Κατασκευή για διπλή παραλληλία

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλό μήνα!
Το θέμα που ακολουθεί είναι προσωπικής επινόησης.
Όμως , πιθανότατα να κυκλοφορεί και να είναι γνωστό σε κάποιους..

: geogebra-export 1-2-2024.png (211.62 KiB) Προβλήθηκε 472 φορές

Θεωρούμε τραπέζιο ABCD

με $AB \parallel CD$ και φέρουμε $MN \parallel AB,CD$
όπου $M \in AD$ και $N \in BC$
Να εντοπιστεί (με Γεωμετρική κατασκευή ) η θέση του ώστε να ισχύει και $AN \parallel MC$

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 01, 2024 11:40 pm
Καλό μήνα!
Το θέμα που ακολουθεί είναι προσωπικής επινόησης.
Όμως , πιθανότατα να κυκλοφορεί και να είναι γνωστό σε κάποιους..
geogebra-export 1-2-2024.png
Θεωρούμε τραπέζιο με $AB \parallel CD$ και φέρουμε $MN \parallel AB,CD$
όπου $M \in AD$ και $N \in BC$
Να εντοπιστεί (με Γεωμετρική κατασκευή ) η θέση του ώστε να ισχύει και $AN \parallel MC$

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλό μήνα!

Έστω AB=a, CD=b.

Προφανώς οι πράσινες γωνίες είναι ίσες, όπως και οι κόκκινες.

Έτσι τα τρίγωνα DMC, MAN

είναι όμοια, καθώς επίσης και τα CMN, NAB.

: Κατασκευή για διπλή παραλληλία.png (10.22 KiB) Προβλήθηκε 438 φορές

Άρα, $\displaystyle \frac{b}{{MN}} = \frac{{DM}}{{MA}} = \frac{{CN}}{{NB}} = \frac{{MN}}{a} \Rightarrow M{N^2} = ab,$ οπότε $\boxed{\frac{{DM}}{{MA}} = \sqrt {\frac{b}{a}}}$

που σημαίνει ότι το σημείο

εντοπίζεται με γεωμετρική κατασκευή.

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Θεωρούμε τραπέζιο με $AB \parallel CD$ και φέρουμε $MN \parallel AB,CD,$ όπου $M \in AD$ και $N \in BC.$
Να εντοπιστεί (με Γεωμετρική κατασκευή ) η θέση του ώστε να ισχύει και $AN \parallel MC.$

$\bullet$ Έστω ότι έχουν βρεθεί τα σημεία $M,\ N,$ επί των πλευρών $AD,\ BC$ αντιστοίχως, ώστε $AB\parallel MN\parallel CD$ και $AN\parallel MC$
και έστω το σημείο $E\equiv AD\cap BC.$

Από $MC\parallel AN\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{EM}{EA} = \frac{EC}{EN}\ \ \ \ (1)$ και από $DC\parallel MN\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{EC}{EN} = \frac{ED}{EM}\ \ \ \ (2)$

Από $(1),\ (2)\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{EM}{EA} = \frac{ED}{EM}\Rightarrow$ $\boxed{(EM)^{2} = (ED)(EA)}\ \ \ \ (3)$

: Κατασκευή για διπλή παραλληλία.; f=22_t=75360.PNG (17.95 KiB) Προβλήθηκε 329 φορές

$\bullet$ Από (3)

προκύπτει ότι το σημείο $M\in AD$ κατασκευάζεται εύκολα ως εξής :

Γράφουμε το ημικύκλιο (K)

με διάμετρο το τμήμα

και ας είναι EZ,

η εφαπτομένη του (K)

από το σημείο

Το ζητούμενο σημείο

προσδιορίζεται ως το σημείο τομής της πλευράς AD,

από τον κύκλο με κέντρο το σημείο

και ακτίνα

και άρα ισχύει η (3).

Αποδεικνύεται εύκολα ότι ισχύει $AN\parallel MC,$ όπου $N\in BC$ ώστε $MN\parallel AB$ και το πρόβλημα έχει λυθεί.

Κώστας Βήττας.

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλημέρα!
Ευχαριστώ θερμά τους Γιώργο και Κώστα για την κάλυψη του παρόντος!

Η σχέση (3)

στην απόδειξη του Κώστα είναι το ζητούμενο
στην άσκηση Εμπέδωσης 3 παράγραφο 7.7 του σχολικού.
Ας δώσω και την κατασκευή που είχα κατά νου, η οποία προκύπτει από την σχέση: $\dfrac{AM}{MD}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$

που έδειξε ο Γιώργος πιο πάνω.

: 9-2 Διπλή παραλληλία.png (333.98 KiB) Προβλήθηκε 264 φορές

Συνοπτικά: Στο σχήμα ο κύκλος είναι διαμέτρου AE=a+b

και $HB \perp AE$ .

Προεκτείνουμε HF=HE

και φέρουμε $HM \parallel FD$ . Τότε ισχύουν $\dfrac{AM}{MD}=\dfrac{AH}{AF}=\dfrac{AH}{AE}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$
συνεπώς το σημείο

είναι το ζητούμενο.

Φιλικά, Γιώργος.

#5

Άλλος ένας τρόπος κατασκευής του σημείου

βασισμένος στην ισότητα $(MN)^{2} = ab$ στην λύση του Γιώργου πιο πάνω (#2), είναι η εξής :

$\bullet$ Έστω τοε σημείο $E\in AB$ ώστε το EBCD

να είναι παραλληλόγραμμο

και

και ας είναι (K)

το ημικύκλιο με διάμετρο την πλευρά AB.

Η δια του σημείου

κάθετη ευθεία επί την

τέμνει το ημικύκλιο (K)

στο σημείο έστω

και ας είναι

το σημείο τομής της

από το τόν κύκλο με κέντρο το σημείο

και ακτίνα BZ.

: Κατασκευή για διπλή παραλληλία - Προσδιορισμός του σημείου Μ.; f=22_t=75360 (a).PNG (16.52 KiB) Προβλήθηκε 226 φορές

$\bullet$ Τέλος, η δια του σημείου

παράλληλη ευθεία προς την

τέμνει την

στο σημείο

για το οποίο ισχύει

${(MN)^{2} = (BF)^{2} =(BZ)^{2} = (BE)(BA) = ab}\Rightarrow$ $\boxed{(MN)^{2} = ab}}$ όπου $N\in BC$ ώστε να είναι $MN\parallel AB$ .

Κώστας Βήττας

Κατασκευή για διπλή παραλληλία

Κατασκευή για διπλή παραλληλία

Re: Κατασκευή για διπλή παραλληλία

Re: Κατασκευή για διπλή παραλληλία

Re: Κατασκευή για διπλή παραλληλία

Re: Κατασκευή για διπλή παραλληλία

Μέλη σε σύνδεση