Αριθμητική τιμή κλάσματος

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

Γιώργος Μήτσιος · #2

Καλημέρα!

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 11, 2023 1:32 am

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC\,\,$ (με ορθή γωνία στο A), ο εγγεγραμμένος του κύκλος

εφάπτεται της πλευράς $AB\,\,$ στο $P\,\,$ και της $AC\,\,$ στο . Αν $\displaystyle\frac{AP}{PB}=\displaystyle\frac{1}{2}\,\,$ , να βρεθεί

η αριθμητική τιμή του κλάσματος $\displaystyle\frac{AQ}{QC}$ .

: 11-10 Τιμή κλάσματος.png (86.26 KiB) Προβλήθηκε 846 φορές

Άρση απόκρυψης-αιτιολόγηση.

Ας θεωρήσουμε (χωρίς βλάβη για το κλάσμα που ζητάμε) AP=AQ=1

. Τότε

και έστω

Το Πυθαγόρειο μας δίνει $\left ( x+1 \right )^{2}+3^{2}=\left ( x+2 \right )^{2}\Leftrightarrow x=3$ , άρα $\dfrac{AQ}{QC}=\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{3}$

Φιλικά, Γιώργος

#3

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 11, 2023 1:32 am
Αριθμητική τιμή κλάσματος.png

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC\,\,$ (με ορθή γωνία στο A), ο εγγεγραμμένος του κύκλος

εφάπτεται της πλευράς $AB\,\,$ στο $P\,\,$ και της $AC\,\,$ στο . Αν $\displaystyle\frac{AP}{PB}=\displaystyle\frac{1}{2}\,\,$ , να βρεθεί

η αριθμητική τιμή του κλάσματος $\displaystyle\frac{AQ}{QC}$ .

Αν

είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου και

η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου, τότε:

$\displaystyle sr = (ABC) = BT \cdot TC \Leftrightarrow s(s - a) = (s - b)(s - c) \Leftrightarrow \frac{{s - c}}{s} = \frac{{s - a}}{{s - b}} = \frac{1}{2}$

: Αρ.τιμή κλάσματος.png (15.87 KiB) Προβλήθηκε 814 φορές

Άρα, $\displaystyle 2c = s = 2a - b \Leftrightarrow 2a = b + 2c \Leftrightarrow 4{a^2} = {b^2} + 4{c^2} + 4bc \Leftrightarrow b = \frac{{4c}}{3}$ ΚΑΙ $\displaystyle a = \frac{{5c}}{3}$

$\displaystyle \frac{{AQ}}{{QC}} = \frac{{s - a}}{{s - c}} = \frac{{2c - \frac{{5c}}{3}}}{c} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{AQ}}{{QC}} = \frac{1}{3}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 11, 2023 1:32 am
Αριθμητική τιμή κλάσματος.png

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC\,\,$ (με ορθή γωνία στο A), ο εγγεγραμμένος του κύκλος

εφάπτεται της πλευράς $AB\,\,$ στο $P\,\,$ και της $AC\,\,$ στο . Αν $\displaystyle\frac{AP}{PB}=\displaystyle\frac{1}{2}\,\,$ , να βρεθεί

η αριθμητική τιμή του κλάσματος $\displaystyle\frac{AQ}{QC}$ .

Είναι $tan \phi = \dfrac{IP}{PB}= \dfrac{AP}{PB}= \dfrac{1}{2}$ και $\theta + \phi =45^0 \Rightarrow tan( \theta + \phi ) =1 \Rightarrow \dfrac{tan \theta + \dfrac{1}{2} }{1- \dfrac{1}{2}tan \theta }=1 \Rightarrow tan \theta = \dfrac{1}{3}$

Άρα $\dfrac{IQ}{QC}= \dfrac{AQ}{QC}= \dfrac{1}{3}$

: αριθμητική τιμή κλάσματος.png (14.55 KiB) Προβλήθηκε 772 φορές

Αριθμητική τιμή κλάσματος

Αριθμητική τιμή κλάσματος

Re: Αριθμητική τιμή κλάσματος

Re: Αριθμητική τιμή κλάσματος

Re: Αριθμητική τιμή κλάσματος

Μέλη σε σύνδεση