άρα !

Συναλλαγές σε χρυσό και με .. 18άρα !

Re: Συναλλαγές σε χρυσό και με .. 18άρα !

Re: Συναλλαγές σε χρυσό και με .. 18άρα !

Μέλη σε σύνδεση